2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題2 新人教版.doc
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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題2 新人教版15.1.43已知凸四邊形的邊、上各有一點、,滿足,與交于,與交于,求證:.解析 如圖,問題可轉(zhuǎn)化為求證.下證此式:記,則由定比分點,在.15.1.44已知:中,是角平分線,、分別在、上,且,求證:,并用三邊表示.解析 如圖,由,得,.于是,故.又設(shè)的對應(yīng)邊長為、,則,同理,故.15.1.45已知,、在上,求.解析 如圖,設(shè),則.由三角形內(nèi)角和,得.,.由,得.15.1.46已知,.點在內(nèi),使得,求的面積.解析 如圖,作,由于,故相似比為,于是,.,結(jié)合知,于是.所以,從而.于是,故.15.1.47已知矩形,、分別在、上,若,求矩形的面積.解析 如圖,易知,.設(shè),則,由條件,知,展開得,.15.1.48一個凸四邊形的邊長依次為、,兩條對角線相交所成的銳角為,求該四邊形的面積(用、和表示).解析 如圖,不妨設(shè),與交于,(),則由四邊形的“余弦定理”(見題13.1.7):,于是.一般地,有,當(dāng)時,四邊形面積不定.15.1.49若一正方形的兩個相鄰頂點在一三角形的某條邊上,另兩個頂點分別在另兩條邊上,則稱這個正方形是該邊上的內(nèi)接正方形,現(xiàn)有一不等邊三角形,、邊上的內(nèi)接正方形邊長都是,求.解析 如圖,四邊形是正方形,邊長為,為高,設(shè)為,則.現(xiàn)在回到原題,設(shè)三對應(yīng)邊長為、,對應(yīng)高為、,對于、邊上的正方形,有.考慮到,故有,而,代入,有,而由題設(shè),故,.易知,故.15.1.50中,、分別在、上,若、分別為1、2、3、4,求.解析 如圖,設(shè),.則,同理,.于是,故,解得.由,得,由,得,易知均符合要求.評注 讀者可考慮何時具有唯一解.15.1.51梯形中,在上,在上,若把梯形分成兩部分的面積之比為,求的值.解析 如圖,由于未講清部分是,哪部分是,故本題可能有兩解.不妨設(shè),則,.又設(shè),.于是有(1)或(2)由(1)解得由(2)得負(fù)解,舍.故.15.1.52中,是的平分線,點、分別在、上,交于點,若,求四邊形的面積.解析 易知,.連結(jié),由,得,連結(jié).由,得,故,.又,由角平分線性質(zhì),知,于是.15.1.53中,、分別在、上,且,為中點,為與之交點,延長交于,求.解析 如圖,由梅氏定理,即,又,即.設(shè),.由,得,即,于是.15.1.54在的邊上取點,上取點,使,再在線段上取點,使,今延長交于,用、表示.解析 如圖,連結(jié)、,則.又,故.15.1.55設(shè)正方形面積是,、上分別有點、,且,又設(shè)、分別交于、,求四邊形的面積.解析 如圖,延長、交于,則.而,.又,故.15.1.56已知中,、分別是角平分線和中線.垂直陳于,交于,交于,求證:.解析 如圖,連結(jié)、.易知,故.于是,.因此,所以.15.1.57如圖,已知點、共圓,且,求證:只與、有關(guān).解析 延長至點,使,設(shè),易知,于是,又由,因此.由于,又,故,所以.15.1.58已知的三邊、上各有一點、,且滿足、交于一點,若、的面積相等,求證:是的重心.解析 如圖,不妨設(shè)三個三角形面積為,而、與的面積分別為、.由塞瓦定理知.(1)若、互不相等,不妨設(shè),則,但,矛盾.(2)若、中有相等的,不妨設(shè),則,由得,于是,、為各邊中線,為重心.15.1.59已知中,點在邊上,求;又若、長度不變,當(dāng)達(dá)到最大時,求.解析 如圖,延長至,使,則,中,又與等高,故,所以.當(dāng)面積最大時,作,則,于是,.15.1.60已知中,點滿足,求證:與面積相等.解析 如圖,不妨設(shè)、在兩側(cè),作使,于是,這里為內(nèi)心,就是的邊外的旁心,且有.設(shè)旁切圓半徑為,則,為至距離,于是與至等距,所以.評注 請讀者自行驗證.15.1.61已知:是銳角三角形的垂心,、是高,求證:.解析 如圖,由于,故,同理,.三式相加,得,整理便是欲證式.評注 注意到等,故,此式對于鈍角三角形也成立.15.1.62在四邊形中,對角線中點連線的延長線交于,求證:的面積等于整個四邊形面積的一半.解析 如圖,設(shè)對角線交點為,不妨設(shè)、的中點、分別在、上.連結(jié),則.,故.剩下,連結(jié),則.于是.15.1.63已知中,在上截取,上截取,上截取,求證:的面積與的面積相等.解析 如圖,不妨設(shè),(注意、可零可負(fù)).問題變?yōu)樽C明,或證明,或.由正弦定理,上式相當(dāng)于.展開即知這是恒等式,故.15.1.64在直角三角形中,是上一動點,在上,從點開始向運動且保持,試寫出與點運動時與點距離的關(guān)系式.解析 如圖,過點作,交直線于,則有,得.由,令,則,得,.又由,得,即,得.因,得,于是.15.1.65已知中,、分別在、上,、交于,與交于,則.解析 如圖,知只需證,即,或.又,于是結(jié)論成立.評注 滿足上述條件的點、即為調(diào)和點列.15.1.66有兩個銳角與,其中,、延長后交于點,點、分別是、的垂心,求證:的充要條件是.解析 必要性:若,設(shè)兩線交于點,又設(shè)的兩條高為、;的兩條高為、,并記.由點、共圓及點、共圓,得;同理.又由,則,故.充分性:若,不能直接運用點了.我們還是先證明,再分別作,、均在射線上,于是有,故與重合,因此.評注 充分性也可用四點共圓來證明.15.1.67如圖,、是直線上依次四點,在直線外,試證.解析 由于,若,只需證,這等價于,即,也即,也等價于或.由于,故,由此知結(jié)論成立.15.1.68凸四邊形對角線交于點,點、分別在、上,點在上,點、在上,且點、四點共線,點、四點共線.若,證明:.解析 連結(jié)、,則有,.由于,因此知,兩端減,便得.15.1.69 已知、分別為凸四邊形的邊、的中點,、交于,、交于,求證:或重合.解析 如圖,連結(jié)、,則,同理也是此值,于是,即,若、在同側(cè)(比如與、在同一側(cè)),則,于是;若、在直線上,則與重合.若線段與直線相交,不妨設(shè)在上或在之“上”,在之“下”,則有,矛盾,于是結(jié)論成立.15.1.70如圖,以銳角的邊為邊向外作正方形、圍成,而、圍成(圖中未畫出),求證:.解析 很容易證明,留給讀者,下證.其實只要證明為對稱式即可.我們先計算.連結(jié)、.不妨記,同理分別還有兩對三角形面積為與.于是有,分子是由于點至的距離等于點、至距離之和.同理.兩式相加,并作等式變形,即可解出,同理可得和.三式相加,得,故 .這是一個對稱式,同理也是此值.至此結(jié)論證畢.評注 易知有等,如果,則有.15.1.71如圖,中,是高,是中線,且,求證:或.解析1 如圖(a),設(shè),則.由,得.又由,即,故.(1)當(dāng)時,即得;(2)當(dāng)時,有.由此可得.解析2 如圖(b),若與重合,則;若與不重合,不妨設(shè)比靠近.今在上取中點,連結(jié)、,則,.于是,故、共圓,從而,所以.15.1.72試說明是否在所有內(nèi)部總存在一個點,使點在、上的射影分別為點、,滿足,?解析 當(dāng)為等腰三角形時,點顯然是存在的.但一般情形未必成立.試看如下反例.如圖,設(shè),且滿足要求.此時,由于,則 ,故點為之中點. 易知此時四邊形為凸四邊形,故由,得,矛盾,故點并不總是存在的.15.1.73設(shè)點、分別在的邊、上,且、交于一點,若,求證:點一定在在某條中線上.解析 如圖,設(shè)個小三角形面積分別為、.易知有,這是由塞瓦定理保證的.題設(shè)條件等價于.下面再證一個無條件等式,這是由于,故而.同理有,三式相加,即得,證畢.令,則對于同一個方程,有三根、或、,順序上先不講究.若有之尖,則結(jié)論已經(jīng)成立了;若,則只需討論,的情況(否則,結(jié)論必成立),此時,結(jié)論成立;若,同理只需討論,的情況,此時,結(jié)論也成立.評注 此題亦可不用韋達(dá)定理.這個證法好處是增加一個知識,即.15.1.74中有一點,延長、,分別交、于點、,與交于點,作,點在上,求證:平分.解析 如圖,分別作、與垂直,我們的目的證明或.易知.又由 .故,證畢.15.1.75設(shè)有一凸四邊形,、上分別有兩點、;、;、;、,滿足,若四邊形是平行四邊形,求證:.解析 我們先證明四邊形也是平行四邊形.先不妨設(shè)四邊形與四邊形的位置是如圖(a)所示,找出、的中點、,則點、也分別是、的中點,且.作,點是的中點,又作,點為的中點,則易知,故,于是.又由中位線知,于是四邊形是平行四邊形,于是.又由,故四邊形也是平行四邊形,于是.這樣,便有,從而四邊形也是平行四邊形.再看圖(b),設(shè)中點為,連結(jié)、及、,由題15.1.63知,有,由于四邊形與均為平行四邊形,故.15.1.76三邊長為6、8、10,求證:僅存在一條直線同時平分的周長與面積.解析 設(shè)中,.若此直線過三角形的某個頂點,因平分面積則必平分對邊,因此不可能平分周長.所以此直線必與某兩條邊相交.(1)如圖(a),若與、相交.設(shè),則,所以,即 .由于,故無解.(2)如圖(b),若與、相交.設(shè),則,由知.由 ,解得 ,不滿足,無解.(3)如圖(c),若與、相交.設(shè),則,即 ,解得 舍)綜合上述,只有唯一一條直線滿足條件.15.1.77已知、分別是的邊、上的點,且,.連結(jié)和,它們相交于點.過點分別作,它們分別與邊交于點、,求的面積與的面積之比.解析 過點作,且交邊于點,則,所以 .因為,所以,于是 .因為,因此,故.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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