高中數(shù)學(xué) （1.3 算法案例）示范教案 新人教A版必修

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1、 1.3 算法案例 整體設(shè)計 教學(xué)分析 在學(xué)生學(xué)習(xí)了算法的初步知識，理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和程序三種不同方式以后，再結(jié)合典型算法案例，讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計算法解決問題的全過程，體驗算法在解決問題中的重要作用，體會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 三維目標(biāo) 1．理解算法案例的算法步驟和程序框圖. 2．引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計的算法程序. 3. 體會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 重點難點 教學(xué)重點：引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計的算法步驟、程序框圖和算法程序. 教學(xué)難點：體會算法的基本思想，提高邏輯思維

2、能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 課時安排 3課時 教學(xué)過程 第1課時 案例1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù) 導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家喜歡打乒乓球吧，由于東、西方文化及身體條件的不同，西方人喜歡橫握拍打球，東方人喜歡直握拍打球，對于同一個問題，東、西方人處理問題方式是有所不同的.在小學(xué)，我們學(xué)過求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來. 當(dāng)兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時（如8 251與6 105），使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法——輾轉(zhuǎn)

3、相除法與更相減損術(shù),由此可以體會東、西方文化的差異. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了算法步驟、程序框圖和算法語句.今天我們將通過輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)來進一步體會算法的思想. 推進新課 新知探究 提出問題 （1）怎樣用短除法求最大公約數(shù)？ （2）怎樣用窮舉法（也叫枚舉法）求最大公約數(shù)？ （3）怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)？ （4）怎樣用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)？ 討論結(jié)果： （1）短除法 求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來. （2）窮舉法（也叫枚舉法）

4、 窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù). 1 / 17 （3）輾轉(zhuǎn)相除法 輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其算法步驟可以描述如下： 第一步，給定兩個正整數(shù)m，n. 第二步，求余數(shù)r：計算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中. 第三步，更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r. 第四步，判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行. 如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止. 這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的，

5、因而又叫歐幾里得算法. （4）更相減損術(shù) 我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù). 《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”翻譯為現(xiàn)代語言如下： 第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)，若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步. 第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù). 應(yīng)用

6、示例 例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求8 251與6 105的最大公約數(shù),寫出算法分析，畫出程序框圖，寫出算法程序. 解：用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)：8 251=6 1051+2 146. 由此可得，6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù)，反過來，8 251與6 105的公約數(shù)也是6 105與2 146的公約數(shù)，所以它們的最大公約數(shù)相等. 對6 105與2 146重復(fù)上述步驟：6 105=2 1462+1 813. 同理，2 146與1 813的最大公約數(shù)也是6 105與2 146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復(fù)上述步驟： 2 146=1 8131+333，

7、 1 813=3335+148， 333=1482+37， 148=374. 最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8 251與6 105的最大公約數(shù). 這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道，對于任意兩個正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個正整數(shù)的最大公約數(shù). 算法分析：從上面的例子可以看出，輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復(fù)操作的步驟，因此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法. 算法步驟如下： 第一步，給定兩個正整數(shù)m，n. 第二步，計算m除以n所得的余數(shù)為r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m

8、；否則，返回第二步. 程序框圖如下圖： 程序： INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 點評：從教學(xué)實踐看，有些學(xué)生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過程，例如：求8 251與6 105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6 105與2 146的公約數(shù).因為8 251=6 1051+2 146， 可以化為8 251-6 1051=2 164，所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù)，即6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù). 變式訓(xùn)練 你能用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算

9、法，求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試畫出程序框圖和程序. 解：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖： 程序： INPUT m，n r=1 WHILE r＞0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù). 解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示. 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公約數(shù)等于7. 點評：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的比較：盡管兩種算法分別來

10、源于東、西方古代數(shù)學(xué)名著，但是二者的算理卻是相似的，有異曲同工之妙．主要區(qū)別在于輾轉(zhuǎn)相除法進行的是除法運算，即輾轉(zhuǎn)相除；而更相減損術(shù)進行的是減法運算，即輾轉(zhuǎn)相減，但是實質(zhì)都是一個不斷的遞歸過程． 變式訓(xùn)練 用輾轉(zhuǎn)相除法或者更相減損術(shù)求三個數(shù)324,243,135的最大公約數(shù). 解：324=2431＋81， 243=813＋0， 則324與243的最大公約數(shù)為81. 又135=811＋54，81=541＋27， 54=272＋0， 則 81 與 135的最大公約數(shù)為27. 所以,三個數(shù)324、243、135的最大公約數(shù)為27. 另法：324－243=81,243－81

11、=162,162－81=81，則324與243的最大公約數(shù)為81. 135－81=54,81－54=27,54－27=27，則81與135的最大公約數(shù)為27. 所以，三個數(shù)324、243.135的最大公約數(shù)為27. 例3 （1）用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù). （2）用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù). 解：（1）輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下： 123＝248＋27， 48＝127＋21， 27＝121＋6， 21＝36＋3， 6＝23+0， 最后6能被3整除，得123和48的最大公約數(shù)為3. （2）我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，因為80和3

12、6都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2. 802=40，362=18. 40和18都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2. 402=20，182=9. 下面來求20與9的最大公約數(shù)， 20－9=11， 11－9=2， 9－2=7， 7－2=5， 5－2=3， 3－2=1， 2－1=1， 可得80和36的最大公約數(shù)為221=4. 點評：對比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等. 變式訓(xùn)練 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1 734，816的最大公約數(shù)． 解：輾轉(zhuǎn)相除法： 1 734=8162+102，816=1028（余0）， ∴1 734

13、與816的最大公約數(shù)是102． 更相減損術(shù)：因為兩數(shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867，408，再求867與408的最大公約數(shù)． 867-408=459， 459-408=51， 408-51=357， 357-51=306， 306-51=255， 255-51=204， 204-51=153， 153-51=102， 102-51=51. ∴1 734與816的最大公約數(shù)是512=102． 利用更相減損術(shù)可另解： 1 734－816＝918， 918－816＝102， 816－102＝714， 714－102＝612， 612－102＝510， 510－10

14、2＝408， 408－102＝306， 306－102＝204， 204－102＝102. ∴1 734與816的最大公約數(shù)是102． 知能訓(xùn)練 求319，377，116的最大公約數(shù)． 解：377=3191+58， 319=585+29， 58=292. ∴377與319的最大公約數(shù)為29，再求29與116的最大公約數(shù)． 116=294. ∴29與116的最大公約數(shù)為29. ∴377，319，116的最大公約數(shù)為29. 拓展提升 試寫出利用更相減損術(shù)求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的程序． 解：更相減損術(shù)程序： INPUT “m，n=”；m，n

15、 WHILE m<>n IF m>n THEN ｍ＝m-n ELSE m=n-m END IF WEND PRINT m END 課堂小結(jié) （1）用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù). （2）用更相減損術(shù)求最大公約數(shù). 思想方法：遞歸思想. 作業(yè) 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261，319的最大公約數(shù). 分析：本題主要考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)及其應(yīng)用．使用輾轉(zhuǎn)相除法可依據(jù)m=nq+r，反復(fù)執(zhí)行，直到r=0為止；用更相減損術(shù)就是根據(jù)m-n=r，反復(fù)執(zhí)行，直到n=r為止． 解：輾轉(zhuǎn)相除法： 319=2611+58, 261=584+29, 58=292.

16、∴319與261的最大公約數(shù)是29． 更相減損術(shù)： 319-261=58, 261-58=203, 203-58=145, 145-58=87, 87-58=29, 58-29=29, ∴319與261的最大公約數(shù)是29． 設(shè)計感想 數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，本節(jié)的引入從東、西方文化的不同開始，逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化.從知識方面主要學(xué)習(xí)用兩種方法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)，從思想方法方面，主要學(xué)習(xí)遞歸思想.本節(jié)設(shè)置精彩例題，不僅讓學(xué)生學(xué)到知識，而且讓學(xué)生進一步體會算法的思想，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情操． 第2課時 案例2 秦九韶算法 導(dǎo)入新課

17、 思路1（情境導(dǎo)入） 大家都喜歡吃蘋果吧，我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃，而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃，由此看來處理同一個問題的方法多種多樣.怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值呢？方法也是多種多樣的，今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)， 今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法. 推進新課 新知探究 提出問題 （1）求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值有哪些方法？比較它們的特點. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎樣評價一個算法的好壞

18、？ 討論結(jié)果： （1）怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值呢？ 一個自然的做法就是把5代入多項式f(x)，計算各項的值，然后把它們加起來，這時，我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運算，5次加法運算. 另一種做法是先計算x2的值，然后依次計算x2x，（x2x）x，（（x2x）x）x的值，這樣每次都可以利用上一次計算的結(jié)果，這時，我們一共做了4次乘法運算，5次加法運算. 第二種做法與第一種做法相比，乘法的運算次數(shù)減少了，因而能夠提高運算效率，對于計算機來說，做一次乘法運算所用的時間比做一次加法運算要長得多，所以采用第二種做法，計算

19、機能更快地得到結(jié)果. （2）上面問題有沒有更有效的算法呢？我國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202~1261）在他的著作《數(shù)書九章》中提出了下面的算法： 把一個n次多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式： f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =（anxn-1+an-1xn-2+…+a1）x+ a0 =（（anxn-2+an-1xn-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0. 求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即 v1=anx+an-1

20、， 然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即 v2=v1x+an-2， v3=v2x+an-3， … vn=vn-1x+a0， 這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值. 上述方法稱為秦九韶算法.直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進的算法. （3）計算機的一個很重要的特點就是運算速度快，但即便如此，算法好壞的一個重要標(biāo)志仍然是運算的次數(shù).如果一個算法從理論上需要超出計算機允許范圍內(nèi)的運算次數(shù)，那么這樣的算法就只能是一個理論的算法. 應(yīng)用示例 例1 已知一個5次多項式為f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，

21、 用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x=5時的值. 解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式： f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8， 按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x=5時的值： v0=5； v1=55+2=27; v2=275+3.5=138.5; v3=138.55-2.6=689.9; v4=689.95+1.7=3 451.2; v5=3 415.25-0.8=17 255.2; 所以，當(dāng)x=5時，多項式的值等于17 255.2. 算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個一次式，可見vk的計算要用到vk-1的值，若令v0=a

22、n，我們可以得到下面的公式： 這是一個在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn). 算法步驟如下： 第一步，輸入多項式次數(shù)n、最高次的系數(shù)an和x的值. 第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1. 第三步，輸入i次項的系數(shù)ai. 第四步，v=vx+ai,i=i-1. 第五步，判斷i是否大于或等于0.若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值v. 程序框圖如下圖： 程序： INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i＞=0 PRINT “i=”；i

23、INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 點評：本題是古老算法與現(xiàn)代計算機語言的完美結(jié)合，詳盡介紹了思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個典型的算法案例. 變式訓(xùn)練 請以5次多項式函數(shù)為例說明秦九韶算法，并畫出程序框圖. 解：設(shè)f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 首先，讓我們以5次多項式一步步地進行改寫： f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0 =（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0 =（（（a5x2+a4x+ a3）x+

24、a2）x+a1）x+a0 =（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0. 上面的分層計算,只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由里向外逐層計算，直到最外層的括號，然后加上常數(shù)項即可. 程序框圖如下圖： 例2 已知n次多項式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一種算法中，計算（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，計算P3(x0)的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算P10(x0)的值共需要__________次運算.下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)

25、+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用該算法，計算P3(x0)的值共需要6次運算，計算P10(x0)的值共需要___________次運算. 答案：65 20 點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運算的次數(shù)最多可到達(dá)，加法最多n次.秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次. 例3 已知多項式函數(shù)f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求當(dāng)x=5時的函數(shù)的值. 解析：把多項式變形為：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =((((2x－5)x－4)x+3)

26、x－6)x+7. 計算的過程可以列表表示為： 最后的系數(shù)2 677即為所求的值. 算法過程： v0=2； v1=25－5=5； v2=55－4=21； v3=215+3=108； v4=1085－6=534； v5=5345+7=2 677. 點評：如果多項式函數(shù)中有缺項的話，要以系數(shù)為0的項補齊后再計算. 知能訓(xùn)練 當(dāng)x=2時，用秦九韶算法求多項式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值． 解法一：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式： f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6. 按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)

27、x=2時的值. v0=3; v1=v02+8=32+8=14; v2=v12-3=142-3=25; v3=v22+5=252+5=55; v4=v32+12=552+12=122; v5=v42-6=1222-6=238. ∴當(dāng)x=2時，多項式的值為238. 解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6， 則f(2)=((((32+8)2－3)2+5)2+12)2－6＝238． 拓展提升 用秦九韶算法求多項式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x當(dāng)x=3時的值. 解：f(x)=((((((7x+6)+5)x

28、+4)x+3)x+2)x+1)x v0=7； v1=73+6=27； v2=273+5=86； v3=863+4=262； v4=2623+3=789； v5=7893+2=2 369； v6=2 3693+1=7 108； v7=7 1083+0=21 324. ∴f(3)=21 324. 課堂小結(jié) 1.秦九韶算法的方法和步驟. 2.秦九韶算法的計算機程序框圖. 作業(yè) 已知函數(shù)f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值. 解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8 ∴f(9)=((9－2)9－5)9+8=

29、530. 設(shè)計感想 古老的算法散發(fā)濃郁的現(xiàn)代氣息，這是一節(jié)充滿智慧的課.本節(jié)主要介紹了秦九韶算法. 通過對秦九韶算法的學(xué)習(xí)，對算法本身有哪些進一步的認(rèn)識？ 教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、概括，小結(jié)時要關(guān)注如下幾點：（1）算法具有通用的特點，可以解決一類問題；（2）解決同一類問題，可以有不同的算法，但計算的效率是不同的，應(yīng)該選擇高效的算法；（3）算法的種類雖多，但三種邏輯結(jié)構(gòu)可以有效地表達(dá)各種算法等等. 第3課時 案例3 進位制 導(dǎo)入新課 情境導(dǎo)入 在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進制，據(jù)說這與古人曾以手指計數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七

30、進制、十二進制、六十進制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個月、一小時六十分的歷法.今天我們來學(xué)習(xí)一下進位制. 推進新課 新知探究 提出問題 （1）你都了解哪些進位制？ （2）舉出常見的進位制. （3）思考非十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法. （4）思考十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進制數(shù)及非十進制之間的轉(zhuǎn)換方法. 活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路． 討論結(jié)果： （1）進位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的計數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進一，就是二進制；滿十進一，就是十進制；滿十二進一，就是十二進制；滿

31、六十進一，就是六十進制等等.也就是說：“滿幾進一”就是幾進制，幾進制的基數(shù)（都是大于1的整數(shù)）就是幾. （2）在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進制，據(jù)說這與古人曾以手指計數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進制、十二進制、六十進制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個月、一小時六十分的歷法. （3）十進制使用0~9十個數(shù)字.計數(shù)時，幾個數(shù)字排成一行，從右起，第一位是個位，個位上的數(shù)字是幾，就表示幾個一；第二位是十位，十位上的數(shù)字是幾，就表示幾個十；接著依次是百位、千位、萬位…… 例如：十進制數(shù)3 721中的3表示3個千，7表示7個百，2表示2個十，1表示1個一.于是，我們得到下面的

32、式子： 3 721=3103+7102+2101+1100. 與十進制類似，其他的進位制也可以按照位置原則計數(shù).由于每一種進位制的基數(shù)不同，所用的數(shù)字個數(shù)也不同.如二進制用0和1兩個數(shù)字，七進制用0~6七個數(shù)字. 一般地，若k是一個大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式 anan-1…a1a0（k）（0＜an＜k，0≤an-1，…，a1，a0＜k). 其他進位制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，如 110 011（2）=125+124+023+022+121+120， 7 342（8）=783+382+481+28

33、0. 非十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)比較簡單，只要計算下面的式子值即可： anan-1…a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+…+a1k+a0. 第一步：從左到右依次取出k進制數(shù)anan-1…a1a0(k)各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即ankn,an-1kn-1,…,a1k,a0k0； 第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進制數(shù). （4）關(guān)于進位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進制和二進制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進制和其他進制之間的轉(zhuǎn)換.這樣做的原因是，計算機是以二進制的形式進行存儲和計算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計算機的數(shù)據(jù)是

34、十進制數(shù)據(jù)，因此計算機必須先將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，再處理，顯然運算后首次得到的結(jié)果為二進制數(shù)，同時計算機又把運算結(jié)果由二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)輸出. 1十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進制數(shù) 把十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進制數(shù)的算法“除k取余法”. 2非十進制之間的轉(zhuǎn)換 一個自然的想法是利用十進制作為橋梁.教科書上提供了一個二進制數(shù)據(jù)與16進制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先由二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，再由十進制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進制數(shù). 應(yīng)用示例 思路1 例1 把二進制數(shù)110 011(2)化為十進制數(shù). 解：110 011(

35、2)=125+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51. 點評：先把二進制數(shù)寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和的形式，再按照十進制的運算規(guī)則計算出結(jié)果. 變式訓(xùn)練 設(shè)計一個算法，把k進制數(shù)a（共有n位）化為十進制數(shù)b. 算法分析：從例1的計算過程可以看出，計算k進制數(shù)a的右數(shù)第i位數(shù)字ai與ki-1的乘積aiki-1，再將其累加，這是一個重復(fù)操作的步驟.所以，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法. 算法步驟如下： 第一步，輸入a，k和n的值. 第二步，將b的值初始化為0，i的值初始化為1. 第三步，b=b+aiki-1，i=i+1. 第四步，判斷i＞

36、n是否成立.若是，則執(zhí)行第五步；否則，返回第三步. 第五步，輸出b的值. 程序框圖如下圖： 程序： INPUT “a,k，n=”；a，k，n b=0 i=1 t=a MOD 10 DO b=b+t*k^（i-1） a=a\\10 t=a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i＞n PRINT b END 例2 把89化為二進制數(shù). 解：根據(jù)二進制數(shù)“滿二進一”的原則，可以用2連續(xù)去除89或所得商，然后取余數(shù).具體計算方法如下： 因為89=244+1，44=222+0， 22=211+0， 11=25+1， 5=

37、22+1， 2=21+0， 1=20+1， 所以 89=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1 =2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1 =…=126+025+124+123+022+021+120 =1 011 001(2). 這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示： 把上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到89=1 011 001(2). 上述方法也可以推廣為把十進制數(shù)化為k進制數(shù)的算法，稱為除k取余法. 變式訓(xùn)練 設(shè)計一個程序，實現(xiàn)“除k取余法”. 算法分析：從例2的計算過程可以看出如下的規(guī)律： 若十制數(shù)a除

38、以k所得商是q0，余數(shù)是r0，即a=kq0+r0，則r0是a的k進制數(shù)的右數(shù)第1位數(shù). 若q0除以k所得的商是q1，余數(shù)是r1，即q0=kq1+r1，則r1是a的k進制數(shù)的左數(shù)第2位數(shù). …… 若qn-1除以k所得的商是0，余數(shù)是rn，即qn-1=rn，則rn是a的k進制數(shù)的左數(shù)第1位數(shù). 這樣，我們可以得到算法步驟如下： 第一步，給定十進制正整數(shù)a和轉(zhuǎn)化后的數(shù)的基數(shù)k. 第二步，求出a除以k所得的商q，余數(shù)r. 第三步，把得到的余數(shù)依次從右到左排列. 第四步，若q≠0，則a=q，返回第二步；否則，輸出全部余數(shù)r排

39、列得到的k進制數(shù). 程序框圖如下圖： 程序： INPUT “a，k=”；a，k b=0 i=0 DO q=a\\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END 思路2 例1 將8進制數(shù)314 706(8)化為十進制數(shù)，并編寫出一個實現(xiàn)算法的程序. 解：314 706(8)=385+184+483+782+081+680=104 902. 所以，化為十進制數(shù)是104 902. 點評：利用把k進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的一般方法就可以把8進制數(shù)314 7

40、06(8)化為十進制數(shù). 例2 把十進制數(shù)89化為三進制數(shù)，并寫出程序語句. 解：具體的計算方法如下： 89=329+2， 29=39+2， 9=33+0， 3=31+0， 1=30+1， 所以:89(10)=10 022(3). 點評：根據(jù)三進制數(shù)滿三進一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所得的商，然后按倒序的順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可. 知能訓(xùn)練 將十進制數(shù)34轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)． 分析：把一個十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，用2反復(fù)去除這個十進制數(shù)，直到商為0，所得余數(shù)（從下往上讀）就是所求． 解： 即34(10)=100 010(2) 拓展提升 把

41、1 234(5)分別轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)和八進制數(shù)． 解：1 234(5)=153+252+35+4＝194． 則1 234(5)=302(8) 所以，1 234(5)=194＝302(8) 點評：本題主要考查進位制以及不同進位制數(shù)的互化．五進制數(shù)直接利用公式就可以轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)；五進制數(shù)和八進制數(shù)之間需要借助于十進制數(shù)來轉(zhuǎn)化． 課堂小結(jié) （1）理解算法與進位制的關(guān)系. （2）熟練掌握各種進位制之間轉(zhuǎn)化. 作業(yè) 習(xí)題1.3A組3、4. 設(shè)計感想 計算機是以二進制的形式進行存儲和計算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計算機的數(shù)據(jù)是十進制數(shù)據(jù)，因此計算機必須先將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，再處理，顯然運算后首次得到的結(jié)果為二進制數(shù)，同時，計算機又把運算結(jié)果由二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)輸出.因此學(xué)好進位制是非常必要的，另外，進位制也是高考的重點，本節(jié)設(shè)置了多種題型供學(xué)生訓(xùn)練，所以這節(jié)課非常實用. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！