《數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文函數(shù)列一致收斂性判別法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文函數(shù)列一致收斂性判別法（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、哈哈 爾爾 濱濱 師師 范范 大大 學學學士學位論文開題報告學士學位論文開題報告論文題目 函數(shù)列一致收斂性判別法學生姓名 指導教師 年 級 2008級2班專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學2011年11月 課題來源： 由指導教師提供 課題研究的目的和意義： 由于本課題在數(shù)學領域中對初學者來說比較難理解，難以掌握與應用，所以研究此課題目的是讓初學者掌握該課題知識，學會分析，提高自己的綜合能力，本文給出5種函數(shù)一致收斂性判別法的例題，讓初學者更加形象的理解本課題的應用技巧。 函數(shù)列一致收斂性判別法在數(shù)學分析中是重點難點，有效的判別函數(shù)列的收斂性對研究函數(shù)列的性質(zhì)起著重要作用 。所以本文介紹了判別收斂性的方法及
2、案例，讓初學者能深刻體會其重要性和應用的廣泛性。國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢： 函數(shù)列一致收斂性判別法在求解極限領域中起著極其重要的作用，它不僅有助于提高我們對極限認識清晰度，而且更能幫助我們領悟一致收斂這一性質(zhì)。但在國內(nèi)對于寫相關課題已被廣泛研究，1991年海南師范學院學報第二期張國才和方良秋的函數(shù)列一致收斂性判別法 ，這篇文章參考數(shù)學分析中函數(shù)列的性質(zhì)得出了函數(shù)列一致收斂性的基本方法，包括柯西判別法。1995年吉林師范學院學報第16卷上關偉大的關于一致收斂的判別問題 ，這篇文章討論了處處收斂與一致收斂的關系，得出了“單調(diào)的一致收斂函數(shù)列是一致收斂的”結(jié)論。1994年上海師范大學學報第2
3、3卷第3期張駿芳的廣義一致收斂與亞一致收斂,這篇文章討論了連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)連續(xù)條件，采用了先把函數(shù)列為正則收斂減弱為弱正則收斂或一致收斂，在減弱為廣義一致收斂，最后成為一個定理證明。還有很多學者研究了一致收斂判別的各個方面，不僅未來的研究指明了方向，而且在學術界得到廣泛應用，同時也為本文提供了理論依據(jù)和參考。課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：主要內(nèi)容：1、函數(shù)列一致收斂性的判別法2、函數(shù)列一致收斂性的定義3、函數(shù)列一致收斂性的柯西準則4、函數(shù)列一致收斂的充要條件5、函數(shù)列一致收斂性判別法的應用6、函數(shù)列一致收斂性判別法的意義主要方法：查詢法：通過文獻調(diào)研有目的有計劃
4、有系統(tǒng)地收集并整理資料，了解圖論在數(shù)學模型中的應用。 文獻研究法：調(diào)研文獻，整理文章，獲取所需材料。 歸納法：總結(jié)并整理論文。主要問題：對于不同的題型，怎么選擇正確方法解答。解決辦法：歸納總結(jié)，查詢文獻，請老師指導等。課題研究起止時間和進度安排：1.選定課題（2011.102011.11）2.收集資料，研究有關課題（2011.112012.2）3.完成初稿（2012.22012.3） 4.請指導教師指導完成論文(2012.32012.4)學學 士士 學學 位位 論論 文文題題 目目 函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法學學 生生 許月許月指導教師指導教師 房維維房維維 講師講師年年 級
5、級 2008 級級專專 業(yè)業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學數(shù)學與應用數(shù)學系系 別別 數(shù)學系數(shù)學系學學 院院 文理學院文理學院哈爾濱師范大學2012 年 4 月目目 錄錄摘要.1關鍵詞.1引言.1一 預備知識 .錯誤！未定義書簽。錯誤！未定義書簽。1.1 函數(shù)列一致收斂性定義.11.2 函數(shù)列一致收斂性柯西準則.1 1.3 函數(shù)列一致收斂性充要條件.2二 函數(shù)列一致收斂性判別法的應用.22.1 利用函數(shù)列一致收斂性定義證明.22.2 利用函數(shù)列一致收斂性柯西準則.32.3 利用函數(shù)列一致收斂性充要條件.53. 結(jié)束語.6注釋.6參考文獻.7英文摘要.8 1 1函數(shù)列一致收斂性判別法許月 摘要摘要: 在高等數(shù)學
6、中一致收斂是函數(shù)列的一個重要性質(zhì)，有效的判別函數(shù)列一致收斂性的方法，對研究函數(shù)列的性質(zhì)起著重要的作用。其方法有定義法，柯西準則，充要條件等重要方法，通過學習這些證明方法，可以幫助我們解決一些實際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維能力，并對各種方法加以系統(tǒng)總結(jié)，以便學者熟練并靈活運用. 關鍵詞關鍵詞： 函數(shù)列；一致收斂；判別法 引言 本文系統(tǒng)總結(jié)了有關函數(shù)列一致收斂性的若干證明方法與技巧，通過對例題的分析，回顧了幾種常用的函數(shù)列一致收斂性判定方法，充分的分析各種判定方法的應用，并結(jié)合實例對不同方法進行具體應用，敘述了證明函數(shù)列一致收斂性判別方法，即函數(shù)列一致收斂性的定義，函數(shù)列一致收斂性的柯西
7、準則，函數(shù)列一致收斂性的充要條件等方法證明函數(shù)列一致收斂性.這樣對我們解題將會起到很大的作用.一 預備知識1.11.1 函數(shù)列一致收斂的定義函數(shù)列一致收斂的定義 定義 1：設函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上，若對任給的正數(shù)，總nf f xD存在一正整數(shù)，使得當時，對一切，都有，則稱函數(shù)列 NnNxD nfxf x在上一致收斂于，記作 ，.nfDf nfxf xn xD1.21.2 函數(shù)列一致收斂性的柯西準則函數(shù)列一致收斂性的柯西準則定理 1（Cauchy）函數(shù)列在上一致收斂的充分必要條件上：對任意給定正數(shù)，總nfD存在正數(shù)，使得當時，對一切，都有.N, n mNxD nmfxfx21.31.3 函
8、數(shù)列一致收斂性的充要條件函數(shù)列一致收斂性的充要條件定理 2 函數(shù)列在上一致收斂的充要條件是：. nfD limsup0nnx Dfxf x二二 函數(shù)列一致收斂性判別法的應用函數(shù)列一致收斂性判別法的應用2.12.1 利用利用函數(shù)列一致收斂性定義證明函數(shù)列一致收斂性定義證明例 1：定義在上的函數(shù)列由于對任何實數(shù)，都有, sin,1,2.nnxfxnnxnnnx1sin故對任給的，只要，就有所以函數(shù)列收斂域為無01nNsin0,nxnsinnxn限區(qū)間, 極限函數(shù)., 0f x 注：對于函數(shù)列，僅停留在談論在那些點上收斂是遠遠不夠的，重要的是研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的解析性質(zhì)的關系。例如，能否由函
9、數(shù)列每項的連續(xù)性，可導性，來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導性；或極限函數(shù)的導數(shù)或積分，是否分別是函數(shù)列每項導數(shù)或積分的極限，對這些更深刻問題的討論，必須對它在上的收斂性提出更高的要求才行。D例 2：設在上，一致收斂于，一致收斂于。若存在正數(shù), a b nfx f x ngx g x列。證明：在上一致收斂于。,1,2,.nMxa bn nnfxgx, a b f xg x證明：先證一致有界。 nfx因為一致收斂于，所以，當時 nfx f x0,0N nN ,nfxf xxa b特別地對有，所以即是有界的。1, 1nfxf x 11,nnf xfxM f x記，則當時，取 1,supxa bMf x
10、 nN 11,nnnfxfxM 121max,.,1NMM MMM3則有對于任意的同理可證是有界的，即使 ,nnNxa bfxM g x0,M得，由于一致收斂于，一致收斂于，所以 ,g xM xa b nfx f x ngx g x對當時對一切0,0,N nN,xa b，所以當時有 ,22nnfxf xgxg xMMnN nnfx gxf x g x nnnfx gxf x g xfx g xf x g x nnnfxgxg xg xfxf x22MMMM故在上一致收斂于. nnfx gx, a b f x g x2.22.2 利用利用函數(shù)列一致收斂性的柯西準則函數(shù)列一致收斂性的柯西準則例 3
11、：設，為定義在上的函數(shù)列，證明它的收斂域是 nf nx1,2n , ，且有極限函數(shù)1,1 0,1( )1,1xf xx（3）證明：任給， （不防設） ，當時，由于，只要0101x nnfxf xx取，當時，就有，當和時，則ln,lnNxxnN,x nfxf x0 x 1x 對任何正整數(shù)，都有，.這就證得在n 000nff 110nffnf上收斂，且有（3）式所表現(xiàn)的極限函數(shù).1,1當時，則有，當時，對應的數(shù)列為， 1x nxn 1x 1,1, 1,1.它顯然是發(fā)散的。所以函數(shù)列在區(qū)間外是發(fā)散的. nx1,1注：對于不等式中含有拉格朗日中值定理先處理以下，利用可考慮用的因子,)()(afbf中值
12、定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來證明不等式首先要熟記各個中值定理的應用條件，可將原不等式通過變形找到一個輔助函數(shù)，使其在所給區(qū)間上滿足中4值定理的條件，證明的關鍵是處理好點，分析函數(shù)或其導數(shù)在該點的性質(zhì)即可得到所要結(jié)論，在證明過程中也會出現(xiàn)反復應用同一定理或同時應用幾個定理進行證明的情況.例 4：可微函數(shù)列在上收斂，且導函數(shù)列在上一致有界，則 nfx, a b nfx, a b在上一致收斂。 nfx, a b證明：由假設存在正數(shù) M，對一切自然數(shù) n，當時，有，因此對,xa b nfxM，只要取,則當，對一切自然數(shù)，由微分中值定理有0 3Mxxn 3nnnfxfxf
13、xxM其中在和之間，現(xiàn)對作等分，使，在各個小區(qū)間內(nèi)任取一點，xx, a bkbak12,.,kx xx在這些點上函數(shù)列收斂，對，存在自然數(shù)，當時，有 nfx0 iNinN 3nimifxfx令，則當時，這一切都有，對任意1maxii kNN nN12,.,kx xx 3nimifxfx，設落在所在的小區(qū)間上， （1） ， （2） ，及有,xa bxixnN nmnninimimimfxfxfxfxfxfxfxfx所以在上是一致收斂的。 nfx, a b注：柯西準則的特點是不需要知道極限函數(shù)是什么，只是根據(jù)函數(shù)列本身的特點來判斷函數(shù)列是否一致收斂。例 5：在是否一致收斂？ 2nnnfxxx01x
14、分析：考察區(qū)間收斂與一致收斂的邏輯關系注意聯(lián)系閉區(qū)間連續(xù)性與一致收斂的關系.證明：這里，令 2limlim0,01,nnnnnfxxxf xx，得，由于，而，所以，在 11 20nnnfxnxx12nnx 0nfx 010nnff點，取極大值.12nnx nfx 220101111supsup224nnnxxfxf xxx 5所以不趨近于. nfx f x注：當不好求時，只好訴之于一致或者不一致收斂的定義或柯西準則。從 01supnxfxf x 上例題也可看出，函數(shù)列在有限閉區(qū)間上收斂，未必一致收斂，在上就是如此，2nnxx0,1這與有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定一直連續(xù)不同。2.32.3 利用利用
15、函數(shù)列一致收斂性的充要方法函數(shù)列一致收斂性的充要方法例 6：定義在上的函數(shù)列 122,0211222,1,2,.210,1( )nn xxnnn xxnnnxnfx （8）其中的圖像，如圖所示.1,2,3n 由于，故。當時，(0)0nf (0)lim00nnnff01x只，就有，故在上有1nx( )0nfx 0,1于是函數(shù)列（8） ，在上的極限函數(shù) (0)lim00nnnff 1 , 0，又由于，所以函數(shù)列（8）在( )0f x 0,11sup2nnxfxf xfnnn 上不一致收斂。0,1例 7：討論函數(shù)列，的一致收斂性。 222n xnfxn xe0,1x證明：因為，于是，容 222lim
16、0,0,1n xnf xn xex 2220.n xnfxfn xe易驗證在上只有唯一的極大點，因此為最大值點。于是222n xn xe0,1012xn 12sup2nnfxf xe 因此該函數(shù)列在上不一致收斂。0,16注：不一致收斂是因為函數(shù)列余項的數(shù)值在的附近不能隨 n 222n xnfxn xe0 x 的增大一致趨于零，因此對任何不含原點的區(qū)間，在該,1 01aa 222n xnfxn xe區(qū)間上一致收斂于零。例 8：討論是否一致收斂，并說明理由。 221,1,2,.1,1nfxxnDn 證明：由于，且 lim,1,1nnfxxf xxD 221limsuplimsupnnnx Dx D
17、fxf xxxn22211limsuplim01nnx Dnnxxn故.221,1,1xxnxn 例 9：討論是否一致收斂，并說明理由。 22,1,2,.,1nxfxnDn x 證明：由于，且 lim0,nnfxf xx 221limsuplimsuplim021nnnnx Dx Dxfxf xnn x故.220, 0,1xxn x 結(jié)束語初等數(shù)學中的常用方法有很多，在數(shù)學的學習過程中，函數(shù)列一致收斂性證明是一個非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學和高等數(shù)學中都有很好的體現(xiàn).在極限上，雖然函數(shù)列一致收斂性判別法廣泛的存在于現(xiàn)實的世界里，但是人們對函數(shù)列一致收斂性判別法的認識尚淺.直到 17 世紀
18、以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學基礎理論的一個重要組成部分.但一般來說比較講究解題技巧.而用上述函數(shù)列一致收斂性判別法，有時可大大降低解7題技巧的需要，簡化解題過程.所以以上方法給我們提供了便利的條件.注釋：注釋：1李長明,周煥山:初等數(shù)學研究M.北京:高等教育出版社,1995,253-263.2葉慧萍:反思性教學設計-不等式證明綜合法J.數(shù)學教學研究,2005,10(3):89-91.3胡炳生,吳俊:現(xiàn)代數(shù)學觀點下的中學數(shù)學M.北京:高等教育出版社,1998,45-50.4宋慶:函數(shù)列一致收斂性判別法的再推廣J.中等數(shù)學,2006,45(5):29-31.5蔣昌林:也談一類函數(shù)列一
19、致收斂性的統(tǒng)一證明J.數(shù)學通報,2005,15(2):75-79. 6張新全.函數(shù)列一致收斂性的證明J.數(shù)學通報,2006,45(4):54-55.參考文獻：參考文獻：1 孫 濤：數(shù)學分析經(jīng)典習題解析M，高等教育出版社，2004.2 孫清華：數(shù)學分析內(nèi)容、方法與技巧M，華中科技大學出版社，2003.3 謝惠民：數(shù)學分析習題課講義M，高等教育出版社，2003.4 陳傳璋：數(shù)學分析M，人民教育出版社，1980.5 黃先開,曹顯兵：歷屆考研試題M，世界圖書出版公司, 2004.8英文摘要英文摘要Uniform Convergence Of Function Sequence Of Discrimin
20、ant MethodXuYueAbstract: Higher Mathematics in uniform convergence of function sequence is one of the important properties, effective discriminant function uniformly convergence method, to study the properties of sequence of functions play an important role. The method of defining method, a sufficie
21、nt and necessary condition of guidelines, and other important method, through the study of these proven methods, which can help us to solve some practical problems, developing logical reasoning ability and abstract thinking ability, and the various methods to summarize, in order to scholars of skill
22、ed and flexible use.Keywords: function list; uniform convergence; discriminant method 9論文評閱人意見論文（設計）題目論文（設計）題目函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法作作 者者許月許月評閱人評閱人房維維房維維評閱人職稱評閱人職稱講師講師意意 見見評閱人評閱人簽字簽字評閱意見評閱意見論文評閱人意見論文（設計）題目論文（設計）題目函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法作作 者者許月許月評閱人評閱人職稱職稱意意 見見評閱人評閱人簽字簽字評閱意見評閱意見指導教師評語頁論文（設計）題目論文（設計）題目
23、函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法作作 者者許月許月指導教師指導教師房維維房維維職職 稱稱講師講師評評 語語指導教師指導教師簽字簽字論文等級論文等級本科畢業(yè)論文（設計）答辯過程記錄院系 數(shù)學系 專業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 年級 2008 級 答辯人姓名 許月 學號 2008210977 畢業(yè)論文（設計）題目 函數(shù)列一致收斂性判別法 畢業(yè)論文（設計）答辯過程記錄：答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ）記錄員 答辯小組組長簽字 年 月 日 年 月 日本科畢業(yè)論文（設計）答辯登記表院（系）： 數(shù)學系 專業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 年級：2007論文（設計）題目：函數(shù)列一致收斂性判別法答辯人：許月學號：2008210977評閱人：指導教師： 房維維 論文（設計）等級：答辯小組成員：答辯小組意見：秘書簽名： 年 月 日論文（設計）答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ）論文（設計）最終等級：答辯小組組長簽名：答辯委員會主席簽名：
數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文函數(shù)列一致收斂性判別法
