菱形的判定 (2)

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1、溫故而知新，可以為師矣。溫故而知新，可以為師矣。 -論語論語矩形與菱形矩形與菱形 矩形矩形 菱形菱形定義定義有一角是有一角是直角直角的平行的平行四邊形叫做矩形四邊形叫做矩形. .有一組有一組鄰邊相等鄰邊相等的平行四的平行四邊形叫做菱形邊形叫做菱形. .具有平行四邊形的一切性質(zhì)具有平行四邊形的一切性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)邊邊角角對角線對角線四個角都是直角四個角都是直角相等相等互相垂直且平分每一組對角互相垂直且平分每一組對角判定判定有一角是直角的平行四邊形有一角是直角的平行四邊形對角線相等的平行四邊形對角線相等的平行四邊形三個角都是直角的四邊形三個角都是直角的四邊形四條邊都相等四條邊都相等18.2.2菱形的判

2、定菱形的判定u根據(jù)菱形的定義根據(jù)菱形的定義, ,可得菱形的可得菱形的第一個判定的方法第一個判定的方法四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 AB=AD四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形數(shù)學語言：數(shù)學語言：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形ABCDO還有其他么方法嗎還有其他么方法嗎?探究探究1 用一長一短兩根細木條用一長一短兩根細木條, ,在它們的中點在它們的中點處固定一個小釘處固定一個小釘, ,做成一個可以轉動的十字做成一個可以轉動的十字, ,四周圍上一根橡皮筋四周圍上一根橡皮筋, ,做成一個四邊形做成一個四邊形. .轉動轉動木條木條, ,

3、這個四邊形什么時候變成菱形這個四邊形什么時候變成菱形? ?對角線互相垂直的對角線互相垂直的平行四邊形是菱形平行四邊形是菱形.命題：命題：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知：在已知：在 中，中，AC AC BD BDABCDABCD求證：四邊形求證：四邊形ABCDABCD是菱形是菱形ABCDO證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形OA=OCOA=OC又又ACBD; ACBD; BA=BC BA=BC 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形判定方法判定方法2 2：u對角線互相垂直的平行四邊形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形是菱形ACB

4、D在在ABCDABCD中，中，ACBDACBD ABCDABCD是菱形是菱形ABCD菱形菱形ABCDABCDABCDABCD數(shù)學語言數(shù)學語言 先畫兩條等長的線段先畫兩條等長的線段ABAB、ADAD，然后分別以，然后分別以B B、D D為圓心，為圓心，ABAB為半徑畫弧，得到兩弧的交點為半徑畫弧，得到兩弧的交點C C，連接，連接BCBC、CDCD，就得到了一個四邊形，猜一，就得到了一個四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？說出你的理由猜，這是什么四邊形？說出你的理由猜想：猜想：有四條邊相等的四邊形是菱形。有四條邊相等的四邊形是菱形。ABCDO探究探究2命題：命題：有四條邊相等的四邊形是菱形。有四條邊相

5、等的四邊形是菱形。已知：在四邊形已知：在四邊形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=DA.求證：四邊形求證：四邊形ABCDABCD是菱形是菱形DABC證明：證明：AB=CD,AD=BCAB=CD,AD=BC四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形又又AB=AD,AB=AD,四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形u四條邊都相等的四邊形四條邊都相等的四邊形是菱形是菱形. .AB=BC=CD=DAABCD菱形菱形ABCDABCD在四邊形在四邊形ABCDABCD中中AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形四邊形四邊形

6、ABCDABCD判定方法判定方法3 3：數(shù)學語言數(shù)學語言菱形的判定菱形的判定文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言判定判定法一法一判定判定法二法二判定判定法三法三文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言判定判定法一法一判定判定法二法二對角線互相垂直對角線互相垂直的平行四邊形是的平行四邊形是菱形菱形判定判定法三法三四邊相等的四邊四邊相等的四邊形是菱形形是菱形菱形的判定菱形的判定ABCDAB=BC=CD=DA四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中ACBD四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中AB=AD四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形ABCDOABCD 一組鄰邊

7、相一組鄰邊相等的平行四等的平行四邊形是菱形邊形是菱形例例1 1、如圖，、如圖， ABCDABCD的兩條對角線的兩條對角線ACAC、BDBD相交相交于點于點O O，AB=5AB=5，AC=8AC=8，DB=6DB=6 求證求證: :四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .ABCDO四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .OA=OC=4 OB=OD=3OA=OC=4 OB=OD=3證明證明: :又又AB=5AB=5 ACBDACBDAOB=90AOB=90又又 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形ABAB2 2=AO

8、=AO2 2+BO+BO2 2 ABAB2 2=25 =25 AOAO2 2+BO+BO2 2 =16+9=25例例2 2、已知：如圖，、已知：如圖，ADAD平分平分BACBAC，DEAC DEAC 交交ABAB于于E E，DFABDFAB交交ACAC于于F F 求證：四邊形求證：四邊形AEDFAEDF是菱形是菱形 321ABCDEF AEDFAEDF是菱形是菱形證明：證明：DEAC DFABDEAC DFAB四邊形四邊形AEDFAEDF是平行四邊形是平行四邊形 DEAC DEAC2=32=3 AD AD是是ABCABC的角平分線的角平分線 1=2 1=2AE=DEAE=DE 1=3 1=31

9、 1、老師說下列三個圖形都是菱形、老師說下列三個圖形都是菱形, ,你相信嗎你相信嗎? ?5534345555 有一組鄰邊有一組鄰邊相等的平行四相等的平行四邊形叫做邊形叫做菱形菱形 對角線互相對角線互相垂直的平行四垂直的平行四邊形是邊形是菱形菱形 有四條邊相等的有四條邊相等的四邊形是四邊形是菱形菱形。3344553434555533444、如圖，順次連接矩形、如圖，順次連接矩形ABCDABCD各邊中點，得各邊中點，得到四邊形到四邊形EFGHEFGH，求證：四邊形，求證：四邊形EFGHEFGH是菱形。是菱形。HGFEDCBA證明：連接證明：連接ACAC、BDBD四邊形四邊形ABCDABCD是是矩形

10、矩形AC=BDAC=BD點點E E、F F、G G、H H為各邊中點為各邊中點1122EFGHBDFGEHAC，EF=FG=GH=HEEF=FG=GH=HE四邊形四邊形EFGHEFGH是菱形是菱形5 5、已知：如圖、已知：如圖, , ABCD ABCD的對角線的對角線ACAC的的垂直平分線與邊垂直平分線與邊ADAD，BCBC分別交于分別交于E E，F(xiàn) F求證：四邊形求證：四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形ABFCDEOEF垂直平分垂直平分ACACAO=CO, AOE=90AO=CO, AOE=90FOC=AOE=90FOC=AOE=90四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 AD

11、BC AEFCAEO=CFOAEO CFO證明：證明：OE=OF又又AO=COAO=CO四邊形四邊形AFCEAFCE是平是平行四邊形行四邊形又又EFEFACAC四邊形四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形四條邊都相等四條邊都相等菱形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等對角線互相垂直對角線互相垂直對角線互相平分對角線互相平分一組對邊平行且相等一組對邊平行且相等兩組對邊平行或相等兩組對邊平行或相等四邊形四邊形平行四邊形平行四邊形兩組對角相等兩組對角相等習題18.2 6、 10作業(yè)：作業(yè)：ADCBEF把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分重疊部分ABCDABCD的形狀嗎？的形狀嗎？思考:請你動腦筋請你動腦筋如圖，如圖，ADBC，BD垂直平分垂直平分AC，四邊形四邊形ABCD一定是菱形嗎？若是，一定是菱形嗎？若是，請說明理由。請說明理由。CDBAOu思考題思考題:) 12 (提示提示: AOD COB（角邊角）（角邊角）AD=BC