中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四單元 圖形的初步認識與三角形 方法技巧訓(xùn)練（一）與角平分線有關(guān)的基本模型練習(xí).doc

方法技巧訓(xùn)練（一） 與角平分線有關(guān)的基本模型 三角形中角平分線的夾角的計算 類型1　兩個內(nèi)角平分線的夾角 如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CF相交于點G，則∠BGC＝90＋∠A. 圖1 圖2 圖3 解題通法：三角形兩內(nèi)角的平分線的夾角等于90與第三個內(nèi)角的一半的和． 類型2　一個內(nèi)角平分線和一個外角平分線的夾角 如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP與CP相交于點P，則∠P＝∠A. 解題通法：三角形一內(nèi)角與另一外角的平分線的夾角等于第三個內(nèi)角的一半． 類型3　兩外角平分線的夾角 如圖3，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線，則∠O＝90－∠A. 解題通法：三角形兩外角的平分線的夾角等于90與第三個內(nèi)角的一半的差．Ｋ 1．如圖，在△ABC中，∠A＝40，點D是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，則∠BDC＝110． 【變式1】　若點D是∠ABC的平分線與∠ACB外角平分線的交點，則∠D＝20． 第1題圖 變式1圖 　　　 變式2圖 　　　變式3圖 【變式2】　若點D是∠ABC外角平分線與∠ACB外角平分線的交點，則∠D＝70． 【變式3】　如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD的平分線，BA3是∠A2BD的平分線，CA3是∠A2CD的平分線．若∠A1＝α，則∠A2 019＝． 與角平分線有關(guān)的圖形與輔助線 1．角平分線＋平行線→等腰三角形 如圖4，BD是∠ABC的平分線，點O是BD上一點，OE∥BC交AB于點E，則△BOE是等腰三角形． 解題通法：遇到角平分線及平行線，除了可以得到角度的關(guān)系，還可以得到一個等腰三角形． 2．與角平分線有關(guān)的輔助線 ①過角平分線上的點作角兩邊的垂線 如圖5，BO是∠ABC的平分線，過點O作OE⊥AB于點E，過點O作OF⊥BC于點F，則OE＝OF，△BEO≌△BFO. 圖4　　 圖5　　 圖6　　 圖7 ②角平分線的兩端過角的頂點取相等的兩條線段構(gòu)造全等三角形 如圖6，BO是∠ABC的平分線，在BA，BC上取線段BE＝BF，則△BEO≌△BFO. 解題通法：遇到角平分線時，我們通常過角平分線上的一點向兩邊作垂線或在角平分線的兩端取相等的線段構(gòu)造全等三角形． ③過角平分線上一點作角平分線的垂線，從而得到等腰三角形． 如圖7，BD是∠ABC的平分線，點E是BD上一點，過點E作BD的垂線，則△BGH是等腰三角形且BD垂直平分GH. 2.如圖，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作BC的平行線MN交AB于點M，交AC于點N，則△AMN的周長為(D) A．10 cm 　　　B．28 cm 　　　　　　C．20 cm 　　　　　　　　　D．18 cm 第2題圖　 第3題圖　　 第4題圖　　 第5題圖 3．(xx河北)如圖，點I為△ABC的內(nèi)心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，將∠ACB平移使其頂點與I重合，則圖中陰影部分的周長為(B) A．4.5 　　　B．4 　　　　　　C．3 　　　　　　　　　D．2 4．(xx大慶)如圖，∠B＝∠C＝90，M是BC的中點，OM平分∠ADC，且∠ADC＝110，則∠MAB＝(B) A．30 　　　B．35 　　　　　　C．45 　　　　　　　　　D．60 5．如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，則AC的長是16． 6.如圖，在△ABC中，∠A＝60，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于點O，試說明BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并加以說明． 解：BC＝BE＋CD.理由如下： 在BC上取點G，使得CG＝CD. ∵∠BOC＝180－(∠ABC＋∠ACB)＝180－(180－60)＝120， ∴∠BOE＝∠COD＝60. ∵BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB， ∴∠EBO＝∠GBO，∠OCG＝∠OCD. 在△COD和△COG中， ∴△COD≌△COG(SAS)．∠COG＝∠COD＝60. ∴∠BOG＝120－60＝60＝∠BOE. 在△BOE和△BOG中， ∴△BOE≌△BOG(ASA)．∴BE＝BG.∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC. 7．感知：如圖1，AD平分∠BAC.∠B＋∠C＝180，∠B＝90，易知：DB＝DC. 探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180，∠ABD＜90，求證：DB＝DC. 應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＝45，∠C＝135，DB＝DC＝a，則AB－AC＝a(用含a的代數(shù)式表示) ,圖1)　　　　,圖2)　　　　,圖3) 證明：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. ∵∠B＋∠ACD＝180，∠ACD＋∠FCD＝180，∴∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DC＝DB.