七年級數(shù)學下冊 培優(yōu)新幫手 專題05 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻試題 （新版）新人教版.doc

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5 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻 閱讀與思考 數(shù)學是研究數(shù)和形的學科，在數(shù)學里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助與幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學思想． 運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在一下幾個方面： 1．利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)； 2．利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)； 3．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??； 4．利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題． 例題與求解 【例1】 已知數(shù)軸上有A，B兩點，A，B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離之和等于_____________． （北京市“迎春杯”競賽試題） 解題思路：確定A，B在數(shù)軸上的位置，求出A，B兩點所表示的有理數(shù)． 【例2】 在數(shù)軸上和有理數(shù)對應(yīng)的點的位置如圖所示．有下面四個結(jié)論： ①，②，③，④，其中，正確的結(jié)論有（ ）個． A．4 B．3 C．2 D．1 （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：從數(shù)軸上得到，再對代數(shù)式進行逐以一判斷． 【例3】 如圖所示，已知數(shù)軸上點所對應(yīng)的數(shù)都不為0，且是的中點．如果，試確定原點的大致位置． 解題思路：從化簡等式入手，而是解題的關(guān)鍵． 【例4】 （1）閱讀下面材料： 點在數(shù)軸上分別表示實數(shù)兩點之間的距離表示為．當兩點中有一點在原點時， 當A、B兩點都不在原點時， ①如圖2，點A、B都在原點的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|； ②如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|； 綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a－b|． （2）回答下列問題： ①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_________，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是______________，數(shù)軸上表示1和－3的兩點之間的距離是________________； ②數(shù)軸上表示x和－1的兩點A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_________； ③當代數(shù)式|x＋1|十|x－2|取最小值時________，相應(yīng)的x的取值范圍是___________． ④求的最小值． （江蘇省南京市中考試題） 解題思路：通過觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式所表示的意義，來回答所提出的具體問題． 【例5】 某城市沿環(huán)形路有五所小學，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15，7，11，3，14臺，現(xiàn)在為使各校電腦臺數(shù)相等，各調(diào)幾臺給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小，二小給三小，三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動臺數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的安排？ （湖北省荊州市競賽試題） 解題思路：通過設(shè)未知數(shù)，把調(diào)動的電腦臺數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來．解題的關(guān)鍵是怎樣將實際問題轉(zhuǎn)化為求的最小值． 【例6】 如圖，是數(shù)軸上表示－30的點，是數(shù)軸上表示10的點，是數(shù)軸上表示18的點，點在數(shù)軸上同時向正方向運動．點運動的速度是6個單位長度/秒，點和點運動的速度是3個單位長度/秒．設(shè)三個點運動的時間為t（秒）． （1）當t為何值時，線段AC＝6（單位長度）？ （2）t≠5時，設(shè)線段OA的中點為P，線段OB的中點為M，線段OC的中點為N，求2PM－PN＝2時t的值． （湖北省荊州市競賽試題） 解題思路：（1）三點在數(shù)軸上同時向正方向運動，分別當點運動到點左側(cè)和右側(cè)兩種情況來分析求解． （2）先將三個點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫出來，因點M始終在點左側(cè)，則分為“點在左邊”，“點在之間”，“點在右邊”三種情況來求解． 能力訓練 A級 1．已知數(shù)軸上表示負數(shù)有理數(shù)的點是點，那么在數(shù)軸上與點相距個單位的點中，與原點距離較遠的點對應(yīng)的數(shù)是______________． （江蘇省競賽試題） 2．如果數(shù)軸上點到原點的距離為3，點到原點的距離為5，那么兩點的距離為______________． 3．點分別是數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點，使線段沿數(shù)軸向右移動到的中點對應(yīng)數(shù)3，則點對應(yīng)的數(shù)是________________，點移動的距離是____________． （“希望杯”邀請賽試題） 4．已知，且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是_________________________．（用“＜”號連接） （北京市“迎春杯”競賽試題） 5．在數(shù)軸上任取一條長度為的線段，則此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的個數(shù)是（ ）． A．1998 B．1999 C．2000 D．2001 （重慶市競賽試題） 6．如圖，為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在中，負數(shù)的個數(shù)有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （“祖沖之”邀請賽試題） 7．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡結(jié)果為（ ）． A． B． C． D． 8．如圖所示，在數(shù)軸上有六個，且，則與點所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是（ ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 （“希望杯”邀請賽試題） 9．已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示： 且，求的值． 10．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點，第一步從向左挑一個單位到，第二步由向右跳2個單位到，第三步由向左跳3個單位到，第四步由向右跳4個單位到，…，按以上規(guī)律跳了100步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點所表示的數(shù)恰是19.94．則電子跳蚤的初始位置點所表示的數(shù)是_________________． 11．如圖，已知分別為數(shù)軸上兩點，點對應(yīng)的數(shù)為－20，點對應(yīng)的數(shù)為100． （1）求過中點對應(yīng)的數(shù)． （2）現(xiàn)有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點相遇，求點對應(yīng)的數(shù)． （3）若當電子螞蟻從點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點相遇，求點對應(yīng)的數(shù)． B 級 1．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示： 則化簡的結(jié)果為_____________________． 2．電影＜＜哈利波特＞＞中小哈利波特穿墻進入“”的鏡頭（如示意圖中站臺），構(gòu)思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若站臺分別位于－2，－1處，，則站臺用類似電影里的方法稱為“_________________站臺” （《時代學習報》數(shù)學文化節(jié)試題） 3．在數(shù)軸上，若點與原點的距離是點與三〇若對應(yīng)的點之間的距離的4倍，則點表示的數(shù)是_________________． （河南省競賽試題） 4．若，則使成立的的取值范圍是__________________． （武漢市選拔賽試題） 5．如圖，直線上有三個不同的點，且，那么，到三點距離的和最小的點為（ ）． A． 點外 B．線段的中點 C．線段外一點 D． 無窮多個 （“希望杯”邀請賽試題） 6．點都在數(shù)軸上，點在原點的左邊，且，點在點的右邊，且，點在點的左邊，且，點在點的右邊，且，，依照上述規(guī)律，點所表示的數(shù)分別為（ ） ． A．xx，－xx B．－xx，2009 C．1004，－1005 D．1004，－1004 （福建省泉州市中考試題） 7．設(shè)，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ）． A．沒有最小值 B．只有一個使去最小值 C．有限個（不止一個）使去最小值 D．有無窮多個使取最小值 （全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題） 8．如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩個點相距1個單位，點對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)，且，那么數(shù)軸的原點對應(yīng)點是（ ）． A． B． C． D． （“新世紀杯”廣西初中數(shù)學競賽試題） 9．已知，求的最大值和最小值． （江蘇省競賽試題） 10．如圖，在環(huán)形運輸線路上有六個倉庫，現(xiàn)有某種貨物的庫存量分別是50噸、84噸、80噸、70噸、55噸和45噸．要對各倉庫的存貨進行調(diào)整，使得每個倉庫的存貨量相等，但每個倉庫只能相相鄰的倉庫調(diào)運，并使調(diào)運的總量最?。蟾鱾}庫向其他倉庫的調(diào)運量． 11．如圖，數(shù)軸上標有個點，它們對應(yīng)的整數(shù)是．為了確保從這些點中可以取出xx個，使任何兩個點之間的距離都不等于4．求的最小值． （“華羅庚金杯”少年邀請賽試題） 專題05 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻 例1 12 提示：點A表示數(shù)為3或－3，滿足條件的點B共有4個． 例2 B 提示：由數(shù)軸知a＜－1＜0＜b＜c＜1． ∴abc＜0，故①正確；由絕對值的幾何意義知②正確；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正確；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正確． 例3 原點O在線段AC上． 例4 ①3，3，4 ②|x＋1| 1或－3 ③－1≤x≤2 ④997 002 例5 如圖，用A，B，C，D，E點順時針排列依次表示一至五所小學，且順次向鄰校調(diào)給，，，，臺電腦．依題意得：7＋－＝11＋－＝3＋－＝14＋－＝15＋－＝10．得＝－3，＝－2，＝－9，＝－5．本題要求y＝||＋||＋||＋||＋||的最小值，依次代入，可得y＝||＋|－3|＋|－2|＋|－9|＋|－5|． 由絕對值幾何意義可知，當＝3時，y有最小值12．此時有＝0，＝1，＝－6，＝－2． 所以，一小向二小調(diào)出3臺，三小向四小調(diào)出1臺，五小向四小調(diào)出6臺，一小向五小調(diào)出2臺，這樣調(diào)動的電腦總臺數(shù)最小為12臺． 例6 （1）A，B，C三點在數(shù)軸上同時向正方向運動． 當點A運動到點C左側(cè)時， ∵線段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14． 當點A運動到點C右側(cè)時， ∵線段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18． 綜上可知，t為14或18時，線段AC＝6． （2） 當點A，B，C三個點在數(shù)軸上同時向正方向運動t秒后，點A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：6t－30，10＋3t，18＋3t． （3） ∵P，M，N分別為OA，OB，OC的中點． ∴P，M，N三個點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：，，．且點M始終在點N左側(cè)． ①若點P在M，N左邊，則PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t． ∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2， ∴t＝． ②若點P在M，N之間，則PM＝－＝－20＋1．5t， PN＝－＝24－1．5t． ∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2， ∴t＝． ③若點P在M，N右邊，則PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t． ∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2， ∴t＝12． 但此時PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情況不成立 ． 綜上可知，t＝或時符合題意． A級 1．2m 2．2或8 3. ， 提示：AB的長為＝，對應(yīng)的數(shù)為3－＝，點A移動的距離為－（－3）＝． 4．b＜－a＜a＜|b| 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 5 10．－30．06 提示：設(shè)點表示的有理數(shù)為x，則，，…，點所表示的有理數(shù)分別為x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由題意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94． 11．（1）M點對應(yīng)的數(shù)為＝40． （2）相遇時間為＝12秒，C點對應(yīng)的數(shù)為100－126＝28． （3）追擊時間為60秒，D點對應(yīng)的數(shù)為－260． B級 1．－2 2． 3．24或40． 提示：設(shè)N點對應(yīng)的數(shù)為x．根據(jù)絕對值的幾何意義可知|x|＝4|x－30|．對x分情況討論得出x＝24或x＝40． 4. b≤x≤a 5．A 6．C 7．D 8．C 9．原式化為|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9． ∵|x＋2|＋|1－x|≥3，當－2≤x≤1時等號成立； |y－5|＋|1＋y|≥6，當－1≤y≤5時等號成立． ∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3． 10．調(diào)運后各倉庫的存貨量都相等，應(yīng)為（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64噸． 設(shè)A庫運往B庫噸，B庫運往C庫噸，C庫運往D庫噸，D庫運往E庫噸，E庫運往F庫噸，F(xiàn)庫運往A庫噸，故有:50＋－＝84＋－＝80＋－＝70＋－＝55＋－＝45＋－＝64． 所以，＝－14，＝＋20＝＋6，＝＋16＝＋22，＝＋6＝＋28，＝－9＝＋19． 若使調(diào)運量最小，則有y＝||＋||＋||＋||＋||＋|| ＝||＋|－14|＋|＋6|＋|＋22|＋|＋28|＋|＋19|取最小值． 而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，當－19≤-6時，y有最小值，此時，-33-20，-130，316，922，013. 當=-19時，=-33, =-13，=3, =9, =0.即A庫運往B庫-33噸，亦即B庫運往A庫33噸.B庫運往C庫-13噸，亦即C庫運往B庫13噸.C庫運往D庫3噸，D庫運往E庫9噸，E庫運往F庫0噸，F(xiàn)庫運往A庫19噸，總調(diào)運量為77噸. 11.首先注意8個連續(xù)的點，例如0，1，2，3，4，5，6，7.從中可取前4個點0，1，2，3，其中任何兩個點的距離為4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一組只能選一個點，8個點中只能選出4個點，任何兩個點之間的距離都不等于4. 因為xx=4501+2，8501=4010.故當n=xx時，2n+1=4011.從左到右，每8個連續(xù)的點中取前4個點，剩下的3個點中取2個點，共取xx個點，任何兩點間的距離都不等于4. 另一方面，如果n≤2004，那么2n+1≤4009.從左到右，第8個連續(xù)點一組，至多502組，其中最后一組只有1個點.因此不論怎么取xx個點，前501組中總有一組取的點多于4個，從而有兩個點的距離為4. 綜上所述，n的最小值是xx.