2019-2020年初中數學競賽輔導 第二十六講《實數的若干性質和應用》教案1 北師大版.doc

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2019-2020年初中數學競賽輔導 第二十六講《實數的若干性質和應用》教案1 北師大版 　　實數是高等數學特別是微積分的重要基礎．在初中代數中沒有系統(tǒng)地介紹實數理論，是因為它涉及到極限的概念．這一概念對中學生而言，有一定難度．但是，如果中學數學里沒有實數的概念及其簡單的運算知識，中學數學也將無法繼續(xù)學習下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理數的知識也是遠遠不夠用的．因此，適當學習一些有關實數的基礎知識，以及運用這些知識解決有關問題的基本方法，不僅是為高等數學的學習打基礎，而且也是初等數學學習所不可缺少的．本講主要介紹實數的一些基本知識及其應用． 　　用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數的和、差、積、商還是有理數，或者說，有理數對加、減、乘、除(零不能做除數)是封閉的． 　　性質1 任何一個有理數都能寫成有限小數(整數可以看作小數點后面為零的小數)或循環(huán)小數的形式，反之亦然． 　　例1 　　 　　分析 要說明一個數是有理數，其關鍵要看它能否寫成兩個整數比的形式． 　　證 設 　　 　　兩邊同乘以100得 　　 　?、?①得 　　99x=261.54-2.61=258.93， 　　 　　　 無限不循環(huán)小數稱為無理數．有理數對四則運算是封閉的，而無理 是說，無理數對四則運算是不封閉的，但它有如下性質． 　　性質2 設a為有理數，b為無理數，則 　　(1)a+b，a-b是無理數； 　　 　　有理數和無理數統(tǒng)稱為實數，即 　　在實數集內，沒有最小的實數，也沒有最大的實數．任意兩個實數，可以比較大小．全體實數和數軸上的所有點是一一對應的．在實數集內進行加、減、乘、除(除數不為零)運算，其結果仍是實數(即實數對四則運算的封閉性)．任一實數都可以開奇次方，其結果仍是實數；只有當被開方數為非負數時，才能開偶次方，其結果仍是實數． 　　例2 　　 　　分析 　　證 　　 　　　 　　所以 　 　　　 　　 　　分析 要證明一個實數為無限不循環(huán)小數是一件極難辦到的事．由于有理數與無理數共同組成了實數集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數是無理數時，常常采用反證法． 　　證 用反證法． 　　 　 　　所以p一定是偶數．設p=2m(m是自然數)，代入①得 　　4m2＝2q2，q2＝2m2， 　　 　 　　例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數，a為無理數)，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立． 　　分析 設法將等式變形，利用有理數不能等于無理數來證明． 　　證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，則 　　　 　　反之，顯然成立． 　　說明 本例的結論是一個常用的重要運算性質． 　　是無理數，并說明理由． 　　 　　整理得 　　由例4知 　　a＝Ab，1=A， 　　 　　說明 本例并未給出確定結論，需要解題者自己發(fā)現正確的結有理數作為立足點，以其作為推理的基礎． 　　例6 已知a，b是兩個任意有理數，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(即有理數集具有稠密性)． 　　分析 只要構造出符合條件的有理數，題目即可被證明． 　　證 因為a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以 　 　　　 　　說明 構造具有某種性質的一個數，或一個式子，以達到解題和證明的目的，是經常運用的一種數學建模的思想方法． 　　例7 已知a，b是兩個任意有理數，且a＜b，問是否存在無理數α，使得a＜α＜b成立？ 　　　 　　 　　　 　　即 　　 　　由①，②有 　　　 　　 　　存在無理數α，使得a＜α＜b成立． 　　 b4+12b3+37b2+6b-20 　　的值． 　　分析 因為無理數是無限不循環(huán)小數，所以不可能把一個無理數的小數部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數小數部分的計算題，往往是先估計它的整數部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數部分的表示方法． 　　14=9+6b+b2，所以b2+6b=5． 　　b4+12b3+37b2+6b-20 　　=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20 　　=(b2+6b)2+(b2+6b)-20 　　=52+5-20=10． 　　例9 求滿足條件 　　的自然數a，x，y． 　　解 將原式兩邊平方得 　 　　 　　由①式變形為 　　　 　 　　兩邊平方得 　　　 　　　 　　　 　　　 　　例10 設an是12+22+32+…+n2的個位數字，n=1，2，3，…，求證：0.a1a2a3…an…是有理數． 　　分析 有理數的另一個定義是循環(huán)小數，即凡有理數都是循環(huán)小數，反之循環(huán)小數必為有理數．所以，要證0.a1a2a3…an…是有理數，只要證它為循環(huán)小數．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手． 　　證 計算an的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2…an…是由20個數字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數，即 　　下面證明ak+20=ak． 　　令f(n)=12+22+…+n2，當f(n+20)-f(n)是10的倍數時，表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數，而 　　f(n+20)-f(n) 　　=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2 　　=10(2n2+42n)+(12+22+…+202)． 　　由前面計算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一個有理數． 練習三 　　1．下列各數中哪些是有理數，哪些是無理數？為什么？ 　　　 　　　 　　　 　　5．設α，β為有理數，γ為無理數，若α+βγ=0，求證： α=β=0．