2019春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 18 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 矩形（第2課時(shí)）學(xué)案 （新版）新人教版.doc

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18.2.1　矩形(第2課時(shí)) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.經(jīng)歷探索矩形判定定理的過程,掌握矩形的判定定理.(重點(diǎn)) 2.使學(xué)生能應(yīng)用矩形定義、判定等知識(shí),解決簡單的證明題,發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 一、合作探究 1.什么叫做平行四邊形?什么叫做矩形? 2.矩形有哪些性質(zhì)? 3.矩形與平行四邊形有什么共同之處?有什么不同之處? 4.歸納矩形的判定方法(學(xué)生進(jìn)行) (1)定義:是平行四邊形,并且有一個(gè)角是　　　　. (2)對(duì)角線的關(guān)系:是平行四邊形,并且　　　　　　　　　　. (3)角的關(guān)系:是四邊形,并且有　　　　　個(gè)角是直角. 二、自主學(xué)習(xí) 【例1】下列各句判定矩形的說法是否正確? (1)有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形; (　　　　) (2)四個(gè)角都相等的四邊形是矩形; (　　　　) (3)對(duì)角線相等的四邊形是矩形; (　　　　) (4)兩組對(duì)邊分別平行,且對(duì)角線相等的四邊形是矩形. (　　　　) 【例2】已知?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△AOB是等邊三角形,AB=4 cm,求這個(gè)平行四邊形的面積. 分析:首先根據(jù)△AOB是等邊三角形及平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理計(jì)算邊長,從而得到面積值. 解:∵四邊形ABCD是　　　　 ∴AO=　　　　　,BO=　　　　　. ∵AO=BO, ∴AC=BD. ∴?ABCD是　　　　　(　　　　　　　　　　的平行四邊形是矩形). 在Rt△ABC中, ∵AB=4 cm,AC=　　　　　, ∴BC=　　　　　　　　　　(cm). ∴S=83. 三、跟蹤練習(xí) 1.判斷題: (1)有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形; (　　　　) (2)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形; (　　　　) (3)對(duì)角線相等,且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形; (　　　　) (4)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形; (　　　　) (5)一組鄰邊垂直,一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形. (　　　　) 2.已知:如圖ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且∠OAD=∠ODA. 求證:四邊形ABCD是矩形. 3、已知:如圖,?ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E,F,G,H.求證:四邊形EFGH是矩形. 四、變式演練 1.如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90,AD=24 cm,BC=26 cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3 cm/s的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng). (1)經(jīng)過多長時(shí)間,四邊形PQCD是平行四邊形? (2)經(jīng)過多長時(shí)間,四邊形PQBA是矩形? 2.如圖,O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD上的點(diǎn),且AE=BF=CG=DH. (1)求證:四邊形EFGH是矩形; (2)若E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面積. 五、達(dá)標(biāo)檢測 1.已知下列命題中:(1)矩形是軸對(duì)稱圖形,且有兩條對(duì)稱軸;(2)兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形;(3)有兩個(gè)角相等的平行四邊形是矩形;(4)兩條對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形,其中正確的有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 2.如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別是AD,BD,BC,CA的中點(diǎn),若四邊形EFGH是矩形,則四邊形ABCD需滿足的條件是(　　) A.AB⊥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC 3.如圖,四邊形ABCD中,AC=8,BD=6,且AC⊥BD,連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH,下列說法不正確的是(　　) A.四邊形EFGH是矩形 B.四邊形EFGH的周長是7 C.四邊形EFGH的面積是12 D.四邊形ABCD的面積是48 4.如圖所示,△ABC繞AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得△CDA,添加一個(gè)條件　　　　,使四邊形ABCD為矩形. 5.若順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形,則原四邊形必須滿足的條件是　　　　. 6.用兩張對(duì)邊平行的紙條交叉重疊放在一起,則四邊形ABCD為　　　　;兩張紙條互相垂直時(shí),四邊形ABCD為　　　　. 7.如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1)求點(diǎn)D,E的坐標(biāo); (2)F為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),且以C,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為　　　　(直接寫出所有的結(jié)果); (3)點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn),且以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A向下運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.求當(dāng)t為多少時(shí),△PCD是以CD為腰的等腰三角形? 8.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E,F在邊BC上,DE∥AB,AF∥DC,且AE∥DF. (1)AD與BC有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由. (2)當(dāng)四邊形ABCD滿足條件　　　　　　時(shí),四邊形AEFD是矩形(說明理由). 9.如圖,四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180. (1)求證:四邊形ABCD是矩形. (2)若DF⊥AC,∠ADF∶∠FDC=3∶2,則∠BDF的度數(shù)是多少? 參考答案 一、合作探究 1.由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形;有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形, 2.矩形四個(gè)角都是直角;矩形的對(duì)角線相等;并且具有平行四邊形的所有性質(zhì). 3.矩形是特殊的平行四邊形,一般的平行四邊形不具有矩形的性質(zhì). 4.(1)直角　(2)對(duì)角線相等　(3)三個(gè) 二、自主學(xué)習(xí) 略 三、跟蹤練習(xí) 略 四、變式演練 1.解:(1)設(shè)經(jīng)過t s,四邊形PQCD為平行四邊形,即PD=CQ,所以24-t=3t, 解得t=6; (2)設(shè)經(jīng)過ts,四邊形PQBA為矩形,即AP=BQ,所以t=26-3t,解得t=132. 2.分析:(1)證明四邊形EFGH對(duì)角線相等且互相平分;(2)根據(jù)題設(shè)求出矩形的邊長CD和BC,然后根據(jù)矩形面積公式求得. (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四邊形EFGH是矩形; (2)解:∵G是OC的中點(diǎn),OG⊥AC,∴CD=OD.∵F是BO中點(diǎn),OF=2 cm,∴BO=4 cm.∵四邊形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,∴DC=4 cm,DB=8 cm,∴CB=DB2-DC2=43 cm,∴S矩形ABCD=443=163(cm2). 五、達(dá)標(biāo)檢測 1.C　2.A　3.B　4.∠B=90　5.對(duì)角線互相垂直 6.平行四邊形;矩形 7.解:(1)依題意可知,折痕CD是四邊形BCED的對(duì)稱軸, ∴在Rt△COE中,CE=BC=AO=10,OC=AB=8, ∴OE=6,∴E(0,6). ∴AE=10-6=4. 在Rt△DAE中,AE2+AD2=DE2, 又∵DE=BD, ∴AD2+42=(8-AD)2, ∴AD=3. ∴D(3,10). (2)(11,4),(-5,16),(5,-10); (3)由(1)可知BD=5,所以CD=BC2+BD2=102+52=55, ①當(dāng)PD=CD=55時(shí),AP=PD2-AD2=125-9=116=229, ∴t=229, ②當(dāng)PC=CD=55時(shí),OP=PC2-OC2=125-64=61. ∴AP=AO-AP=10-61或AP=AO+OP=10+61, ∴t=10-61或10+61. 8.(1)AD=13BC. 理由如下: ∵AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,AE∥DF, ∴四邊形ABED、四邊形AEFD和四邊形AFCD都是平行四邊形. ∴AD=BE=EF=FC, ∴AD=13BC. (2)AB=CD. 理由如下: ∵四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形, ∴DE=AB,AF=DC. ∵AB=DC,∴DE=AF, 又∵四邊形AEFD是平行四邊形, ∴四邊形AEFD是矩形. 9.(1)證明:∵AO=CO,BO=DO, ∴四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠ABC=∠ADC, ∵∠ABC+∠ADC=180, ∴∠ABC=∠ADC=90, ∴四邊形ABCD是矩形; (2)解:∵∠ADC=90,∠ADF∶∠FDC=3∶2, ∴∠FDC=36, ∵DF⊥AC, ∴∠DCO=90-36=54, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴CO=OD, ∴∠ODC=∠DCO=54, ∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18.