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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理（含解析）新人教版
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：選C 令n0分別取2,3,5,6，依次驗(yàn)證可得n0＝5.故選C.
2．對(duì)于不等式
，
1＋＋>1，
1＋＋＋＋＋＋>，
1＋＋＋…＋>2，
1＋＋＋…＋>，
……
照此規(guī)律，寫出第n個(gè)式子，并加以證明．
解：猜想第n個(gè)不等式為
1＋＋＋…＋>(n∈N*)．
①當(dāng)n＝1時(shí)，1>，猜想正確．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)猜想正確，
即1＋＋＋…＋>，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝＋＝.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想成立．
由①②知對(duì)于任意n∈N*不等式恒成立．
12．各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－a＝2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求證：＋＋…＋≤對(duì)一切n∈N*恒成立．
(1)解：∵a－a＝2，
∴數(shù)列{a}為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a＝1＋(n－1)2＝2n－1，
又an>0，則an＝.
(2)證明：由(1)知，即證1＋＋…＋≤.
①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，所以不等式成立．
當(dāng)n＝2時(shí)，左邊<右邊，所以不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)不等式成立，
即1＋＋…＋≤，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左邊＝1＋＋…＋＋
≤＋
<＋
＝＋
＝＝.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立．
由①②知對(duì)一切n∈N*不等式恒成立．
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)不等式左邊( )
A．增加了一項(xiàng)
B．增加了兩項(xiàng)、
C．增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)
D．以上各種情況均不對(duì)
解析：選C 當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝＋＋…＋，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＋＋，
比較兩式可得增加了兩項(xiàng)、，少了一項(xiàng).故選C.
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1,2,3，….猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式為________．
解析： 由題設(shè) (Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即S－2Sn＋1－anSn＝0.①
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，
代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.②
由①可得S1＝a1＝，
由②可得S2＝，S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明…>(k>1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)乘上________，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是________．
解析：… 2k－1
因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是(1＋)，最后一個(gè)是(1＋)，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1項(xiàng)．
4．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋(n＝1,2，…)．
(1)求證：an>對(duì)一切正整數(shù)n都成立；
(2)令bn＝，判斷bn與bn＋1的大小，并說(shuō)明理由．
(1)證明：證法一：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2>，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)不等式成立，即ak>.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a＝a＋＋2>2k＋3＋>2(k＋1)＋1，
因?yàn)閍1＝2，an＋1＝an＋(n＝1,2，…)，
所以an>0(n∈N*)．
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立．
由①②知an>對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
證法二：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2>＝，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即ak>.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由函數(shù)f(x)＝x＋(x>1)的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè)，知ak＋1＝ak＋>＋＝＝＝>＝
＝.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②知an>對(duì)一切正整數(shù)n均成立．
(2)解：因?yàn)閎n＝，可知bn>0，
所以＝＝
<＝
＝＝<1.
∴bn＋1
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第7章
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數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)跟蹤檢測(cè)
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