隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)東南大學(xué)曹振華1-5章.ppt

概率論講義,1.確定性現(xiàn)象.,在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的，因而無法事先斷言出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。,第一章隨機(jī)事件及其概率,3.概率規(guī)律和統(tǒng)計規(guī)律性。,2.隨機(jī)現(xiàn)象:,1.1隨機(jī)事件,隨機(jī)試驗:可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)重復(fù)試驗有多個可能結(jié)果,且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗只出現(xiàn)一個結(jié)果，且試驗前不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果。,樣本空間隨機(jī)試驗中，每一個可能結(jié)果稱為該試驗的一個樣本點,記為.全體樣本點組成的集合稱為該試驗的樣本空間，記為。,E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.,1=H,T1=H,2=T,E4:電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).,4=0，1，2，1=0,2=1,3=2,E3:擲一顆骰子,觀察點數(shù).則,3=1,2,3,4,5,61=12=26=6,E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.,2=HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT,E5:從一批電子元件中任取一只測試其壽命.,5=t|t0,1.離散樣本空間.,2.連續(xù)樣本空間.,如E1中,“出現(xiàn)正面”;E3中，“出現(xiàn)偶數(shù)點”;E5中1000<t<3000(小時).,隨機(jī)事件“在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生事情”叫做隨機(jī)事件,簡稱事件.,隨機(jī)事件：樣本空間中樣本點的集合,基本事件:由單個樣本點組成如:H,T.,必然事件:樣本空間自身,復(fù)合事件:多個樣本點組成如:E3中出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù).,不可能事件：空集,事件間的關(guān)系與事件的運算,1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:,AB:A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,若AB且AB,則A=B,2.事件的并:,3.事件的交：AB:“事件A與B同時發(fā)生”,4.事件的差:A-B:“A發(fā)生而B不發(fā)生”,5.互不相容(互斥):,注：基本事件兩兩互不相容,6.互逆事件：,7.事件的運算律:,交換律:,結(jié)合律:,分配律：,解釋:,德摩根公式推廣：,德摩根公式:,例1高射炮對模型飛機(jī)射擊三次，設(shè)Ai表示“第i次擊中飛機(jī)”，用Ai表示下列事件,(1)B1“只有第一次擊中飛機(jī)”,（2）B2“恰有一次擊中飛機(jī)”（3）B3“至少有一次擊中飛機(jī)”（4）B4“至多兩次擊中飛機(jī)”,解(1),2.頻率與概率,(一)頻率1.定義：將一試驗E在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次,如果事件A發(fā)生了nA次,則比值Fn(A)=nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率.,拋幣試驗,頻率的特性:波動性和穩(wěn)定性.,(1)波動性:對于同一個試驗,不同的試驗序列其頻率不同;,(2)穩(wěn)定性:隨著n逐漸增大,事件A的頻率總在某一定值P(A)的附近擺動而逐漸穩(wěn)定。,P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。,(二)概率,頻率的穩(wěn)定值P(A)反映了事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小，稱P(A)為事件A的概率。,1統(tǒng)計定義：,2公理化定義：設(shè)為樣本空間，A為事件，對每一事件A賦予一實數(shù)P(A)，如果P(A)滿足如下三條公理：,則稱P(A)為事件A的概率。,概率的性質(zhì):,P(B)=P(A)+P(B-A),這個式子稱為“加奇減偶公式”.,例1設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.,3.古典概型,古典概型的特點:,(1)有限樣本空間:=1,2,n,(2)等可能樣本點:P(1)=P(2)=P(n),計算公式:由概率定義及等可能性,可得,例.設(shè)一袋中有編號為1,2,9的球共9只,現(xiàn)從中任取3只,試求:(1)取到1號球的概率,（記為事件A）(2)最小號碼為5的概率.（記為事件B）,解：從9個球中任取3只球,共有種取法.,（2）最小號碼為5,共有種取法.,（1）取到1號球共有種取法,推廣：有N件產(chǎn)品,其中M件次品,從中任取n件,求取到k件次品的概率.,M件次品中取k件,取法數(shù)為從N-M件正品中取n-k件,取法數(shù)為,于是,解:記Ak:取到k件次品N件中任取n件,共有取法,例2將n只球一只一只隨機(jī)地放入N(Nn)個盒子中去,試求A:1-n號盒子各有一球的概率B:每個盒子至多有一只球的概率.(設(shè)盒子的容量不限),假定每個人的生日在一年365天的任一天都等可能,隨機(jī)選取n(0,稱,為在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率.,性質(zhì)(條件概率是一個概率),例1根據(jù)長期氣象紀(jì)錄，甲乙兩城市一年中雨天的比例分別為20%和18%,同時下雨的比例為12%。問甲乙兩城市氣候是否相關(guān)？,解：以A,B分別表示甲乙兩城市出現(xiàn)雨天。則P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是,所以兩城市氣候有一定的相關(guān)性。,例2袋中有某產(chǎn)品件，其中一等品件二等品件，不放回從中連續(xù)抽兩件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).,(二)乘法定理:,推廣:若P(AB)>0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般,設(shè)A1,A2,An是n個事件,(n2),P(A1A2.An-1)>0,則有乘法公式:,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).,例透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.,練習(xí)：設(shè)盒中有a(a>2)個黑球，b個白球，連續(xù)從盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。,解：以Ai表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),(三)全概率公式和貝葉斯公式:,例1.某電子設(shè)備廠所用的晶體管由三家元件制造廠提供,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05從中任取一只晶體管,它是次品的概率是多少？,全概率公式:,例1(續(xù)).:產(chǎn)品為次品,Bi:產(chǎn)品由工廠i生產(chǎn),元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05,運用全概率公式可得,例2某產(chǎn)品整箱出售每箱20個，各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客購買時選取一箱從中任取4只檢查，若無次品則買下該箱產(chǎn)品，若有次品則退回，求顧客買下該箱產(chǎn)品的概率。,解：以Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有j個次品”(j=0,1,2),則Bj構(gòu)成樣本空間的一個劃分.A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”,練習(xí):甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球,從甲箱中取兩只球放入乙箱中,再從乙箱中取1球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.,解設(shè)Bi=從甲箱中取出i只白球i=0,1,2.則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間的一個劃分。有,由全概率公式,貝葉斯公式:,例3(續(xù)1)任取一只晶體管,若它是次品,則它由1號工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?,10.020.1520.010.8030.030.05,注:1.P(Bi)稱為先驗概率。事件B1,B2,Bn被看作是引起事件A發(fā)生的n個原因。,2.P(Bi|A)通常稱為后驗概率。事件A表示結(jié)果，P(Bi|A)表示A的發(fā)生是由第i個原因引起的概率。,求結(jié)果：全概公式求原因：貝葉斯公式,例在數(shù)字通訊中，發(fā)送信號和的概率分別為0.7和0.3;發(fā)送0收到1的概率為0.2;發(fā)送1收到1的概率為0.9。求收到信號為1時發(fā)送信號為1的概率。,解：A接收信號為1,練習(xí)：機(jī)器良好時,生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器有故障時,其合格率為30%,每天開機(jī)時機(jī)器良好的概率為75%。已知某日第一件產(chǎn)品是合格品,問機(jī)器良好的概率是多少?,解:A表“產(chǎn)品合格”,B為“機(jī)器良好”,=(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.,1.5獨立性,若P(B|A)=P(B),由乘法公式有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,一般地,P(B|A)P(B).,例1設(shè)袋中有a只紅球和b只白球，今從袋中取球兩次,每次各取一球,記:A,B分別表示“第一、二次取得紅球”。,2.有放回時:,1.不放回時:,定義1:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨立的事件.,注：必然事件和不可能事件與任何事件A都獨立,定理：如果事件A,B相互獨立，且P(B)>0,則P(A|B)=P(A),例2甲、乙兩射手向同一目標(biāo)獨立射擊,甲擊中目標(biāo)的概率為0.9，乙擊中目標(biāo)的概率為0.8，求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率。,解：A甲擊中目標(biāo)，B乙擊中目標(biāo)，,定義2:設(shè)A,B,C是三個事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨立的事件.,定義3：對n個事件A1,A2,An,如果對所有可能的組合1i<j<k<n成立著P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),則稱這n個事件A1,A2,An相互獨立.,定義4：設(shè)A1,A2,An是n個事件，如果對任意的1i<jn有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個事件兩兩獨立.,注：若n個事件相互獨立，必蘊含這n個事件兩兩相互獨立.反之不成立。,例3一均勻正四面體,其一、二、三面分別染成紅白黑三色,第四面染上紅白黑三色.現(xiàn)以分別A,B,C記投擲一次四面體出現(xiàn)紅白黑顏色的事件,則由于四面體中有兩面有紅色,因此,但是P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)A,B,C不是相互獨立的.,同理P(B)=P(C)=1/2,容易算出P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4,所以A,B,C兩兩獨立.,P(A)=1/2,例4假若每個人血清中有肝炎病毒的概率為0.4%,混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.,解：以Ai(i=1,2,100)記“第i個人的血清含有肝炎病毒”,Ai相互獨立.所求概率為,例5設(shè)有4個元件,每個元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個系統(tǒng)的可靠性.,二:先并聯(lián)后串聯(lián),一:先串聯(lián)后并聯(lián),練習(xí)某高射炮打飛機(jī)命中率為0.6,為了以99%以上的概率命中目標(biāo)，應(yīng)配備多少門大炮？,3.袋子中有編號1-10十個球，從中任取一個若不是“2”號球則放回，若是則不放回。然后從袋子中再任取一球，則取到”1”號球的概率是多少？,4.甲乙丙三個班級學(xué)生數(shù)分別為20，25，30，其中女生數(shù)為7，5，9.任選一個班級，從中抽出一名學(xué)生，若抽得一名女生則她屬于甲班的概率是多少？,練習(xí),作業(yè)習(xí)題：3(3)(4)，5，7，9，13，21，27,32,33,43，45.,第二章隨機(jī)變量及其分布,2.1隨機(jī)變量的概念,例1從一批產(chǎn)品中任意抽取k件,觀察出現(xiàn)的“次品數(shù)”X1,依試驗結(jié)果不同X1的所有可能取值為:0,1,2,k.K+1個結(jié)果可用(X1=j)表示.,例2記錄某接待站一天中來訪的人數(shù)X2,“接待k個人”可用(X2=k)表示.,例4擲一枚硬幣觀察正反面.試驗結(jié)果為:1=正面,=反面.試驗的結(jié)果可以用變量X4表示,例3測試電子元件壽命的試驗中,“元件壽命為t小時”可以用(X3=t)來表示.,定義.1如果對于樣本空間中每個樣本點，都有唯一的一個實數(shù)X()與之對應(yīng)，則稱X()為隨機(jī)變量簡記X()為X.,分類：(1)離散型，(2)連續(xù)型.,2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義：X是一隨機(jī)變量,對任意xR,函數(shù)F(x)=PXx稱為X的分布函數(shù).,Px1x1,F(x2)-F(x1)0.,(2)0F(x)1且(規(guī)范性),(3)F(x)至多有可列個間斷點,而在其間斷點x0處是右連續(xù)的,(右連續(xù)性),2.3離散型隨機(jī)變量的概率分布,定義若隨機(jī)變量全部可能取值是有限或可列無窮多,則稱為離散型隨機(jī)變量.,或列表,分布律的性質(zhì)：,例1.設(shè)一汽車在開往目的地的道路上過四盞信號燈,每盞信號燈是紅燈的概率為p，X表示汽車首次停下時已通過信號燈的盞數(shù),求X的分布律。,解:X01234pk,即PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3.,(1-p)p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,PX=4=(1-p)4,p,X的分布函數(shù),例3.已知X的分布律X-123pk1/41/21/4求:(1)X的分布函數(shù)F(x),(2)PX1/2,P3/2s+t|X>s)=P(X>t),(三)正態(tài)分布:,性質(zhì):,如何計算?,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計算。,(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,(3)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,引理對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有,練習(xí)設(shè)XN(0.5,9),求P(|X|>2),例2公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭機(jī)會在0.01以下設(shè)計的，設(shè)男子身高XN(170,62)(厘米），問車門高度應(yīng)為多少？,解：設(shè)車門高度為h,按題意有,P(X>h)0)的概率密度。,二、X為連續(xù)型-分布函數(shù)法,于是求導(dǎo)可得,2.已知一年中某種人群死亡率為0.0005,該人群有10000人參加人壽保險,每人保費5元.若未來一年中死亡,則得到賠償5000.求:(1)未來一年中保險公司至少獲利10000元的概率。(2)虧本的概率。,練習(xí)：1.一個盒子中放有N個編號1N的標(biāo)簽N個,從中又放回地抽取n個，求取出的最大號碼X的分布率。,作業(yè)：9，10，12，16,27，29，34，37,41，43，48,第三章多維隨機(jī)變量及其分布,n維隨機(jī)變量定義:若X1()X2(),Xn()是定義在樣本空間上的n個隨機(jī)變量,則稱,構(gòu)成一個n維隨機(jī)變量,簡記為X=(X1,X2,Xn),1.二維隨機(jī)變量(聯(lián)合)分布函數(shù):,聯(lián)合分布函數(shù).,3.1二維隨機(jī)變量,(1)F(x,y)是變量x或y的單調(diào)不減函數(shù)，即,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：,(3)F(x,y)關(guān)于x,y都是右連續(xù)的，即,2.二維隨機(jī)變量的分布,二維離散型隨機(jī)變量的分布律,例1一袋子中有5個球，其中2個球上標(biāo)有數(shù)字“1”，3個球上標(biāo)有數(shù)字“0”。在有放回和無放回情況下各取兩個球，X,Y分別表示第一、二次取得的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。,解:(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1)有放回取球，對應(yīng)概律為,P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/53/5=9/25,(X,Y)的分布律為,例2.設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值,隨機(jī)變量Y則在1X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)的分布律.,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度,二維均勻分布及二維正態(tài)分布,1.二維均勻分布,區(qū)域G的面積為A,若(X,Y)具有概率密度,則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.,2.二維正態(tài)分布,(X,Y)具有概率密度,2.邊緣分布,一、邊緣分布函數(shù)：,二、邊緣分布律：,二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分量X,Y的分布律P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,)分別稱為(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布律。,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)則關(guān)于X的邊緣分布律為,例1(續(xù))求關(guān)于X和Y的邊緣分布律。,無放回取球,有放回取球,兩種取球方式下邊緣分布均為,pk,pk,三、邊緣概率密度:,所以，關(guān)于X的邊緣密度為,例1設(shè)(X,Y)在G上服從均勻分布，求其邊緣密度,解：因G的面積為1/2，所以,練習(xí),3.條件分布,一、二維離散型變量的情況:,例1以X,Y分別表示某醫(yī)院一天中出生的嬰兒總數(shù)和男嬰數(shù)。(X,Y)的聯(lián)合分布律為,求:(1)邊緣分布律(2)條件分布律,例2一射擊手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止,設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律.,二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù),練習(xí),4.相互獨立的隨機(jī)變量,例1(X,Y)由聯(lián)合分布,證明X與Y獨立。,定理:如果(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,則X,Y相互獨立的充要條件是:,定理(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,則X,Y相互獨立的充要條件是:,例判定獨立性,例判定獨立性,命題：設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨立的充要條件是=0.,定理：設(shè)(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相互獨立,則Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互獨立,若h,g是連續(xù)函數(shù),則h(X)和g(Y)相互獨立.,5.二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,問題：已知Z=g(X,Y),以及(X,Y)的聯(lián)合分布，如何求出Z的分布？,1(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為下表,試求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。,解：列下表,(1)Z1=X+Y的分布律為,(2)Z2=XY的分布律為,(3)Z3=max(X,Y)的分布律為,證Z=X+Y可能的取值為0,1,2,且,2二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,Z=g(X,Y）的分布函數(shù)為,(一)和(Z=X+Y)的分布:,求Z=X+Y的概率密度.,例1.設(shè)X和Y相互獨立,且都服從N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,例2設(shè)(X,Y)由聯(lián)合概率密度,求Z=X+Y的密度函數(shù)fZ(z).,(二)商(Z=X/Y)的分布:,(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,例4兩個部件L1,L2組成的串、并聯(lián)系統(tǒng),分析：對系統(tǒng)1T=minX,Y對系統(tǒng)2T=maxX,Y,練習(xí),1設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為,(1)求邊緣密度fX(x),fY(y)(2)求條件密度fX|Y(x|y),3.將兩封信隨機(jī)投入編號為1，2，3，4的4個郵箱，用X,Y分別表示1，2號郵箱中的郵件數(shù)，求（1）(X,Y)的聯(lián)合分布律。（2）求X關(guān)于Y=0的條件分布律。(3)判定X,Y的獨立性(4)求X+Y的分布律。,4.設(shè)X,Y同服從參數(shù)為p的幾何分布，且X,Y相互獨立，求Z=X+Y分布律。,作業(yè)：1,3,6,9,12,18,19,23,24,28,第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,下面計算一些離散型分布的期望值。,1)(0-1)分布設(shè)X服從(0-1)分布，分布律為,P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0<p<1,X的數(shù)學(xué)期望為EX=1p+0(1-p)=p,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：,設(shè)f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，對X的取值區(qū)間作一分割，有,下面計算常用連續(xù)型變量的數(shù)學(xué)期望：,則,它恰是區(qū)間a,b的中點。,因此柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.,練習(xí)求伽瑪分布的數(shù)學(xué)期望。,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式:,練習(xí)Xe(),求E(e-sX),練習(xí)：求EY,例6設(shè)X,Y相互獨立同服從N(0,1),求EmaxX,Y,均值的性質(zhì):,(1)E(c)=c;,(2)E(cX)=cE(X);,(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4)設(shè)X,Y相互獨立,則E(XY)=E(X)E(Y);,(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2)(許瓦爾茲不等式),例1.二項分布的均值的計算:,設(shè)Xb(n,p),X表示n次獨立重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù)，引入Xi(i=1,2,n),例2將n個編號為1-n的球隨機(jī)放入編號為1-n的n個盒子，若球號與盒號相同，稱為一個匹配。X表示匹配數(shù)，求EX.,2.方差,若X為離散型隨機(jī)變量,方差的計算公式:,1.X服從(0-1)分布,則,EX=0(1-p)+1p=p,故D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面計算一些常見分布的方差,2.求伽瑪分布的方差,練習(xí)：,1.求幾何分布g(p)的方差,方差的性質(zhì):,1C是常數(shù),D(C)=0;,2D(CX)=C2D(X);,3X,Y相互獨立,則有D(XY)=D(X)+D(Y);,4D(X)=0PX=C=1.,例1設(shè)XB(n,p),分解X求其方差DX.,切比雪夫不等式:,練習(xí)XB(100,1/2),估計P(40<X<60),3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),展開可得:Cov(X,Y)=EX-EXY-EY=E(XY)-E(X)E(Y).,于是D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,例1.求X,Y的協(xié)方差,協(xié)方差的性質(zhì):,1Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,2Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);,3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,6|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);,5若X,Y相互獨立,則Cov(X,Y)=0.,4Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX;,由性質(zhì)(6)|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y)可得.,例1(續(xù))：求相關(guān)系數(shù),公式：Cov(aX+bY,cX+dY)=acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY,例3.XN(2008,1),YN(2009,1),且X與Y獨立，求3X-Y與X+Y的相關(guān)系數(shù)。,4.矩、協(xié)方差矩陣,(1)若E(Xk),k=1,2,存在,則稱為X的k階原點矩.,(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,則稱它為X的k階中心矩.,(3)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.,一、矩,二維隨機(jī)變量(X1,X2)的二階中心矩分別記為,將它們排成矩陣形式,稱這個矩陣為(X1,X2)的協(xié)方差矩陣。,二、協(xié)方差矩陣,協(xié)方差陣的性質(zhì)：對稱性、正定性等。,三.n維正態(tài)分布:,2.性質(zhì):,(1)n維r.v.(X1,X2,Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1,X2,Xn的任一線性組合l1X1+l2X2+lnXn服從一維正態(tài)分布.,“分布自由”定義法,(X1,X2,Xn)服從n維正態(tài)分布,設(shè)Y1,Y2,Yn是Xj(j=1,2,n)的線性函數(shù),則(Y1,Y2,Yn)也服從多維正態(tài)分布.,正態(tài)分布線性變換的不變性,(3)若(X1,X2,Xn)服從n維正態(tài)分布,則“X1,X2,Xn相互獨立”與“X1,X2,Xn兩兩不相關(guān)”是等價的.,練習(xí)：輪盤賭中輪盤上有37個數(shù)字0-36.0是綠色，其他數(shù)字紅黑相間。在單個數(shù)字上的賠率為1:35.若出現(xiàn)數(shù)字0，則賭場吃掉一半賭金。求下注人一次平均收益EX.,練習(xí),某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別有80件，10件，10件，從中任取一件，記,求（1）X1與X2的聯(lián)合分布律（2）X1與X2的相關(guān)系數(shù)。,2將n個編號為1-n的n個球隨機(jī)放入m個盒子中去(盒子容量不限)，X表示有球的盒子數(shù)，求EX,作業(yè)：9111320222534353843,第五章大數(shù)定律及中心極限定理,1.大數(shù)定律,一.問題的提出:,1.當(dāng)n足夠大時,頻率是否收斂到相應(yīng)的概率p，即,由契比雪夫不等式可得,一切比雪夫大數(shù)定律:,設(shè)X1,X2,Xn,是相互獨立隨機(jī)變量序列,特殊情況,設(shè)X1,X2,Xn,相互獨立,且同分布,二.貝努利大數(shù)定律:,設(shè)nA是n次獨立重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù),p=P(A),則,貝努利大數(shù)定律:頻率nA/n收斂到概率p.,三.辛欽大數(shù)定律:,設(shè)X1,X2,Xn,獨立同分布,且具期望,注：對方差不做要求。,2.中心極限定理,一.問題提出:,對于獨立隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn,假定EXi,DXi存在,令,一.獨立同分布的中心極限定理:,設(shè)Xk(k=1,2,)相互獨立,服從同一分布且,練習(xí)：某種電子元件40個，其壽命服從參數(shù)為0.1(小時-1)的指數(shù)分布，讓他們依次工作,求總工作時間不足380小時的概率。,二.德莫佛-拉普拉斯定理:,例2有800臺電話分機(jī)，獨立使用，每臺話機(jī)約有5%的時間使用外線。問總機(jī)至少需要多少外線才能90%以上的保證各分機(jī)用外線不必等候。,解：設(shè)X為需用外線的臺數(shù)，XB(800,0.05).即求最小的N,使得,*投擲硬幣問題,練習(xí)：在一家保險公司里有10000人參加保險,每人每年付12元保費,在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.0004,死亡者其家屬可向保險公司領(lǐng)得20000元賠償費.求：保險公司虧損的概率為多大？,作業(yè)：1468,練習(xí):1.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9?(147個)2.一個復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個相互獨立起作用的部件組成，每個部件的可靠度為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為0.95?(25個),3.設(shè)某電話總機(jī)要為2000個用戶服務(wù)，在最忙時，平均每戶有3%的時間占線，假設(shè)各戶是否打電話是相互獨立的，問若想以99%的可能性滿足用戶的要求，最少需要多少條線路？(79條),