2019-2020年九年級數(shù)學(xué)輔導(dǎo)與測試 命題與證明 新課標 人教版.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)輔導(dǎo)與測試 命題與證明 新課標 人教版 1. 命題的概念 判斷一件事情的句子叫做命題。 正確利用命題的定義,來判斷一語句是否為命題,關(guān)鍵看它是否為判斷句。 如:(1)兩點確定一條直線。(2)過兩點畫一條直線。(3)過兩點能畫一條直線嗎? (1)是判斷句,所以是命題,而(2)是描述句;(3)是疑問句,所以(2)、(3)都不是命題。 2. 命題的結(jié)構(gòu)。 命題是由題設(shè)(已知事項)和結(jié)論(由已知事項推出的事項)組成的。 已知事項,常寫為:“如果”,由已知事項推出的事項,常寫為:“那么。”所以,對于一般命題而言,“如果”后面是題設(shè),“那么”后面是結(jié)論。有的命題語言很簡練,可以將其改寫成:“如果那么”的形式。 3. 命題的真假性。 命題有真有假,正確的命題叫真命題;錯誤的命題叫做假命題,判定一個命題是真命題時,必須保證題設(shè)成立時,結(jié)論一定成立。判斷一個命題是假命題時,只需舉出一個“反例”,說明不能保證結(jié)論一定成立即可。 4. 公理。 人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認的真命題,叫做公理,如“兩點之間,線段最短”,“兩直線平行,同位角相等”。 注意:(1)公理是通過長期實踐反復(fù)試驗證過的,不需再進行推理論證而都承認的命題。(2)公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù)。 5. 定理。 用推導(dǎo)的方法判為正確的命題叫做定理。如“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”等。 定理是真命題,但真命題不一定都是定理,一般選擇一些最常用最基本的真命題作為定理,可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題,這些選作定理的真命題,在教材中用黑體字排印的。 6. 證明: 判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。 在幾何題的研究上,必須經(jīng)過證明,才能做出真實可靠的判斷,如“對頂角相等”這個命題,如果只采用測量的方法,只能測量有限個對頂角是相等的,但采用推理方法證明了對頂角相等,那么就可以確信一切對頂角相等。 7. 證明的一般步驟: (1)根據(jù)題意,畫出圖形。 (2)根據(jù)題設(shè)、結(jié)論,結(jié)合圖形,寫出已知、求證。 (3)經(jīng)過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程?!镜湫屠}】 例1. 下列語句是不是命題? (1)畫AOB的平分線; (2)兩條直線相交,有幾個交點? (3)直角大于銳角; (4)如果; (5)小林可能被北京大學(xué)錄取了; (6)幾何多有樂趣啊! 分析:命題不僅是一個完整的句子,而且要有判斷的特征。 (1)是畫圖語句。(2)是疑問語句。(5)是猜測,既沒有肯定又沒有否定。(6)是感嘆句,它們都不是命題。 (4)是不正確的命題,但它是命題。 解:(1)、(2)、(5)、(6)都不是命題; (3)、(4)都是命題。 例2. 把下列命題改寫成“如果那么”的形式,指出其題設(shè)和結(jié)論,并判斷其真假。 (1)垂直于同一條直線的兩條直線平行; (2)同角的余角相等; (3)異號的兩數(shù)相加得負數(shù)。 分析:(1)命題對符合某種條件的兩條直線作出了是平行線的判斷。 (2)命題是對符合某種條件的兩個角作出了相等的判斷。 (3)命題是對符合某種條件的兩個數(shù)相加的結(jié)果作出了是負數(shù)的判斷。 解:(1)如果兩條直線垂直于同一條直線,那么這兩條直線平行。 題設(shè):兩條直線垂直于同一條直線; 結(jié)論:這兩條直線平行。是真命題。 (2)如果兩個角是同一個角的余角,那么這兩個角相等。 題設(shè):兩個角是同一個角的余角; 結(jié)論:這兩個角相等。是真命題。 (3)如果兩個數(shù)異號,那么這兩個數(shù)的和是負數(shù)。 題設(shè):兩個數(shù)異號,結(jié)論:這兩個數(shù)的和是負數(shù)。是假命題。 點撥:如何把命題改寫成“如果那么”的形式,首先要找出命題的題設(shè)和結(jié)論?!叭绻焙髮戭}設(shè),是已知事項,“那么”后面寫結(jié)論,也就是由題設(shè)推出的事項。 例3. 判斷下列命題是真命題還是假命題,要說出判斷的理由。 (1)二元一次方程組一定有解。 (2)AOB90時,OAOB。 (3)一個數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小。 (4)互為補角的兩個角的平分線一定互相垂直。 解:(1)是假命題,如方程組就無解。 (2)是真命題,由垂直的定義可知,如果兩條直線相交成90,那么這兩條直線互相垂直。 (3)是假命題,如3的相反數(shù)3,則3(3)。 (4)是假命題,因為互為補角的兩個角不一定相鄰,因而不能確定它們的位置。 點撥:要判斷一個命題是假命題,只要舉出一個反例即可。 例4. 已知,如圖1,D、E、F分別是BC、CA、AB上的點,DEBA,DFCA。求證:FDEA。圖1 分析:由DEBA知ADEC 由DFAC知FDEDEC,問題得證。 證明:DEBA(已知) DECA(兩直線平行,同位角相等) DFAC(已知) DECFDE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) FDEA(等量代換) 例5. 如圖2,平行四邊形ABCD與平行四邊形EAFC的頂點D、B、E、F在一條直線上,求證:DEBF。圖2 分析:要證明DEBF,因為兩線段都在平行四邊形的對角線上,可以考慮通過平行四邊形的對角線互相平分這一特征來證明。 證明:連結(jié)AC交BD于O 在平行四邊形ABCD中,OBOD(平行四邊形的對角線互相平分) 在平行四邊形AFCE中,OFOE(平行四邊形的對角線互相平分) 則OBOFODOE(等式的性質(zhì)) 即BFDE 例6. 如圖3,已知AEBC,BC,求證:AE是DAC的平分線。圖3 分析:要證AE是DAC的平分線,只要證明12,而已知AEBC,可以得到1B,2C,再由BC,利用等量代換可推證:12。 證明:AEBC(已知) 1B(兩直線平行,同位角相等) 2C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) 又BC(已知) 12(等量代換) AE是DAC的平分線(角平分線定理) 點撥:利用等量代換可推證:12。 例7. 證明:兩條平行線被第三條直線所截,一組同位角的角平分線互相平行。 分析:這是一個文字命題,要分清題設(shè)和結(jié)論,然后根據(jù)題意畫出圖形,寫出已知和求證。 已知:如圖4,ABCD,EF交AB、CD分別于G、H,GK平分EGB,HL平分GHD。圖4 求證:GKHL 證明:ABCD(已知) EGBGHD(兩直線平行,同位角相等) GK平分EGB,HL平分GHD(已知) (角平分線定義)。 12(等量代換) GKHL(同位角相等,兩直線平行) 點撥:對文字敘述的命題,在寫出“已知”和“求證”時,要借助圖形“翻譯”成數(shù)學(xué)符號語言。證明中的推理要有根據(jù),不能想當然。 例8. 如圖5,已知:12180,3B,判斷AED與C的大小關(guān)系。并對結(jié)論進行證明。圖5 分析:題目已知條件中涉及的角比較分散,都不能構(gòu)成“三線八角”的基本圖形,但根據(jù)圖形可知,1與4的鄰補角,有14180,而已知12180,故可得24,進而知道EFAB,3ADE,又根據(jù)3B,故可得ADBB,這樣DEBC了,那么AEDC。 解:AEDC,證明如下: 12180(已知) 14180(鄰補角定義) 24(同角的補角相等) ABEF(內(nèi)錯角相等,兩直線平行) 3ADE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) 又3B(已知)。 ADEB(等量代換)。 DEBC(同位角相等,兩直線平行) AEDC(兩直線平行,同位角相等) 例9. 已知,如圖6,E是正方形ABCD的邊BC的中點,F(xiàn)是CD上一點,AE平分BAF。圖6 求證:AFBCCF 分析:系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法是解答證明題的關(guān)鍵。本題要證明一條線段是另外兩條線段的和,可以考慮用“截長”或“補短”的方法。即可以(1)在AF上截取AMAB,再證MFCF;(2)將線段BC、CF合二為一,借助等腰三角形的判定定理來證明;(3)還可以取AF的中點,借助梯形的中位線定理證之?,F(xiàn)介紹證法(1): 證明:在AF上截取AMAB,連結(jié)EM、EF 在ABE和AME中 ABAM,12,AEAE ABEAME, BEEM,BAME 四邊形ABCD是正方形 ABBC,B90C EMFC90 E是BC中點,BEECEM 在RtEFM和RtEFC中, CEMF90 EMEC,EFEF RtEFMRtEFC, MFCF AFAMMFBCCF 例10. 請閱讀下面材料,并回答所提出的問題。三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例,已知如圖7,ABC中,AD是角平分線。圖7 求證: 剖析:要證,一般只要BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似?,F(xiàn)在B、D、C在一直線上,ABD與ADC不相似,需要考慮用別的方法換比。 此比例式中,AC恰是BD、DC、AB的第四比例項,所以考慮過C作CEAD交BA的延長線于E,從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE。這樣,證明就可以轉(zhuǎn)化成證AEAC。 證明:過C作CEDA交BA的延長線于E (答題時間:60分鐘)一、選擇題(每小題只有一個正確答案,把正確答案的代號填在括號內(nèi)) 1. 在ABC和ABC中,ABAB;BCBC;ACAC;AA;BB;CC。則不能判斷ABCABC的是( ) A. B. C. D. 2. 在ABC和ABC中,ABAB,ACAC,BB,則C與C的關(guān)系為( ) A. 相等B. 互補 C. 相等或互補D. 不能確定 3. 下列三個命題中 三個角對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形 用全等的正三角形,可以進行平面鑲嵌 正三角形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形 錯誤的命題有( ) A. 3個B. 2個C. 1個D. 0個 4. 要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離,先在AB的垂線BF上取兩點C、D,使CDCB,再定出BF的垂線DE。使A、C、E在一條直線上(如圖1),可以證明EDCABC,得到EDAB,因此測量ED的長即為AB的長,判斷EDCABC的理由是( )圖1 A. SSSB. SASC. ASAD. HL 5. 如圖2,AOBO,CODO,連接AD、BC交于點P,則AODBOC;APCBPD;點P在AOB的角平分線上,以上結(jié)論中( )圖2 A. 只有正確 B. 只有正確 C. 只有正確 D. 都正確 6. 已知ABC中,ABAC,BAC90,直角EPF的頂點P是BC中點,兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F,給出以下四個結(jié)論:圖3 AECF EPF是等腰直角三角形 EFAP,當EPF在ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A、B重合), 上述結(jié)論中始終正確的有( ) A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個 7. 能把平行四邊形分成兩個全等形的直線有( ) A. 2條B. 3條 C. 4條D. 無數(shù)條二、判斷題 8. 頂角相等的兩個等腰三角形全等。( ) 9. 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。( ) 10. 周長相等的兩個直角三角形全等。( ) 11. 有一邊和這邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等。( ) 12. 全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。( ) 13. 三角形的三條中位線把三角形分割成四部分,它們是全等形。( )三、填空題 14. 把下列命題寫成“如果,那么”的形式: 直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半。 _ 15. 如圖4,ACDC,ACDBCE,添加一個條件_,使ABCDEC。圖4 16. 如圖5,ABC中,ABAC,ADBC于點D,E是AD延長線上一點,連BE、CE。圖5 按要求寫出正確的結(jié)論: (1)全等三角形一組:_; (2)相等的角一組:_; (3)相等的線段一組(除ABAC):_。 17. O為平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點,EF經(jīng)過點O,且與邊AD、BC分別交于點E、F,則圖6中的全等三角形有_對。圖6 18. BD是ABC的角平分線,C90,ACCB,DEAB于E,若AB5cm,則ADE的周長為_。圖7 19. 此題共有A、B、C三題。請你任選兩題填寫,多填寫的題目不記分。填寫時不再標注另外的字母。根據(jù)選題難度評分(1)(2)(3)圖8 (A)如圖8(1),ABAC,ADAE。 寫出一對全等三角形_;識別方法是_。 (B)如圖8(2),CEAB于點E,BDAC于點D,BD、CE交于點O,且AO平分BAC。 寫出一對全等三角形_;識別方法是_。 (C)如圖8(3),BDA、HDC都是等腰直角三角形,且D在BC上,BH的延長線與AC交于點E。 寫出一對全等三角形_;識別方法是_。四、解答題 20. 根據(jù)下列命題,畫出圖形并寫出“已知”、“求證”:直徑所對的圓周角是直角。 已知:_ 求證:_ 21. 已知、,用直尺和圓規(guī)作角:。(不寫作法,保留作圖痕跡)圖9 22. 已知線段a、b,用直尺和圓規(guī)作ABC,使ABc,ACb,C。(不寫作法,保留作圖痕跡)圖10 23. 分別作出下列三個三角形三邊上的高,根據(jù)你畫的圖形判斷三角形三邊上的高線交點位置是怎樣的?(不寫作法,保留作圖痕跡)圖11參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,把正確答案的代號填在括號內(nèi)) 1. D2. C3. B4. C5. D 6. C7. D二、判斷題 8. 9. 10. 11. 12. 13. 三、填空題 14. 如果一個三角形是直角三角形,那么它斜邊上的中線等于斜邊的一半 15. BCEC或AD或DECB等 16. (1)ABDACD或BDECDE或ABEACE (2)BAEEAC等, (3)BDDC或BEEC 17. 6 18. 5cm 19. (A)ABDACE,SAS (B)AEOADO,AAS等, (C)BDHADC,SAS四、解答題 20. 已知:AB為O的直徑,C為半圓上一點。 求證:ACB為直角。 21. 略 22. 略 23. 當三角形為銳角三角形時,交點在三角形內(nèi);當三角形為直角三角形時,交點在三角形的邊上;當三角形為鈍角三角形時,交點在三角形外。 作圖略。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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