七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題12 數(shù)余的擴(kuò)充試題 （新版）新人教版.doc

12 數(shù)余的擴(kuò)充 ———實(shí)數(shù)的概念與性質(zhì)閱讀與思考人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是在生活中不斷加深和發(fā)展的數(shù)系的每一次擴(kuò)張都源于實(shí)際生活的需要，在非負(fù)有理數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上引進(jìn)負(fù)數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴(kuò)張；但隨著人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中確實(shí)存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無(wú)理數(shù)在引人無(wú)理數(shù)的概念后，數(shù)系發(fā)展到實(shí)數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴(kuò)張. 理篇無(wú)理數(shù)是學(xué)好實(shí)數(shù)的關(guān)鍵，為此應(yīng)注意： 1. 把握無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)的形式（這里，是互質(zhì)的整數(shù)，且≠0）； 2．掌握無(wú)理數(shù)的表現(xiàn)形式：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，與π相關(guān)的數(shù)，開(kāi)方開(kāi)不盡得到的數(shù)等； 3. 有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算不具有封閉性，即兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù)； 4．明確無(wú)理數(shù)的真實(shí)性. 克菜因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作，音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切.”想一想：下列說(shuō)法是否正確？①帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)；②兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商一定還是無(wú)理數(shù)；③一個(gè)無(wú)理數(shù)乘以一個(gè)有理數(shù)，一定得無(wú)理數(shù)；④一個(gè)無(wú)理數(shù)的平方一定是有理數(shù).例題與求解【例1】 已知．則的平方根是________. （湖南省長(zhǎng)沙市“學(xué)用杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：運(yùn)用式子的非負(fù)性，求出，，的值．【例2】若，是實(shí)數(shù)，且．則的值是( ). A．3或－3 B．3或－1 C．－3或－1 D．3或1 （湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：由算術(shù)根的雙非負(fù)性，可得≥0，≥0，求出＝1．代入原式中可得＝2．由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的雙非負(fù)性： ①中≥0； ②≥0.運(yùn)用算術(shù)平方根的雙非負(fù)性是挖掘隱含條件的常用方法.【例3】 已知實(shí)數(shù)，，滿足等式，求的值． （北京市競(jìng)賽試題）解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，互為相反數(shù)，由算術(shù)平方根定義、性質(zhì)探尋解題的切入點(diǎn)．【例4】已知，是有理數(shù)，且，求，的值．解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于，的方程組.實(shí)數(shù)有以下常用性質(zhì)：①若，都是有理數(shù)，為無(wú)理數(shù)，且，則＝＝0;②若，，，都是有理數(shù)，，為無(wú)理數(shù)，且“，則＝，．要證一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，常證這個(gè)數(shù)能表示成幾個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個(gè)數(shù)為有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾. 想一想 怎樣證明是無(wú)理數(shù)？【例5】一個(gè)問(wèn)題的探究 問(wèn)題：設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足≠0．且. 求證： 在上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上，通過(guò)特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個(gè)問(wèn)題： (1)設(shè)，，為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：為 有理數(shù)．（2）設(shè)，求的整數(shù)部分.解題思路：從公式入手． 【例6】設(shè)，，，…，， 求的值（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）． （四川省成都市中考試題）解題思路：解答此題的關(guān)鍵是將變形為一個(gè)代數(shù)式的平臺(tái)。

能 力 訓(xùn) 練A 級(jí)1．在實(shí)數(shù)－4，，0，，，，中，共有_______個(gè)無(wú)理數(shù)． （貴州省貴陽(yáng)市中考試題）2．設(shè)，是的小數(shù)部分，則的值為_(kāi)___ . (xx年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)3．已知，則的值為_(kāi)______． （山東省濟(jì)南市中考試題）4．觀察下列各式：，，，猜測(cè)：________ . （遼寧省大連市中考試題） 5．已知有理數(shù)，，，滿足，，那么＝________.A. B. C. D. （xx年“實(shí)中杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）6．若，為實(shí)數(shù)，且，則的值為( )．A. 1 B．－1 C．2 D．－2 （天津市中考試題）7．一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是( )． A. B． C． D． （山東省濰坊市中考試題）8．若，則的值為( )．A．－1 B．1 C．2 D．3 （湖北省荊門市中考試題） 9．已知是的立方根，而是的相反數(shù)，且，求與的平方和的立方根．10.計(jì)算：． （廣西競(jìng)賽試題）11.若，滿足，求的取值范圍． （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）B 級(jí)1．與互為相反數(shù)，且．那么的值為_(kāi)___． （全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）2．若，則的值為_(kāi)______ ． （海南省競(jìng)賽試題）3．已知實(shí)數(shù)滿足，則＝_______ . 4．的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值為_(kāi)___． （廣東省競(jìng)賽試題）5．已知非零實(shí)數(shù)，滿足，則等于( )． A．－1 B．0 C．1 D．2 （“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）6．已知，，．則，，的大小關(guān)系是( )． A. B. C. D. 7．已知：，那么代數(shù)式的值為( )． A． B． C． D. （重慶市競(jìng)賽試題）8．下面有3個(gè)結(jié)論：①存在兩個(gè)不同的無(wú)理數(shù)，它們的差是整數(shù)；②存在兩個(gè)不同的無(wú)理數(shù)，它們的積是整數(shù)；③存在兩個(gè)不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù).其中，正確的結(jié)論有( )個(gè)． A.0 B．1 C．2 D．3 （江蘇省競(jìng)賽試題）9．已知是整數(shù)，求所有滿足條件的正整數(shù)的和． （“CASIO杯”武漢市競(jìng)賽試題）10.設(shè)，，，，都是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù). 求證：(1) 當(dāng)時(shí)，是有理數(shù)；(2) 當(dāng)時(shí)，是無(wú)理數(shù)．11.已知非零實(shí)數(shù)，滿足.求值． （“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）專題12數(shù)余的擴(kuò)充———實(shí)數(shù)的概念與性質(zhì)例1 土 提示：由條件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，則a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）b＝[2（一1）]－4＝，的平方根為土．；例2 B例3 由,得．∴m＋n＝199.∴，由非負(fù)數(shù)性質(zhì)，得解得p=201。

例4 已知等式整理，得 因?yàn)閍，b是有理數(shù)，所以且， 解得例5 =故，進(jìn)一步 .（1）可證明 （2）令x =1，y=n，得 S= 故S的整數(shù)部分為xx.例6 ∵ ∴ ∴原式=A級(jí)1. 22. 9 提示：，則b=, b+2= 故 3. 4. 5. B 提示：由題知， 則即， 故6. B7. B8. C9. 210. 原式== ===11. 由題中條件 ①3 + ②5 得 ①2 - ②3 得 又∵≥0，≥0，則 解得B組1. 提示：由條件，解得 故x2 + 2xy +1=2. 2 提示：由得，故有(x+1)+2x=7 ,所以x的值為2.3. xx 提示：由條件得：a≥xx，則，從而有： a2 - 2004 = xx4. 1 5. C 提示：由條件得：a≥3，則，a+b=16. C 提示：因?yàn)椋?，所?故ba，因此b0，8. D 舉例：，滿足①②；，滿足③9. 設(shè)，則b2 - a2 =xx，而xx = 5401,5,401均為質(zhì)數(shù)，a，b為正整數(shù)，∴或 解得a =1002或a=198，從而1002+198 = 1200. 10. (1)c、d不能同時(shí)為0，否則y無(wú)意義，若c=0，由bc=ad，d≠0，得a=0, 此時(shí)y=為有理數(shù)；若d=0，則C≠0，由bc=ad，得b=0，此時(shí)為有理數(shù)，若c≠0，且d≠0，由bc=ad，得，代入y得y為有理數(shù)．(2)假設(shè)bc≠ad時(shí)，y為有理數(shù)，則（cx+d)y=ax+b，即（cy－a)x+(dy－b)=0，因cy－a，dy－b為有理數(shù)，x為無(wú)理數(shù)，故有cy－a=0,dy－b=0，從而bc=cdy=(cy)d=ad，這與已知條件bc≠ad矛盾，從而y不是有理數(shù)，y一定是無(wú)理數(shù)．11．∵（a－3)b2≥0，∴a－3≥0，∴a≥3．原式可化為，即，解得a=3,b=－2，故a+b=3+(－2)=1．。