2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)與測(cè)試 命題與證明 新課標(biāo) 人教版.doc

2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)與測(cè)試 命題與證明 新課標(biāo) 人教版 1. 命題的概念 判斷一件事情的句子叫做命題。 正確利用命題的定義，來(lái)判斷一語(yǔ)句是否為命題，關(guān)鍵看它是否為判斷句。 如：（1）兩點(diǎn)確定一條直線。（2）過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)一條直線。（3）過(guò)兩點(diǎn)能畫(huà)一條直線嗎？ （1）是判斷句，所以是命題，而（2）是描述句；（3）是疑問(wèn)句，所以（2）、（3）都不是命題。 2. 命題的結(jié)構(gòu)。 命題是由題設(shè)（已知事項(xiàng)）和結(jié)論（由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)）組成的。 已知事項(xiàng)，常寫(xiě)為：“如果”，由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，常寫(xiě)為：“那么。”所以，對(duì)于一般命題而言，“如果”后面是題設(shè)，“那么”后面是結(jié)論。有的命題語(yǔ)言很簡(jiǎn)練，可以將其改寫(xiě)成：“如果那么”的形式。 3. 命題的真假性。 命題有真有假，正確的命題叫真命題；錯(cuò)誤的命題叫做假命題，判定一個(gè)命題是真命題時(shí)，必須保證題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論一定成立。判斷一個(gè)命題是假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)“反例”，說(shuō)明不能保證結(jié)論一定成立即可。 4. 公理。 人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理，如“兩點(diǎn)之間，線段最短”，“兩直線平行，同位角相等”。 注意：（1）公理是通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐反復(fù)試驗(yàn)證過(guò)的，不需再進(jìn)行推理論證而都承認(rèn)的命題。（2）公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù)。 5. 定理。 用推導(dǎo)的方法判為正確的命題叫做定理。如“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”等。 定理是真命題，但真命題不一定都是定理，一般選擇一些最常用最基本的真命題作為定理，可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題，這些選作定理的真命題，在教材中用黑體字排印的。 6. 證明： 判斷一個(gè)命題的正確性的推理過(guò)程叫做證明。 在幾何題的研究上，必須經(jīng)過(guò)證明，才能做出真實(shí)可靠的判斷，如“對(duì)頂角相等”這個(gè)命題，如果只采用測(cè)量的方法，只能測(cè)量有限個(gè)對(duì)頂角是相等的，但采用推理方法證明了對(duì)頂角相等，那么就可以確信一切對(duì)頂角相等。 7. 證明的一般步驟： （1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。 （2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證。 （3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程?！镜湫屠}】 例1. 下列語(yǔ)句是不是命題？ （1）畫(huà)AOB的平分線； （2）兩條直線相交，有幾個(gè)交點(diǎn)？ （3）直角大于銳角； （4）如果； （5）小林可能被北京大學(xué)錄取了； （6）幾何多有樂(lè)趣??！ 分析：命題不僅是一個(gè)完整的句子，而且要有判斷的特征。 （1）是畫(huà)圖語(yǔ)句。（2）是疑問(wèn)語(yǔ)句。（5）是猜測(cè)，既沒(méi)有肯定又沒(méi)有否定。（6）是感嘆句，它們都不是命題。 （4）是不正確的命題，但它是命題。 解：（1）、（2）、（5）、（6）都不是命題； （3）、（4）都是命題。 例2. 把下列命題改寫(xiě)成“如果那么”的形式，指出其題設(shè)和結(jié)論，并判斷其真假。 （1）垂直于同一條直線的兩條直線平行； （2）同角的余角相等； （3）異號(hào)的兩數(shù)相加得負(fù)數(shù)。 分析：（1）命題對(duì)符合某種條件的兩條直線作出了是平行線的判斷。 （2）命題是對(duì)符合某種條件的兩個(gè)角作出了相等的判斷。 （3）命題是對(duì)符合某種條件的兩個(gè)數(shù)相加的結(jié)果作出了是負(fù)數(shù)的判斷。 解：（1）如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。 題設(shè)：兩條直線垂直于同一條直線； 結(jié)論：這兩條直線平行。是真命題。 （2）如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等。 題設(shè)：兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角； 結(jié)論：這兩個(gè)角相等。是真命題。 （3）如果兩個(gè)數(shù)異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)的和是負(fù)數(shù)。 題設(shè)：兩個(gè)數(shù)異號(hào)，結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)的和是負(fù)數(shù)。是假命題。 點(diǎn)撥：如何把命題改寫(xiě)成“如果那么”的形式，首先要找出命題的題設(shè)和結(jié)論?！叭绻焙髮?xiě)題設(shè)，是已知事項(xiàng)，“那么”后面寫(xiě)結(jié)論，也就是由題設(shè)推出的事項(xiàng)。 例3. 判斷下列命題是真命題還是假命題，要說(shuō)出判斷的理由。 （1）二元一次方程組一定有解。 （2）AOB90時(shí)，OAOB。 （3）一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小。 （4）互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線一定互相垂直。 解：（1）是假命題，如方程組就無(wú)解。 （2）是真命題，由垂直的定義可知，如果兩條直線相交成90，那么這兩條直線互相垂直。 （3）是假命題，如3的相反數(shù)3，則3（3）。 （4）是假命題，因?yàn)榛檠a(bǔ)角的兩個(gè)角不一定相鄰，因而不能確定它們的位置。 點(diǎn)撥：要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)反例即可。 例4. 已知，如圖1，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點(diǎn)，DEBA，DFCA。求證：FDEA。圖1 分析：由DEBA知ADEC 由DFAC知FDEDEC，問(wèn)題得證。 證明：DEBA（已知） DECA（兩直線平行，同位角相等） DFAC（已知） DECFDE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） FDEA（等量代換） 例5. 如圖2，平行四邊形ABCD與平行四邊形EAFC的頂點(diǎn)D、B、E、F在一條直線上，求證：DEBF。圖2 分析：要證明DEBF，因?yàn)閮删€段都在平行四邊形的對(duì)角線上，可以考慮通過(guò)平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一特征來(lái)證明。 證明：連結(jié)AC交BD于O 在平行四邊形ABCD中，OBOD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分） 在平行四邊形AFCE中，OFOE（平行四邊形的對(duì)角線互相平分） 則OBOFODOE（等式的性質(zhì)） 即BFDE 例6. 如圖3，已知AEBC，BC，求證：AE是DAC的平分線。圖3 分析：要證AE是DAC的平分線，只要證明12，而已知AEBC，可以得到1B，2C，再由BC，利用等量代換可推證：12。 證明：AEBC（已知） 1B（兩直線平行，同位角相等） 2C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又BC（已知） 12（等量代換） AE是DAC的平分線（角平分線定理） 點(diǎn)撥：利用等量代換可推證：12。 例7. 證明：兩條平行線被第三條直線所截，一組同位角的角平分線互相平行。 分析：這是一個(gè)文字命題，要分清題設(shè)和結(jié)論，然后根據(jù)題意畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知和求證。 已知：如圖4，ABCD，EF交AB、CD分別于G、H，GK平分EGB，HL平分GHD。圖4 求證：GKHL 證明：ABCD（已知） EGBGHD（兩直線平行，同位角相等） GK平分EGB，HL平分GHD（已知） （角平分線定義）。 12（等量代換） GKHL（同位角相等，兩直線平行） 點(diǎn)撥：對(duì)文字?jǐn)⑹龅拿}，在寫(xiě)出“已知”和“求證”時(shí)，要借助圖形“翻譯”成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言。證明中的推理要有根據(jù)，不能想當(dāng)然。 例8. 如圖5，已知：12180，3B，判斷AED與C的大小關(guān)系。并對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明。圖5 分析：題目已知條件中涉及的角比較分散，都不能構(gòu)成“三線八角”的基本圖形，但根據(jù)圖形可知，1與4的鄰補(bǔ)角，有14180，而已知12180，故可得24，進(jìn)而知道EFAB，3ADE，又根據(jù)3B，故可得ADBB，這樣DEBC了，那么AEDC。 解：AEDC，證明如下： 12180（已知） 14180（鄰補(bǔ)角定義） 24（同角的補(bǔ)角相等） ABEF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 3ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又3B（已知）。 ADEB（等量代換）。 DEBC（同位角相等，兩直線平行） AEDC（兩直線平行，同位角相等） 例9. 已知，如圖6，E是正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE平分BAF。圖6 求證：AFBCCF 分析：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法是解答證明題的關(guān)鍵。本題要證明一條線段是另外兩條線段的和，可以考慮用“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法。即可以（1）在AF上截取AMAB，再證MFCF；（2）將線段BC、CF合二為一，借助等腰三角形的判定定理來(lái)證明；（3）還可以取AF的中點(diǎn)，借助梯形的中位線定理證之?，F(xiàn)介紹證法（1）： 證明：在AF上截取AMAB，連結(jié)EM、EF 在ABE和AME中 ABAM，12，AEAE ABEAME， BEEM，BAME 四邊形ABCD是正方形 ABBC，B90C EMFC90 E是BC中點(diǎn)，BEECEM 在RtEFM和RtEFC中， CEMF90 EMEC，EFEF RtEFMRtEFC， MFCF AFAMMFBCCF 例10. 請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題。三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，已知如圖7，ABC中，AD是角平分線。圖7 求證： 剖析：要證，一般只要BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似?，F(xiàn)在B、D、C在一直線上，ABD與ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。 此比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過(guò)C作CEAD交BA的延長(zhǎng)線于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)AE。這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化成證AEAC。 證明：過(guò)C作CEDA交BA的延長(zhǎng)線于E （答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，把正確答案的代號(hào)填在括號(hào)內(nèi)） 1. 在ABC和ABC中，ABAB；BCBC；ACAC；AA；BB；CC。則不能判斷ABCABC的是（ ） A. B. C. D. 2. 在ABC和ABC中，ABAB，ACAC，BB，則C與C的關(guān)系為（ ） A. 相等B. 互補(bǔ) C. 相等或互補(bǔ)D. 不能確定 3. 下列三個(gè)命題中 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 用全等的正三角形，可以進(jìn)行平面鑲嵌 正三角形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形 錯(cuò)誤的命題有（ ） A. 3個(gè)B. 2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè) 4. 要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CDCB，再定出BF的垂線DE。使A、C、E在一條直線上（如圖1），可以證明EDCABC，得到EDAB，因此測(cè)量ED的長(zhǎng)即為AB的長(zhǎng)，判斷EDCABC的理由是（ ）圖1 A. SSSB. SASC. ASAD. HL 5. 如圖2，AOBO，CODO，連接AD、BC交于點(diǎn)P，則AODBOC；APCBPD；點(diǎn)P在AOB的角平分線上，以上結(jié)論中（ ）圖2 A. 只有正確 B. 只有正確 C. 只有正確 D. 都正確 6. 已知ABC中，ABAC，BAC90，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：圖3 AECF EPF是等腰直角三角形 EFAP，當(dāng)EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合）， 上述結(jié)論中始終正確的有（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè) 7. 能把平行四邊形分成兩個(gè)全等形的直線有（ ） A. 2條B. 3條 C. 4條D. 無(wú)數(shù)條二、判斷題 8. 頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等。（ ） 9. 關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。（ ） 10. 周長(zhǎng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（ ） 11. 有一邊和這邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（ ） 12. 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。（ ） 13. 三角形的三條中位線把三角形分割成四部分，它們是全等形。（ ）三、填空題 14. 把下列命題寫(xiě)成“如果，那么”的形式： 直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半。 _ 15. 如圖4，ACDC，ACDBCE，添加一個(gè)條件_，使ABCDEC。圖4 16. 如圖5，ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連BE、CE。圖5 按要求寫(xiě)出正確的結(jié)論： （1）全等三角形一組：_； （2）相等的角一組：_； （3）相等的線段一組（除ABAC）：_。 17. O為平行四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，則圖6中的全等三角形有_對(duì)。圖6 18. BD是ABC的角平分線，C90，ACCB，DEAB于E，若AB5cm，則ADE的周長(zhǎng)為_(kāi)。圖7 19. 此題共有A、B、C三題。請(qǐng)你任選兩題填寫(xiě)，多填寫(xiě)的題目不記分。填寫(xiě)時(shí)不再標(biāo)注另外的字母。根據(jù)選題難度評(píng)分（1）（2）（3）圖8 （A）如圖8（1），ABAC，ADAE。 寫(xiě)出一對(duì)全等三角形_；識(shí)別方法是_。 （B）如圖8（2），CEAB于點(diǎn)E，BDAC于點(diǎn)D，BD、CE交于點(diǎn)O，且AO平分BAC。 寫(xiě)出一對(duì)全等三角形_；識(shí)別方法是_。 （C）如圖8（3），BDA、HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延長(zhǎng)線與AC交于點(diǎn)E。 寫(xiě)出一對(duì)全等三角形_；識(shí)別方法是_。四、解答題 20. 根據(jù)下列命題，畫(huà)出圖形并寫(xiě)出“已知”、“求證”：直徑所對(duì)的圓周角是直角。 已知：_ 求證：_ 21. 已知、，用直尺和圓規(guī)作角：。（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）圖9 22. 已知線段a、b，用直尺和圓規(guī)作ABC，使ABc，ACb，C。（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）圖10 23. 分別作出下列三個(gè)三角形三邊上的高，根據(jù)你畫(huà)的圖形判斷三角形三邊上的高線交點(diǎn)位置是怎樣的？（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）圖11參考答案一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，把正確答案的代號(hào)填在括號(hào)內(nèi)） 1. D2. C3. B4. C5. D 6. C7. D二、判斷題 8. 9. 10. 11. 12. 13. 三、填空題 14. 如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它斜邊上的中線等于斜邊的一半 15. BCEC或AD或DECB等 16. （1）ABDACD或BDECDE或ABEACE （2）BAEEAC等， （3）BDDC或BEEC 17. 6 18. 5cm 19. （A）ABDACE，SAS （B）AEOADO，AAS等， （C）BDHADC，SAS四、解答題 20. 已知：AB為O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)。 求證：ACB為直角。 21. 略 22. 略 23. 當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，交點(diǎn)在三角形內(nèi)；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，交點(diǎn)在三角形的邊上；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，交點(diǎn)在三角形外。 作圖略。