2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第2課時(shí)）圓的一般方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc

第2課時(shí)圓的一般方程核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P121P123，回答下列問題(1)方程x2y22x4y10表示什么圖形？x2y22x4y60表示什么圖形？提示：對(duì)方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，它表示圓心為(1，2)，半徑為2的圓；對(duì)方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，由于不存在點(diǎn)(x，y)滿足這個(gè)方程，所以它不表示任何圖形(2)把x2y2DxEyF0配方后，將得到怎樣的方程？這個(gè)方程是不是表示圓？提示：得到的方程為22.當(dāng)D2E24F>0時(shí)，該方程表示以為圓心， 為半徑的圓；當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x，y，即只表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D2E24F<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因此它不表示任何圖形2歸納總結(jié)，核心必記圓的一般方程(1)圓的一般方程的概念：當(dāng)D2E24F0時(shí)，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方程(2)圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和半徑：圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為 .問題思考所有形如x2y2DxEyF0的二元二次方程都表示圓嗎？提示：不是，只有當(dāng)D2E24F>0時(shí)才表示圓課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)圓的一般方程是什么？怎樣求？；(2)怎樣由一般方程確定圓心和半徑？.已知圓心(2,3)，半徑為2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y3)24.思考1上述方程能否化為二元二次方程的形式？名師指津：可以，x2y24x6y90.思考2方程x2y24x6y130是否表示圓？名師指津：配方化為(x2)2(y3)20，不表示圓思考3怎樣理解圓的一般方程？名師指津：(1)圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點(diǎn)：x2、y2的系數(shù)相等且不為0；沒有xy項(xiàng)(2)對(duì)方程x2y2DxEyF0的說明：講一講1若方程x2y22mx2ym25m0表示圓，求：(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑嘗試解答(1)據(jù)題意知，D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范圍為.(2)將方程x2y22mx2ym25m0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2(y1)215m，故圓心坐標(biāo)為(m,1)，半徑r.形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法：(1)由圓的一般方程的定義令D2E24F0，成立則表示圓，否則不表示圓(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解應(yīng)用這兩種方法時(shí)，要注意所給方程是不是x2y2DxEyF0這種標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解練一練1下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)D1，E0，F(xiàn)1，D2E24F1430，方程(1)不表示任何圖形(2)D2a，E0，F(xiàn)a2，D2E24F4a24a20，方程表示點(diǎn)(a,0)(3)兩邊同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F(xiàn)0，D2E24F2a20，方程(3)表示圓，它的圓心為，半徑r |a|.講一講2求過三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)嘗試解答設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0，所求圓過點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，解得所求圓的方程為x2y28x6y0，4，3，圓心為(4，3)，半徑r 5.應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r；(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).練一練2求經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2)，B(1,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2的圓的方程解：設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，所以圓在x軸上的截距之和為x1x2D；令x0，得y2EyF0，所以圓在y軸上的截距之和為y1y2E；由題設(shè)，x1x2y1y2(DE)2，所以DE2.又A(4,2)，B(1,3)兩點(diǎn)在圓上，所以1644D2EF0，19D3EF0，由可得D2，E0，F(xiàn)12，故所求圓的方程為x2y22x120.講一講3已知直角ABC的斜邊為AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程思路點(diǎn)撥(1)設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系直接由斜率之積為1列出方程，注意A、B、C三點(diǎn)不能共線；(2)設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)關(guān)系，建立M點(diǎn)與C點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出軌跡方程嘗試解答(1)法一：設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳CBC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x3，且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2y22x30(x3，且x1)法二：同法一得x3，且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2y22x30(x3，且x1)法三：設(shè)AB中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|AB|2，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，以2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))設(shè)C(x，y)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x1)2y24(x3，且x1)(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x(x3，且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，點(diǎn)C在圓(x1)2y24(x3，且x1)上運(yùn)動(dòng)，將x0，y0代入該方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x2)2y21(x3，且x1)用代入法求軌跡方程的一般步驟練一練3已知ABC的邊AB長(zhǎng)為4，若BC邊上的中線為定長(zhǎng)3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程解：以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖)，則A(2,0)，B(2,0)，設(shè)C(x，y)，BC中點(diǎn)D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.將代入，整理得(x6)2y236.點(diǎn)C不能在x軸上，y0.綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(12,0)和(0,0)兩點(diǎn)軌跡方程為(x6)2y236(y0)課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是了解圓的一般方程的特點(diǎn)，會(huì)由一般方程求圓心和半徑，會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問題，初步掌握求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法難點(diǎn)是會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問題2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)二元二次方程表示圓的判定方法，見講1.(2)應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程的方法，見講2.(3)代入法求軌跡方程的一般步驟，見講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二元二次方程表示圓的條件，如講1.課下能力提升(二十三)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1圓的一般方程1圓的方程為(x1)(x2)(y2)(y4)0，則圓心坐標(biāo)為()A(1，1)B. C(1,2) D.解析：選D將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得2(y1)2，所以圓心為.2已知方程x2y22x2k30表示圓，則k的取值范圍是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，) D.解析：選A方程可化為：(x1)2y22k2，只有2k2>0，即k<1時(shí)才能表示圓3若圓x2y22x4y0的圓心到直線xya0的距離為，則a的值為()A2或2 B.或 C2或0 D2或0解析：選C由圓的方程得圓心坐標(biāo)為(1,2)再由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得a2或a0.4若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)為圓心，4為半徑的圓，則F_.解析：由題意，知D4，E8，r4，F(xiàn)4.答案：45求過點(diǎn)(1,1)，且圓心與已知圓x2y26x8y150的圓心相同的圓的方程解：設(shè)所求的圓的方程為 x2y2DxEyF0，又圓x2y26x8y150的圓心為(3,4)，依題意得解此方程組，可得所求圓的方程為x2y26x8y0.6已知圓C: x2y2DxEy30，圓心在直線xy10上，且圓心在第二象限，半徑長(zhǎng)為，求圓的一般方程解：圓心C，圓心在直線xy10上，10，即DE2.又半徑長(zhǎng)r，D2E220.由可得或又圓心在第二象限，0，即D0.則故圓的一般方程為x2y22x4y30.題組2軌跡方程7(2016日照高一檢測(cè))設(shè)圓x2y24x2y110的圓心為A，點(diǎn)P在圓上，則PA的中心M的軌跡方程是_解析：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可知圓心A為(2，1)，P(2x2,2y1)在圓上，故(2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)110，即x2y24x2y10.答案：x2y24x2y108已知圓O的方程為x2y29，求經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌跡解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題意可知APOP.當(dāng)AP垂直于x軸時(shí)，P的坐標(biāo)為(1,0)，此時(shí)x1；當(dāng)x0時(shí)，y0；當(dāng)x0，且x1時(shí)，有kAPkOP1，kAP，kOP，1，即x2y2x2y0(x0，且x1)經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1,0)，(0,0)適合上式綜上所述，點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓能力提升綜合練1若直線3xya0過圓x2y22x4y0的圓心，則a的值為()A1 B1C3 D3解析：選B圓x2y22x4y0的圓心為(1,2)，3xya0過點(diǎn)(1,2)，即32a0，a1.2如果圓x2y2DxEyF0(D2E24F>0)關(guān)于直線yx對(duì)稱，則有()ADE0 BDECDF DEF解析：選B由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線yx上，故有，即DE.3(2016 衡水高一檢測(cè))直線yx1上的點(diǎn)到圓x2y24x2y40的最近距離為()A2 B.1C21 D1解析：選C圓心(2,1)到已知直線的距離為d2，圓的半徑為r1，故所求距離dmin21.4已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A B4C8 D9解析：選B設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡坐標(biāo)為(x，y)，則由|PA|2|PB|，知 2，化簡(jiǎn)得(x2)2y24，得軌跡曲線為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，該圓面積為4.5關(guān)于方程x2y22ax2ay0表示的圓，下列敘述中：圓心在直線yx上；其圓心在x軸上；過原點(diǎn)；半徑為a.其中敘述正確的是_(要求寫出所有正確命題的序號(hào))解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心為(a，a)，半徑為|a|，故正確答案：6M(3,0)是圓x2y28x2y100內(nèi)一點(diǎn)，過M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦所在的直線方程為_，最短的弦所在的直線方程是_解析：由圓的幾何性質(zhì)可知，過圓內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是與該點(diǎn)和圓心的連線CM垂直的弦易求出圓心為C(4,1)，kCM1，最短的弦所在的直線的斜率為1，由點(diǎn)斜式，分別得到方程yx3和y(x3)，即xy30和xy30.答案：xy30xy307點(diǎn)A(2,0)是圓x2y24上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程解：(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為P(2x2,2y)點(diǎn)P在圓x2y24上，(2x2)2(2y)24，故線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ONPQ，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，即x2y2(x1)2(y1)24，故線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.8已知圓C: x2y24x14y450，及點(diǎn)Q(2,3)(1)P(a，a1)在圓上，求線段PQ的長(zhǎng)及直線PQ的斜率；(2)若M為圓C上的任一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值解：(1)點(diǎn)P(a，a1)在圓上，a2(a1)24a14(a1)450，a4，P(4,5)，|PQ|2，kPQ.(2)圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，|QC|4，圓的半徑是2，點(diǎn)Q在圓外，|MQ|max426，|MQ|min422.