2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.4 基本不等式試題 新人教A版必修5.doc

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3.4 基本不等式 1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，bR) 一般地，對于任意實數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)______________時，等號成立． 2．基本不等式 如果a＞0，b＞0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)______________時，等號成立． 其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 因此基本不等式也可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 3．基本不等式的證明 （1）代數(shù)法：方法一 因為a＞0，b＞0，所以我們可以用，分別代替重要不等式中的a，b，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立． 即( a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 方法二 因為， 所以，即，所以． 方法三 要證，只要證，即證，即證，顯然總是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． （2）幾何法：如圖，AB是圓的直徑，C是AB上一點，AC＝a，BC＝b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD．易證，則CD2＝CACB，即CD＝______________．這個圓的半徑為，顯然它大于或等于CD，即，當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即a＝b時，等號成立． 由此我們可得的幾何意義：半徑不小于半弦． 4．重要不等式和均值不等式的常用變形公式及推廣公式 （1）(a，b同號)；(a，b異號)． （2）(a＞0)；(a＜0)． （3）(a＞0，b＞0)；(a＞0，b＞0)． （4），，4ab≤a2＋b2＋2ab，2(a2＋b2)≥(a＋b)2． （5）． （6）為正實數(shù)，且． 5．均值不等式鏈 若a＞0，b＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 其中和分別叫做a，b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)． 6．最值定理 已知x＞0，y＞0，則 若x＋y為定值s，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值(簡記：和定積最大)； 若xy為定值t，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值(簡記：積定和最小)． K知識參考答案： 1．a(chǎn)＝b 2．a(chǎn)＝b 3． K—重點 重要不等式，基本不等式的公式、證明、幾何解釋、變形及推廣 K—難點 均值不等式鏈的應(yīng)用、利用基本不等式求最值、不等式的證明 K—易錯 忽略等號成立的條件、等號成立的一致性導(dǎo)致錯誤 利用基本不等式判斷不等式是否成立 要判斷不等式是否成立，關(guān)鍵是把握其運用基本不等式時能否嚴(yán)格遵循“一正、二定、三相等”這三個條件． （1）設(shè)f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是 A．q＝r＜p B．p＝r＜q C．q＝r＞p D．p＝r＞q （2）給出下列不等式：①；②；③；④；⑤若0＜a＜1＜b，則logab＋logba≤－2．其中正確的是______________． 【答案】（1）B；（2）②⑤． 方法2：(特值法)令a＝1，b＝2， 則p＝f()＝ln，q＝＝ln，r＝(ln 1＋ln 2)＝ln． 因為＜，所以ln＜ln，所以p＝r＜q，故選B． （2）當(dāng)x＞0時，，當(dāng)x＜0時，，所以，故①不正確，②正確； 由于x＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故③不正確； 當(dāng)時，，時，，故④不正確； 當(dāng)0＜a＜1＜b時，，，故logab＋logba≤－2，⑤正確． 綜上，②⑤正確． 【名師點睛】基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的判斷、比較代數(shù)式的大小等．一般地，結(jié)合所給代數(shù)式的特征，將所給條件進行轉(zhuǎn)換（利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化），使其中的不等關(guān)系明晰即可解決問題． 利用基本不等式證明不等式 利用基本不等式證明不等式的一般思路：先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對代數(shù)式進行拆項、變形、配湊等，使之達到能使用基本不等式的形式；若題目中還有其他條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換．另外，解題時要時刻注意等號能否取到． （1）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：； （2）已知a＞b，ab＝2，求證：． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）因為a＞0，b＞0，c＞0， 所以利用基本不等式可得，，， 所以，即， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立． 【名師點睛】對于（1），合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形式，是證明輪換對稱結(jié)構(gòu)的不等式（用b換a，a換c，c換b后，代數(shù)式不變的式子叫輪換對稱式，其特征是a，b，c的地位一樣）的常用思路；對于（2），觀察a－b，a2＋b2，可聯(lián)想到通過加減2ab的方法配湊出(a－b)2，從而化為可使用基本不等式的形式，結(jié)合ab＝2可使問題得到解決． 利用基本不等式求最值 （1）直接應(yīng)用類：此類問題較為基礎(chǔ)，注意“一正、二定、三相等”即可． （1）已知f(x)＝x＋＋2(x＜0)，則f(x)有 A．最大值為4 B．最小值為4 C．最小值為0 D．最大值為0 （2）已知0＜x＜4，則x(4－x)取得最大值時x的值為 A．0 B．2 C．4 D．16 （3）已知函數(shù)f(x)＝(x＞0)，若f(a＋b)＝16，則f(ab)的最大值為_______________； （4）已知a，bR，且ab＝8，則|a＋2b|的最小值是_______________． 【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8． 【解析】（1）因為x＜0，所以f(x)＝－[(－x)＋]＋2≤－2＋2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時取等號．故選D． （2）因為0＜x＜4，所以4－x＞0，所以x(4－x)≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4－x，即x＝2時取等號．故選C． （3）因為，所以a＋b＝4，所以，f(ab)＝≤16，故f(ab)的最大值為16． （4）依題意得a，b同號，于是|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥＝＝＝8，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|2b|＝4時取等號，因此|a＋2b|的最小值是8． 【名師點睛】利用基本不等式求最值要牢記三個關(guān)鍵詞：一正、二定、三相等，即①一正：各項必須為正；②二定：各項之和或各項之積為定值；③三相等：必須驗證取等號時條件是否具備． （2）配湊定值類：此類問題一般不能直接使用基本不等式，要從整體上把握進而運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項、湊項、湊系數(shù)等． （1）已知x＞0，則函數(shù)y＝的最小值為_______________； （2）若x＞1，則函數(shù)y＝的最小值為_______________； （3）若0＜x＜，則函數(shù)y＝x(12－5x)的最大值為_______________． 【答案】（1）5；（2）3；（3）． （3）湊系數(shù)：因為0＜x＜，所以y＝5x (12－5x)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝12－5x，即x＝時取等號．故填． 【名師點睛】不論條件怎么變形，都需要根據(jù)條件：湊和為定值時求積最大、湊積為定值求和最?。? （3）條件最值類：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，或構(gòu)造不等式求解． （1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則的最小值為_______________； （2）已知a＞0，b＞0，＝2，則a＋b的最小值為_______________； （3）若正實數(shù)x，y滿足x＋y＋3＝xy，則xy的最小值是_______________； （4）已知x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，則x＋y的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2． （3）構(gòu)造一元二次不等式：由x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，得xy≥＋3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時等號成立，故－－3≥0，即≥0，由＞0解得＞3，即xy≥9．故xy的最小值為9． （4）構(gòu)造一元二次不等式：由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，得xy＝3－(x＋y)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時等號成立，故＋(x＋y)－3≥0，解得x＋y≥2或x＋y≤－6(舍去)，故x＋y的最小值是2． 【名師點睛】在構(gòu)造不等式求最值時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，當(dāng)a＞0，b＞0時，a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥逆用就是ab≤等．還要注意“添項、拆項、湊系數(shù)”的技巧和等號成立的條件等． 基本不等式在實際中的應(yīng)用 利用基本不等式解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是構(gòu)建模型，一般來說，都是從具體的幾何圖形，通過相關(guān)的關(guān)系建立關(guān)系式．在解題過程中盡量向模型(a＞0，b＞0，x＞0)上靠攏． 如圖，要規(guī)劃一個矩形休閑廣場，該休閑廣場含有大小相等的左右兩個矩形草坪（如圖中陰影部分所示），且草坪所占面積為18 000 m2，四周道路的寬度為10 m，兩個草坪之間的道路的寬度為5 m．試問，怎樣確定該矩形休閑廣場的長與寬的尺寸（單位：m），能使矩形休閑廣場所占面積最小？ 【答案】當(dāng)矩形休閑廣場的長為140 m，寬為175 m時，可使休閑廣場的面積最小． 因為x－20＞0，所以S≥， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時有(x－20) 2＝14 400，解得x＝140， 代入y＝，得y＝175，即當(dāng)x＝140，y＝175時，S取得最小值24 500． 故當(dāng)矩形休閑廣場的長為140 m，寬為175 m時，可使休閑廣場的面積最小． 方法2：設(shè)矩形草坪的長為a m，寬為b m，則ab＝9 000，其中a＞0，b＞0． 易知矩形休閑廣場的長為(a＋20) m，寬為(2b＋25) m． 故休閑廣場的面積S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋，當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時等號成立． 此時，代入ab＝9 000得a＝120，b＝75，即當(dāng)a＝120，b＝75時，S取得最小值24 500． 故當(dāng)矩形休閑廣場的長為140 m，寬為175 m時，可使休閑廣場的面積最小． 【名師點睛】本題容易出現(xiàn)的思維誤區(qū)：①未能理清草坪邊長與休閑廣場邊長之間的關(guān)系；②求出目標(biāo)函數(shù)后不會運用基本不等式求最值，缺乏必要的配湊、轉(zhuǎn)化變形能力，從而無法利用基本不等式求最值，或者不會利用基本不等式等號成立的條件求變量的取值． 忽略等號成立的條件導(dǎo)致錯誤 函數(shù)的最小值為_______________． 【錯解】，所以函數(shù)的最小值為2． 【錯因分析】錯解中使用基本不等式時，等號成立的條件為，即＝1，顯然x2≠－1，即等號無法取到，函數(shù)的最小值為2是不正確的． 【名師點睛】（1）利用基本不等式求最值時，必修保證等號能取到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件或函數(shù)的定義域不能使等號成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答，如借助函數(shù)單調(diào)性等；（2）對于模型≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時等號成立；（3）求函數(shù)y＝(a＞0，b＞0)在區(qū)間(0，c]上的最值時，由函數(shù)圖象易得：若c≥，則當(dāng)x＝時，y取得最小值；若c＜，則當(dāng)x＝c時，y取得最小值ac＋． 忽略等號成立的一致性導(dǎo)致錯誤 若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_______________． 【錯解】因為x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥，即8xy≤1，即xy≤，故≥8． 因為≥，所以≥．故的最小值為． 【錯因分析】在求解過程中使用了兩次基本不等式：x＋2y≥，≥，但這兩次取“＝”需滿足x＝2y與x＝y(tǒng)，互相矛盾，所以“＝”不能同時取到，從而導(dǎo)致錯誤． 【名師點睛】連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意各不等式取等號時的條件是否一致，若不能同時取等號，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜?，直到取等號的條件成立． 1．已知，則取最大值時的值為 A． B． C． D． 2．若實數(shù)滿足，則的最小值是 A． B． C． D． 3．若且，則的最小值是 A． B． C． D． 4．若，則的最小值是 A． B． C． D． 5．已知，則m，n之間的大小關(guān)系是 A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能確定 6．己知均為正實數(shù)，且直線與直線互相垂直，則的最小值為 A． B． C． D． 7．已知，，，則的最小值為 A． B． C． D． 8．若正數(shù)，滿足，則的取值范圍為________________． 9．已知，且，則的最小值是________________． 10．若實數(shù)a，b滿足，則的最小值為________________． 11．設(shè)，則函數(shù)的最大值為________________． 12．已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為________________時，取得最大值． 13．已知，都是正實數(shù)，且滿足，則的最小值為 A． B． C． D． 14．已知，且，則的最小值為 A． B． C． D． 15．已知不等式對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為 A．8 B．6 C．4 D．2 16．若正實數(shù)滿足，則 A．有最大值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 17．已知，若不等式恒成立，則的最大值為 A． B． C． D． 18．設(shè)實數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為 A． B． C．12 D．14 19．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，則的最小值為_________________． 20．在4＋9＝60的兩個中，分別填入一個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則中應(yīng)分別填入____________和____________． 21．若a，b，c＞0且(a＋c)(a＋b)＝，則2a＋b＋c的最小值為________________． 22．已知正實數(shù)，滿足：，則的最大值是________________． 23．某校要建一個面積為平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個米的進出口（如下圖所示）．設(shè)矩形的長為米，鋼筋網(wǎng)的總長度為米． （1）列出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域； （2）問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最??？ 24．（1）求函數(shù)的最小值； （2）已知正數(shù)a，b和正數(shù)x，y，若a＋b＝10，，且x＋y的最小值是18，求a，b的值．  25．已知函數(shù)． （1）若，試求函數(shù)的最小值； （2）對于任意的，不等式成立，試求的取值范圍． 26．（2018天津文理）已知，，且，則的最小值為_______________． 27．（2018江蘇）在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點D，且，則的最小值為_______________． 28．（2017山東理）若，且，則下列不等式成立的是 A． B． C． D． 29．（2017天津文理）若，，則的最小值為________________． 30．（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是________________． 31．（2017山東文）若直線過點（1，2），則的最小值為________________． 1．【答案】B 【解析】由題可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選B． 2．【答案】C 【解析】由題可得．故選C． 4．【答案】D 【解析】，．故選D． 5．【答案】A 【解析】因為a＞2，所以a－2＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時取等號，故，． 由b≠0得b2＞0，所以2－b2＜2，所以＜4，即n＜4，故． 綜上可得m＞n，故選A． 6．【答案】D 【解析】由兩直線互相垂直可得，即，則又為正數(shù)，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故 的最小值為．故選D． 7．【答案】B 【解析】由，得，則，故選B． 8．【答案】 【解析】由，得，解得，即． 10．【答案】 【解析】由可得a＞0，b＞0，因為，所以ab≥，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為． 11．【答案】 【解析】∵，∴，， 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故函數(shù)的最大值為． 12．【答案】4 【解析】≤，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，結(jié)合a＞0，b＞0，ab＝8，可得a＝4，b＝2． 13．【答案】C 【解析】，所以，又，都是正實數(shù)，所以即的最小值為，故選C． 14．【答案】B 【解析】由題可得 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選B． 15．【答案】C 【解析】因為， 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立． 要使對任意正實數(shù)x，y恒成立，則， 即－8≥0，解得或(舍去)，故a≥4，即a的最小值為4，故選C． 17．【答案】B 【解析】可變形為， 則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立， 所以，則的最大值為．故選B． 18．【答案】A 【解析】畫出可行域如圖中陰影部分所示，易知當(dāng)動點在線段AC上時xy取得最大值，此時2x＋y＝10， 故xy＝(2xy)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝5時取等號，對應(yīng)點(，5)落在線段AC上，故最大值為． 19．【答案】9 【解析】因為a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＝＝3＋＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時等號成立． 21．【答案】 【解析】由a，b，c＞0及(a＋c)(a＋b)＝，可得＝(a＋c)(a＋b)≤， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號，所以(2a＋b＋c)2≥，即2a＋b＋c≥， 故2a＋b＋c的最小值為，故選D． 22．【答案】 【解析】，由題意得， 令，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即所求最大值為． 23．【答案】（1）； （2）長為米，寬為米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最?。? 24．【答案】（1）9；（2）或． 【解析】（1）因為x＞－1，所以x＋1＞0，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時等號成立． 所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最小值為9． （2）x＋y＝＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以． 由，解得或． 25．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依題意得． ∵，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立． 即，∴當(dāng)時，的最小值為． （2）∵， ∴要使得，不等式成立，只要在上恒成立即可． 不妨設(shè)，則只要在上恒成立． 則即解得，∴的取值范圍是． 【名師點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 27．【答案】9 【解析】由題意可知， 由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得， 化簡得，，因此， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為． 【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤． 28．【答案】B 【解析】因為，且，所以 ，故選B． 【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小，若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進行比較．本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷． 【名師點睛】利用均值不等式求最值時要靈活運用以下兩個公式：①，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；②，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．解題時要注意公式的適用條件、等號成立的條件，同時求最值時注意“1的妙用”． 30．【答案】30 【解析】總費用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立． 【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤． 31．【答案】 【解析】由直線 過點（1，2）可得， 所以． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立． 【名師點睛】應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提條件：“一正”“二定”“三相等”，在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．