隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)東南大學(xué)曹振華1-5章.ppt
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概率論講義,1.確定性現(xiàn)象.,在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的,因而無(wú)法事先斷言出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。,第一章隨機(jī)事件及其概率,3.概率規(guī)律和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,2.隨機(jī)現(xiàn)象:,1.1隨機(jī)事件,隨機(jī)試驗(yàn):可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)重復(fù)試驗(yàn)有多個(gè)可能結(jié)果,且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果,且試驗(yàn)前不能確定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。,樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)中,每一個(gè)可能結(jié)果稱為該試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn),記為.全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間,記為。,E1:拋一枚硬幣,觀察正(H)反(T)面的情況.,1=H,T1=H,2=T,E4:電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).,4=0,1,2,1=0,2=1,3=2,E3:擲一顆骰子,觀察點(diǎn)數(shù).則,3=1,2,3,4,5,61=12=26=6,E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.,2=HHH,THH,HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT,E5:從一批電子元件中任取一只測(cè)試其壽命.,5=t|t0,1.離散樣本空間.,2.連續(xù)樣本空間.,如E1中,“出現(xiàn)正面”;E3中,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;E5中1000t0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般,設(shè)A1,A2,An是n個(gè)事件,(n2),P(A1A2.An-1)0,則有乘法公式:,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).,例透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.,練習(xí):設(shè)盒中有a(a2)個(gè)黑球,b個(gè)白球,連續(xù)從盒中取球3次,每次取一球,取后不放回,求1次取到黑球,第2,3次取到白球的概率。,解:以Ai表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),(三)全概率公式和貝葉斯公式:,例1.某電子設(shè)備廠所用的晶體管由三家元件制造廠提供,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05從中任取一只晶體管,它是次品的概率是多少?,全概率公式:,例1(續(xù)).:產(chǎn)品為次品,Bi:產(chǎn)品由工廠i生產(chǎn),元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05,運(yùn)用全概率公式可得,例2某產(chǎn)品整箱出售每箱20個(gè),各箱有0,1,2個(gè)次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客購(gòu)買時(shí)選取一箱從中任取4只檢查,若無(wú)次品則買下該箱產(chǎn)品,若有次品則退回,求顧客買下該箱產(chǎn)品的概率。,解:以Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有j個(gè)次品”(j=0,1,2),則Bj構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”,練習(xí):甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球,從甲箱中取兩只球放入乙箱中,再?gòu)囊蚁渲腥?球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.,解設(shè)Bi=從甲箱中取出i只白球i=0,1,2.則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。有,由全概率公式,貝葉斯公式:,例3(續(xù)1)任取一只晶體管,若它是次品,則它由1號(hào)工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?,10.020.1520.010.8030.030.05,注:1.P(Bi)稱為先驗(yàn)概率。事件B1,B2,Bn被看作是引起事件A發(fā)生的n個(gè)原因。,2.P(Bi|A)通常稱為后驗(yàn)概率。事件A表示結(jié)果,P(Bi|A)表示A的發(fā)生是由第i個(gè)原因引起的概率。,求結(jié)果:全概公式求原因:貝葉斯公式,例在數(shù)字通訊中,發(fā)送信號(hào)和的概率分別為0.7和0.3;發(fā)送0收到1的概率為0.2;發(fā)送1收到1的概率為0.9。求收到信號(hào)為1時(shí)發(fā)送信號(hào)為1的概率。,解:A接收信號(hào)為1,練習(xí):機(jī)器良好時(shí),生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器有故障時(shí),其合格率為30%,每天開(kāi)機(jī)時(shí)機(jī)器良好的概率為75%。已知某日第一件產(chǎn)品是合格品,問(wèn)機(jī)器良好的概率是多少?,解:A表“產(chǎn)品合格”,B為“機(jī)器良好”,=(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.,1.5獨(dú)立性,若P(B|A)=P(B),由乘法公式有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,一般地,P(B|A)P(B).,例1設(shè)袋中有a只紅球和b只白球,今從袋中取球兩次,每次各取一球,記:A,B分別表示“第一、二次取得紅球”。,2.有放回時(shí):,1.不放回時(shí):,定義1:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.,注:必然事件和不可能事件與任何事件A都獨(dú)立,定理:如果事件A,B相互獨(dú)立,且P(B)0,則P(A|B)=P(A),例2甲、乙兩射手向同一目標(biāo)獨(dú)立射擊,甲擊中目標(biāo)的概率為0.9,乙擊中目標(biāo)的概率為0.8,求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率。,解:A甲擊中目標(biāo),B乙擊中目標(biāo),,定義2:設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨(dú)立的事件.,定義3:對(duì)n個(gè)事件A1,A2,An,如果對(duì)所有可能的組合1ijkn成立著P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),則稱這n個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立.,定義4:設(shè)A1,A2,An是n個(gè)事件,如果對(duì)任意的1is)=P(Xt),(三)正態(tài)分布:,性質(zhì):,如何計(jì)算?,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算。,(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,(3)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,引理對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有,練習(xí)設(shè)XN(0.5,9),求P(|X|2),例2公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下設(shè)計(jì)的,設(shè)男子身高XN(170,62)(厘米),問(wèn)車門高度應(yīng)為多少?,解:設(shè)車門高度為h,按題意有,P(Xh)0)的概率密度。,二、X為連續(xù)型-分布函數(shù)法,于是求導(dǎo)可得,2.已知一年中某種人群死亡率為0.0005,該人群有10000人參加人壽保險(xiǎn),每人保費(fèi)5元.若未來(lái)一年中死亡,則得到賠償5000.求:(1)未來(lái)一年中保險(xiǎn)公司至少獲利10000元的概率。(2)虧本的概率。,練習(xí):1.一個(gè)盒子中放有N個(gè)編號(hào)1N的標(biāo)簽N個(gè),從中又放回地抽取n個(gè),求取出的最大號(hào)碼X的分布率。,作業(yè):9,10,12,16,27,29,34,37,41,43,48,第三章多維隨機(jī)變量及其分布,n維隨機(jī)變量定義:若X1()X2(),Xn()是定義在樣本空間上的n個(gè)隨機(jī)變量,則稱,構(gòu)成一個(gè)n維隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為X=(X1,X2,Xn),1.二維隨機(jī)變量(聯(lián)合)分布函數(shù):,聯(lián)合分布函數(shù).,3.1二維隨機(jī)變量,(1)F(x,y)是變量x或y的單調(diào)不減函數(shù),即,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):,(3)F(x,y)關(guān)于x,y都是右連續(xù)的,即,2.二維隨機(jī)變量的分布,二維離散型隨機(jī)變量的分布律,例1一袋子中有5個(gè)球,其中2個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字“1”,3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字“0”。在有放回和無(wú)放回情況下各取兩個(gè)球,X,Y分別表示第一、二次取得的數(shù)字,求(X,Y)的聯(lián)合分布律。,解:(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1)有放回取球,對(duì)應(yīng)概律為,P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/53/5=9/25,(X,Y)的分布律為,例2.設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,隨機(jī)變量Y則在1X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)的分布律.,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度,二維均勻分布及二維正態(tài)分布,1.二維均勻分布,區(qū)域G的面積為A,若(X,Y)具有概率密度,則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.,2.二維正態(tài)分布,(X,Y)具有概率密度,2.邊緣分布,一、邊緣分布函數(shù):,二、邊緣分布律:,二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分量X,Y的分布律P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,)分別稱為(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布律。,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)則關(guān)于X的邊緣分布律為,例1(續(xù))求關(guān)于X和Y的邊緣分布律。,無(wú)放回取球,有放回取球,兩種取球方式下邊緣分布均為,pk,pk,三、邊緣概率密度:,所以,關(guān)于X的邊緣密度為,例1設(shè)(X,Y)在G上服從均勻分布,求其邊緣密度,解:因G的面積為1/2,所以,練習(xí),3.條件分布,一、二維離散型變量的情況:,例1以X,Y分別表示某醫(yī)院一天中出生的嬰兒總數(shù)和男嬰數(shù)。(X,Y)的聯(lián)合分布律為,求:(1)邊緣分布律(2)條件分布律,例2一射擊手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0p1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止,設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律.,二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù),練習(xí),4.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,例1(X,Y)由聯(lián)合分布,證明X與Y獨(dú)立。,定理:如果(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是:,定理(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是:,例判定獨(dú)立性,例判定獨(dú)立性,命題:設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是=0.,定理:設(shè)(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相互獨(dú)立,則Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互獨(dú)立,若h,g是連續(xù)函數(shù),則h(X)和g(Y)相互獨(dú)立.,5.二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,問(wèn)題:已知Z=g(X,Y),以及(X,Y)的聯(lián)合分布,如何求出Z的分布?,1(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為下表,試求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。,解:列下表,(1)Z1=X+Y的分布律為,(2)Z2=XY的分布律為,(3)Z3=max(X,Y)的分布律為,證Z=X+Y可能的取值為0,1,2,且,2二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,Z=g(X,Y)的分布函數(shù)為,(一)和(Z=X+Y)的分布:,求Z=X+Y的概率密度.,例1.設(shè)X和Y相互獨(dú)立,且都服從N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,例2設(shè)(X,Y)由聯(lián)合概率密度,求Z=X+Y的密度函數(shù)fZ(z).,(二)商(Z=X/Y)的分布:,(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,例4兩個(gè)部件L1,L2組成的串、并聯(lián)系統(tǒng),分析:對(duì)系統(tǒng)1T=minX,Y對(duì)系統(tǒng)2T=maxX,Y,練習(xí),1設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為,(1)求邊緣密度f(wàn)X(x),fY(y)(2)求條件密度f(wàn)X|Y(x|y),3.將兩封信隨機(jī)投入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)郵箱,用X,Y分別表示1,2號(hào)郵箱中的郵件數(shù),求(1)(X,Y)的聯(lián)合分布律。(2)求X關(guān)于Y=0的條件分布律。(3)判定X,Y的獨(dú)立性(4)求X+Y的分布律。,4.設(shè)X,Y同服從參數(shù)為p的幾何分布,且X,Y相互獨(dú)立,求Z=X+Y分布律。,作業(yè):1,3,6,9,12,18,19,23,24,28,第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,下面計(jì)算一些離散型分布的期望值。,1)(0-1)分布設(shè)X服從(0-1)分布,分布律為,P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0p1,X的數(shù)學(xué)期望為EX=1p+0(1-p)=p,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望:,設(shè)f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度,對(duì)X的取值區(qū)間作一分割,有,下面計(jì)算常用連續(xù)型變量的數(shù)學(xué)期望:,則,它恰是區(qū)間a,b的中點(diǎn)。,因此柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.,練習(xí)求伽瑪分布的數(shù)學(xué)期望。,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式:,練習(xí)Xe(),求E(e-sX),練習(xí):求EY,例6設(shè)X,Y相互獨(dú)立同服從N(0,1),求EmaxX,Y,均值的性質(zhì):,(1)E(c)=c;,(2)E(cX)=cE(X);,(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y);,(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2)(許瓦爾茲不等式),例1.二項(xiàng)分布的均值的計(jì)算:,設(shè)Xb(n,p),X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù),引入Xi(i=1,2,n),例2將n個(gè)編號(hào)為1-n的球隨機(jī)放入編號(hào)為1-n的n個(gè)盒子,若球號(hào)與盒號(hào)相同,稱為一個(gè)匹配。X表示匹配數(shù),求EX.,2.方差,若X為離散型隨機(jī)變量,方差的計(jì)算公式:,1.X服從(0-1)分布,則,EX=0(1-p)+1p=p,故D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面計(jì)算一些常見(jiàn)分布的方差,2.求伽瑪分布的方差,練習(xí):,1.求幾何分布g(p)的方差,方差的性質(zhì):,1C是常數(shù),D(C)=0;,2D(CX)=C2D(X);,3X,Y相互獨(dú)立,則有D(XY)=D(X)+D(Y);,4D(X)=0PX=C=1.,例1設(shè)XB(n,p),分解X求其方差DX.,切比雪夫不等式:,練習(xí)XB(100,1/2),估計(jì)P(40X60),3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),展開(kāi)可得:Cov(X,Y)=EX-EXY-EY=E(XY)-E(X)E(Y).,于是D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,例1.求X,Y的協(xié)方差,協(xié)方差的性質(zhì):,1Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,2Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);,3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,6|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);,5若X,Y相互獨(dú)立,則Cov(X,Y)=0.,4Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX;,由性質(zhì)(6)|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y)可得.,例1(續(xù)):求相關(guān)系數(shù),公式:Cov(aX+bY,cX+dY)=acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY,例3.XN(2008,1),YN(2009,1),且X與Y獨(dú)立,求3X-Y與X+Y的相關(guān)系數(shù)。,4.矩、協(xié)方差矩陣,(1)若E(Xk),k=1,2,存在,則稱為X的k階原點(diǎn)矩.,(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,則稱它為X的k階中心矩.,(3)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.,一、矩,二維隨機(jī)變量(X1,X2)的二階中心矩分別記為,將它們排成矩陣形式,稱這個(gè)矩陣為(X1,X2)的協(xié)方差矩陣。,二、協(xié)方差矩陣,協(xié)方差陣的性質(zhì):對(duì)稱性、正定性等。,三.n維正態(tài)分布:,2.性質(zhì):,(1)n維r.v.(X1,X2,Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1,X2,Xn的任一線性組合l1X1+l2X2+lnXn服從一維正態(tài)分布.,“分布自由”定義法,(X1,X2,Xn)服從n維正態(tài)分布,設(shè)Y1,Y2,Yn是Xj(j=1,2,n)的線性函數(shù),則(Y1,Y2,Yn)也服從多維正態(tài)分布.,正態(tài)分布線性變換的不變性,(3)若(X1,X2,Xn)服從n維正態(tài)分布,則“X1,X2,Xn相互獨(dú)立”與“X1,X2,Xn兩兩不相關(guān)”是等價(jià)的.,練習(xí):輪盤賭中輪盤上有37個(gè)數(shù)字0-36.0是綠色,其他數(shù)字紅黑相間。在單個(gè)數(shù)字上的賠率為1:35.若出現(xiàn)數(shù)字0,則賭場(chǎng)吃掉一半賭金。求下注人一次平均收益EX.,練習(xí),某箱裝有100件產(chǎn)品,其中一、二、三等品分別有80件,10件,10件,從中任取一件,記,求(1)X1與X2的聯(lián)合分布律(2)X1與X2的相關(guān)系數(shù)。,2將n個(gè)編號(hào)為1-n的n個(gè)球隨機(jī)放入m個(gè)盒子中去(盒子容量不限),X表示有球的盒子數(shù),求EX,作業(yè):9111320222534353843,第五章大數(shù)定律及中心極限定理,1.大數(shù)定律,一.問(wèn)題的提出:,1.當(dāng)n足夠大時(shí),頻率是否收斂到相應(yīng)的概率p,即,由契比雪夫不等式可得,一切比雪夫大數(shù)定律:,設(shè)X1,X2,Xn,是相互獨(dú)立隨機(jī)變量序列,特殊情況,設(shè)X1,X2,Xn,相互獨(dú)立,且同分布,二.貝努利大數(shù)定律:,設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù),p=P(A),則,貝努利大數(shù)定律:頻率nA/n收斂到概率p.,三.辛欽大數(shù)定律:,設(shè)X1,X2,Xn,獨(dú)立同分布,且具期望,注:對(duì)方差不做要求。,2.中心極限定理,一.問(wèn)題提出:,對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn,假定EXi,DXi存在,令,一.獨(dú)立同分布的中心極限定理:,設(shè)Xk(k=1,2,)相互獨(dú)立,服從同一分布且,練習(xí):某種電子元件40個(gè),其壽命服從參數(shù)為0.1(小時(shí)-1)的指數(shù)分布,讓他們依次工作,求總工作時(shí)間不足380小時(shí)的概率。,二.德莫佛-拉普拉斯定理:,例2有800臺(tái)電話分機(jī),獨(dú)立使用,每臺(tái)話機(jī)約有5%的時(shí)間使用外線。問(wèn)總機(jī)至少需要多少外線才能90%以上的保證各分機(jī)用外線不必等候。,解:設(shè)X為需用外線的臺(tái)數(shù),XB(800,0.05).即求最小的N,使得,*投擲硬幣問(wèn)題,練習(xí):在一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn),每人每年付12元保費(fèi),在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.0004,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20000元賠償費(fèi).求:保險(xiǎn)公司虧損的概率為多大?,作業(yè):1468,練習(xí):1.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí),如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè),則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受,問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品,可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9?(147個(gè))2.一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng),由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成,每個(gè)部件的可靠度為0.9,且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作,問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為0.95?(25個(gè)),3.設(shè)某電話總機(jī)要為2000個(gè)用戶服務(wù),在最忙時(shí),平均每戶有3%的時(shí)間占線,假設(shè)各戶是否打電話是相互獨(dú)立的,問(wèn)若想以99%的可能性滿足用戶的要求,最少需要多少條線路?(79條),- 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- 隨機(jī) 數(shù)學(xué) 基礎(chǔ) 東南大學(xué) 曹振華
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