2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題2 新人教版.doc

2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題2 新人教版15.1.43已知凸四邊形的邊、上各有一點、，滿足，與交于，與交于，求證：.解析 如圖，問題可轉化為求證.下證此式：記，則由定比分點，在.15.1.44已知：中，是角平分線，、分別在、上，且，求證：，并用三邊表示.解析 如圖，由，得，.于是，故.又設的對應邊長為、，則，同理，故.15.1.45已知，、在上，求.解析 如圖，設，則.由三角形內(nèi)角和，得.，.由，得.15.1.46已知，.點在內(nèi)，使得，求的面積.解析 如圖，作，由于，故相似比為，于是，.，結合知，于是.所以，從而.于是，故.15.1.47已知矩形，、分別在、上，若，求矩形的面積.解析 如圖，易知，.設，則，由條件，知，展開得，.15.1.48一個凸四邊形的邊長依次為、，兩條對角線相交所成的銳角為，求該四邊形的面積（用、和表示）.解析 如圖，不妨設，與交于，（），則由四邊形的“余弦定理”（見題13.1.7）：，于是.一般地，有，當時，四邊形面積不定.15.1.49若一正方形的兩個相鄰頂點在一三角形的某條邊上，另兩個頂點分別在另兩條邊上，則稱這個正方形是該邊上的內(nèi)接正方形，現(xiàn)有一不等邊三角形，、邊上的內(nèi)接正方形邊長都是，求.解析 如圖，四邊形是正方形，邊長為，為高，設為，則.現(xiàn)在回到原題，設三對應邊長為、，對應高為、，對于、邊上的正方形，有.考慮到，故有，而，代入，有，而由題設，故，.易知，故.15.1.50中，、分別在、上，若、分別為1、2、3、4，求.解析 如圖，設，.則，同理，.于是，故，解得.由，得，由，得，易知均符合要求.評注 讀者可考慮何時具有唯一解.15.1.51梯形中，在上，在上，若把梯形分成兩部分的面積之比為，求的值.解析 如圖，由于未講清部分是，哪部分是，故本題可能有兩解.不妨設，則，.又設，.于是有（1）或（2）由（1）解得由（2）得負解，舍.故.15.1.52中，是的平分線，點、分別在、上，交于點，若，求四邊形的面積.解析 易知，.連結，由，得，連結.由，得，故，.又，由角平分線性質，知，于是.15.1.53中，、分別在、上，且，為中點，為與之交點，延長交于，求.解析 如圖，由梅氏定理，即，又，即.設，.由，得，即，于是.15.1.54在的邊上取點，上取點，使，再在線段上取點，使，今延長交于，用、表示.解析 如圖，連結、，則.又，故.15.1.55設正方形面積是，、上分別有點、，且，又設、分別交于、，求四邊形的面積.解析 如圖，延長、交于，則.而，.又，故.15.1.56已知中，、分別是角平分線和中線.垂直陳于，交于，交于，求證：.解析 如圖，連結、.易知，故.于是，.因此，所以.15.1.57如圖，已知點、共圓，且，求證：只與、有關.解析 延長至點，使，設，易知，于是，又由，因此.由于，又，故，所以.15.1.58已知的三邊、上各有一點、，且滿足、交于一點，若、的面積相等，求證：是的重心.解析 如圖，不妨設三個三角形面積為，而、與的面積分別為、.由塞瓦定理知.（1）若、互不相等，不妨設，則，但，矛盾.（2）若、中有相等的，不妨設，則，由得，于是，、為各邊中線，為重心.15.1.59已知中，點在邊上，求；又若、長度不變，當達到最大時，求.解析 如圖，延長至，使，則，中，又與等高，故，所以.當面積最大時，作，則，于是，.15.1.60已知中，點滿足，求證：與面積相等.解析 如圖，不妨設、在兩側，作使，于是，這里為內(nèi)心，就是的邊外的旁心，且有.設旁切圓半徑為，則，為至距離，于是與至等距，所以.評注 請讀者自行驗證.15.1.61已知：是銳角三角形的垂心，、是高，求證：.解析 如圖，由于，故，同理，.三式相加，得，整理便是欲證式.評注 注意到等，故，此式對于鈍角三角形也成立.15.1.62在四邊形中，對角線中點連線的延長線交于，求證：的面積等于整個四邊形面積的一半.解析 如圖，設對角線交點為，不妨設、的中點、分別在、上.連結，則.，故.剩下，連結，則.于是.15.1.63已知中，在上截取，上截取，上截取，求證：的面積與的面積相等.解析 如圖，不妨設，（注意、可零可負）.問題變?yōu)樽C明，或證明，或.由正弦定理，上式相當于.展開即知這是恒等式，故.15.1.64在直角三角形中，是上一動點，在上，從點開始向運動且保持，試寫出與點運動時與點距離的關系式.解析 如圖，過點作，交直線于，則有，得.由，令，則，得，.又由，得，即，得.因，得，于是.15.1.65已知中，、分別在、上，、交于，與交于，則.解析 如圖，知只需證，即，或.又，于是結論成立.評注 滿足上述條件的點、即為調(diào)和點列.15.1.66有兩個銳角與，其中，、延長后交于點，點、分別是、的垂心，求證：的充要條件是.解析 必要性：若，設兩線交于點，又設的兩條高為、；的兩條高為、，并記.由點、共圓及點、共圓，得；同理.又由，則，故.充分性：若，不能直接運用點了.我們還是先證明，再分別作，、均在射線上，于是有，故與重合，因此.評注 充分性也可用四點共圓來證明.15.1.67如圖，、是直線上依次四點，在直線外，試證.解析 由于，若，只需證，這等價于，即，也即，也等價于或.由于，故，由此知結論成立.15.1.68凸四邊形對角線交于點，點、分別在、上，點在上，點、在上，且點、四點共線，點、四點共線.若，證明：.解析 連結、，則有，.由于，因此知，兩端減，便得.15.1.69 已知、分別為凸四邊形的邊、的中點，、交于，、交于，求證：或重合.解析 如圖，連結、，則，同理也是此值，于是，即，若、在同側（比如與、在同一側），則，于是；若、在直線上，則與重合.若線段與直線相交，不妨設在上或在之“上”，在之“下”，則有，矛盾，于是結論成立.15.1.70如圖，以銳角的邊為邊向外作正方形、圍成，而、圍成（圖中未畫出），求證：.解析 很容易證明，留給讀者，下證.其實只要證明為對稱式即可.我們先計算.連結、.不妨記，同理分別還有兩對三角形面積為與.于是有，分子是由于點至的距離等于點、至距離之和.同理.兩式相加，并作等式變形，即可解出，同理可得和.三式相加，得，故 .這是一個對稱式，同理也是此值.至此結論證畢.評注 易知有等，如果，則有.15.1.71如圖，中，是高，是中線，且，求證：或.解析1 如圖（a），設，則.由，得.又由，即，故.（1）當時，即得；（2）當時，有.由此可得.解析2 如圖（b），若與重合，則；若與不重合，不妨設比靠近.今在上取中點，連結、，則，.于是，故、共圓，從而，所以.15.1.72試說明是否在所有內(nèi)部總存在一個點，使點在、上的射影分別為點、，滿足，？解析 當為等腰三角形時，點顯然是存在的.但一般情形未必成立.試看如下反例.如圖，設，且滿足要求.此時，由于，則 ，故點為之中點. 易知此時四邊形為凸四邊形，故由，得，矛盾，故點并不總是存在的.15.1.73設點、分別在的邊、上，且、交于一點，若，求證：點一定在在某條中線上.解析 如圖，設個小三角形面積分別為、.易知有，這是由塞瓦定理保證的.題設條件等價于.下面再證一個無條件等式，這是由于，故而.同理有，三式相加，即得，證畢.令，則對于同一個方程，有三根、或、，順序上先不講究.若有之尖，則結論已經(jīng)成立了；若，則只需討論，的情況（否則，結論必成立），此時，結論成立；若，同理只需討論，的情況，此時，結論也成立.評注 此題亦可不用韋達定理.這個證法好處是增加一個知識，即.15.1.74中有一點，延長、，分別交、于點、，與交于點，作，點在上，求證：平分.解析 如圖，分別作、與垂直，我們的目的證明或.易知.又由 .故，證畢.15.1.75設有一凸四邊形，、上分別有兩點、；、；、；、，滿足，若四邊形是平行四邊形，求證：.解析 我們先證明四邊形也是平行四邊形.先不妨設四邊形與四邊形的位置是如圖（a）所示，找出、的中點、，則點、也分別是、的中點，且.作，點是的中點，又作，點為的中點，則易知，故，于是.又由中位線知，于是四邊形是平行四邊形，于是.又由，故四邊形也是平行四邊形，于是.這樣，便有，從而四邊形也是平行四邊形.再看圖（b），設中點為，連結、及、，由題15.1.63知，有，由于四邊形與均為平行四邊形，故.15.1.76三邊長為6、8、10，求證：僅存在一條直線同時平分的周長與面積.解析 設中，.若此直線過三角形的某個頂點，因平分面積則必平分對邊，因此不可能平分周長.所以此直線必與某兩條邊相交.（1）如圖（a），若與、相交.設，則，所以，即 .由于，故無解.（2）如圖（b），若與、相交.設，則，由知.由 ，解得 ，不滿足，無解.（3）如圖（c），若與、相交.設，則，即 ，解得 舍）綜合上述，只有唯一一條直線滿足條件.15.1.77已知、分別是的邊、上的點，且，.連結和，它們相交于點.過點分別作，它們分別與邊交于點、，求的面積與的面積之比.解析 過點作，且交邊于點，則，所以 .因為，所以，于是 .因為，因此，故.