中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何題中的“定值型”問題賞析

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1、　中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何題中的“定值型”問題賞析 在動(dòng)態(tài)幾何問題中，當(dāng)一些元素按照一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時(shí)，與它相關(guān)的另一些幾何元素的某些量或其數(shù)量關(guān)系保持不變，這類問題稱為幾何定值問題。定值問題由于有時(shí)甚至不知道定值的結(jié)果，而使人難以下手，給問題解決帶來困難。解決這類問題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在“可變”的元素中尋求“不變”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的話再考慮證明；或直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算中消去變量，從而得到定值。以下以2010年中考題為例說明具體的求解策略 一、長(zhǎng)度定值 例1．（2010山東聊城）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

2、，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（ ） A．　　 B．　 C．　　 D．不確定 解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，由勾股定理得AC=BD=5. 過點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線PE、PF，容易得△PDF∽△BDA， ∴，即，∴， 同理， ∴PE+PF＝．故答案為A。 點(diǎn)評(píng)：本題屬于矩形中動(dòng)點(diǎn)定值問題，在選擇題中，可以采取特殊點(diǎn)法求解，譬如P與A重合、P與B重合或P為AD的中點(diǎn)等特殊情形下，求出PE＋PF的值探求答案． 二、角度定值 例2．（2010年廣東廣州）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦A

3、B垂直平分線段OP，點(diǎn)D是上任一點(diǎn)（與端點(diǎn)A、B不重合），DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D，分別過點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C． （1）求弦AB的長(zhǎng)； （2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大?。环駝t，請(qǐng)說明理由； （3）略 　　　　　　　　　 分析：（1）連接OA，OP與AB的交點(diǎn)為F，則△OAF為直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理求得AB；（2）要判斷∠ACB是否為定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，所以AD和BD分別為∠CAB和∠ABC的角平分線，因此只要∠D

4、AE＋∠DBA是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所對(duì)的圓周角，這個(gè)值等于∠AOB值的一半，只需看∠AOB值即可。 解：（1）連接OA，取OP與AB的交點(diǎn)為F，則有OA＝1． ∵弦AB垂直平分線段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF． 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝． （2）∠ACB是定值. 理由：由（1）易知，∠AOB＝120， 因?yàn)辄c(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，所以，連結(jié)AD、BD，則∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA， 因?yàn)椤螪AE＋∠DBA＝∠AOB＝60，所以∠CAB＋∠CBA＝120，所以∠ACB＝60； （3）略 點(diǎn)評(píng)：本題是圓為載體的角度定值問

5、題，考查了三角形內(nèi)切圓、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、同弧所對(duì)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系及整體思想綜合運(yùn)用，采用了直接推理、計(jì)算得到定值。 三、周長(zhǎng)定值 例3．（2010重慶）已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)xOy中，邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止. （1）（2）略 圖③ （3）如圖（2），現(xiàn)有∠MCN＝60，其兩邊分別與

6、OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0＜旋轉(zhuǎn)角＜60），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由． 解：（1）（2）略 （3）的周長(zhǎng)不發(fā)生變化． 延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．（如圖③） ∵， ∴≌． ∴，．　 ∴． ∴． 又∵． ∴≌．∴．　 ∴． ∴的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4．　 點(diǎn)評(píng)：本題是定角（60）在等邊三角形內(nèi)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)幾何問題，探究運(yùn)用過程中的的周長(zhǎng)是否定值，解題時(shí)通過旋轉(zhuǎn)變換，將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為直線段上線段和差，

7、直接計(jì)算證明了周長(zhǎng)為定值。解題時(shí)，也可讓∠MCN運(yùn)動(dòng)到MN平行于OA或M與O重合或N與A重合（退化的三角形）這幾種特殊情形，探求不變的周長(zhǎng)的值。 三、面積定值 例3．（2010廣州）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線＝－＋交折線OAB于點(diǎn)E． （1）略 （2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說明理由. C D B A E

8、 O 思路點(diǎn)撥：（2）重疊部分是一個(gè)平行四邊形，由于這個(gè)平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個(gè)平行四邊形落在OA邊上的線段長(zhǎng)度是否變化． 解：（1）略 （2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，OA與C1B1相交于點(diǎn)N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。 由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形 根據(jù)軸對(duì)稱知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四邊形DNEM為菱形． 過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H， 因?yàn)橹本€DE的解析式

9、＝－＋中，比例系數(shù)k＝， 所以tan∠DEN＝，因?yàn)镈H＝1，∴HE＝2， 設(shè)菱形DNEM 的邊長(zhǎng)為a， 則在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴ ∴S四邊形DNEM＝NEDH＝ ∴矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為． 點(diǎn)評(píng)：本題是點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)相結(jié)合的平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)態(tài)幾何題，通過運(yùn)動(dòng)時(shí)所形成的不同位置，考查了矩形、一次函數(shù)、直角三角形勾股定理、方程、面積、軸對(duì)稱變換、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。第（2）小題是以面積為載體的動(dòng)態(tài)探究題，從面積的角度探求動(dòng)態(tài)過程中的不變量，解題的關(guān)鍵是找出動(dòng)態(tài)過程中的不變量，通過直接計(jì)算求得定值。

10、 五、比值定值 例5．（2010湖北咸寧）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）． （1）、（2）略 （3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄渴欠駷槎ㄖ?，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由． A B C D （備用圖1） A B C D （備用圖2） Q A B C D l M P （第

11、24題） E 分析：（3）當(dāng)t＞2時(shí)，確定動(dòng)點(diǎn)P、Q、M在圖形上的位置，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，畫出圖形，觀察、分析線段CQ、RQ與已知線段有沒有關(guān)系，是否存在相似三角形． A B C D （備用圖2） M Q R F P 解：（1）（2）略 （3）為定值． 當(dāng)＞2時(shí)，如備用圖2，作CF⊥AB ． ∵．CF＝AD＝4 ∴． ∴． ∴．∴． ∴四邊形AMQP為矩形．∴∥． ∴△CRQ∽△CAB． ∴． 點(diǎn)評(píng)：本題是一道以直角梯形為框架的動(dòng)態(tài)幾何問題，考查了相似三角形、矩形、梯形的常用輔助線方法等知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了分類討論

12、的思想。第（3）問是關(guān)于線段比的定值探究題，解題時(shí)，需要畫出當(dāng)t＞2時(shí)的圖形，把“動(dòng)態(tài)”問題轉(zhuǎn)化為“靜態(tài)”問題，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，將轉(zhuǎn)化為其他線段的比，探明線段比是否為定值． 六、積定值 例6.（2010廣東深圳）如圖1，以點(diǎn)M（－1,0）為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D，直線y＝－ x－ 與⊙M相切于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F． （1）請(qǐng)直接寫出OE、⊙M的半徑r、CH的長(zhǎng)； （2）略 （3）如圖3，點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與E、C重合），連接BK交⊙M于點(diǎn)T，弦AT交x軸于點(diǎn)N．是否存在一個(gè)常數(shù)a，始終滿足MNMK＝a，如果存在，請(qǐng)求出a的

13、值；如果不存在，請(qǐng)說明理由． F 圖4 解：（1）如圖4，OE=5，，CH=2 （2）略 （3）如圖6，連接AK，AM，延長(zhǎng)AM， 與圓交于點(diǎn)G，連接TG，則 F 圖6 1 ， 由于，故，； 而，故 在和中，； 故；所以; 即： 故存在常數(shù)，始終滿足MNMK＝a，常數(shù) 點(diǎn)評(píng)：本題是平面直角坐標(biāo)系中以圓為框架的動(dòng)態(tài)幾何探究題，考查了一次函數(shù)、圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，第（2）小題是線段積的定值探究題，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，得到線段積的關(guān)系，因此，解題時(shí)，構(gòu)造以MN、MK為邊的相似三角形，直接計(jì)算求得定值，靈活性較強(qiáng)，綜合性較高，對(duì)學(xué)生來說難度較大。