九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第三章 圓 3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系 第2課時(shí) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形教案 北師大版.doc

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3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系 第2課時(shí) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形 1．掌握?qǐng)A周角和直徑的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用解決問(wèn)題；(重點(diǎn)) 2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問(wèn)題的能力，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式．(難點(diǎn)) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境導(dǎo)入 你喜歡看足球比賽嗎？你踢過(guò)足球嗎？ 如圖②所示，甲隊(duì)員在圓心O處，乙隊(duì)員在圓上C處，丙隊(duì)員帶球突破防守到圓上C處，依然把球傳給了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：圓周角和直徑的關(guān)系 【類(lèi)型一】 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角求角的度數(shù) 如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30，則∠A的度數(shù)為(　　) A．30 B．45 C．60 D．75 解析：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90.∵∠CBD＝30，∴∠D＝60，∴∠A＝∠D＝60.故選C. 方法總結(jié)：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對(duì)的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題 【類(lèi)型二】 作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題 如圖，點(diǎn)A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C.若AB是⊙O的直徑，D是BC的中點(diǎn)． (1)試判斷AB、AC之間的大小關(guān)系，并給出證明； (2)在上述題設(shè)條件下，當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，點(diǎn)E是否為AC的中點(diǎn)？為什么？ 解析：(1)連接AD，先根據(jù)圓周角定理求出∠ADB＝90，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)判斷；(2)連接BE，根據(jù)圓周角定理求出∠AEB＝90，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解． 解：(1)AB＝AC.證明如下：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90， 即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC； (2)當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，E是AC的中點(diǎn)．理由如下：連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BEA＝90，即BE⊥AC.∵△ABC為正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中點(diǎn)． 方法總結(jié)：在解決圓的問(wèn)題時(shí)，如果有直徑往往考慮作輔助線，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題 探究點(diǎn)二：圓內(nèi)接四邊形 【類(lèi)型一】 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的運(yùn)用 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠EBA＝125，則∠D＝(　　) A．65 B．120 C．125 D．130 解析：∵∠EBA＝125，∴∠ABC＝180－125＝55.∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180，∴∠D＝180－55＝125.故選C. 方法總結(jié)：解決問(wèn)題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)這一性質(zhì)． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題 【類(lèi)型二】 圓內(nèi)接四邊形與圓周角的綜合 如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120，那么∠BCD是(　　) A．120 B．100 C．80 D．60 解析：∵∠BOD＝120，∴∠A＝60，∴∠C＝180－60＝120，故選A. 方法總結(jié)：解決問(wèn)題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和圓周角的性質(zhì)． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題 【類(lèi)型三】 圓內(nèi)接四邊形與垂徑定理的綜合 如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC. 解析：利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠FGD＝∠ACD，然后根據(jù)垂徑定理推知AB是CD的垂直平分線，則∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC. 證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC. 方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)． 【類(lèi)型四】 圓內(nèi)接四邊形、圓周角、相似三角形和三角函數(shù)的綜合 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，AC、BD交于點(diǎn)E. (1)求證：△CBE∽△CAB； (2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值． 解析：(1)利用圓周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得出兩三角形相似，直接證明即可；(2)利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位線的性質(zhì)以及三角函數(shù)知識(shí)得出答案． (1)證明：∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠BAC.在△CBE與△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB； (2)解：連接OC交BD于F點(diǎn)，則OC垂直平分BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶EC＝3∶1.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，∴AD∥OC，則AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.設(shè)FC＝a，則AD＝3a.∵F為BD的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，∴OF是△ABD的中位線，則OF＝AD＝1.5a，∴OC＝OF＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，則AB＝2OC＝5a.在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝＝. 方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形、圓周角等知識(shí)都是和角有關(guān)的定理，在圓中解決這方面的問(wèn)題時(shí)考慮相等的角． 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形 1．圓周角和直徑的關(guān)系 2．圓內(nèi)接四邊形的概念和性質(zhì) 本節(jié)課采用問(wèn)題情境——自主探究——拓展應(yīng)用的課堂教學(xué)模式，以問(wèn)題為主，配合多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效思考．在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題串啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生自主探究，創(chuàng)設(shè)情境等多種教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)課堂氣氛，收到了很好的教學(xué)效果.