中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四單元 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 方法技巧訓(xùn)練（一）與角平分線(xiàn)有關(guān)的基本模型練習(xí).doc

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方法技巧訓(xùn)練（一） 與角平分線(xiàn)有關(guān)的基本模型 三角形中角平分線(xiàn)的夾角的計(jì)算 類(lèi)型1　兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的夾角 如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)BE，CF相交于點(diǎn)G，則∠BGC＝90＋∠A. 圖1 圖2 圖3 解題通法：三角形兩內(nèi)角的平分線(xiàn)的夾角等于90與第三個(gè)內(nèi)角的一半的和． 類(lèi)型2　一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)和一個(gè)外角平分線(xiàn)的夾角 如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP與CP相交于點(diǎn)P，則∠P＝∠A. 解題通法：三角形一內(nèi)角與另一外角的平分線(xiàn)的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半． 類(lèi)型3　兩外角平分線(xiàn)的夾角 如圖3，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線(xiàn)，則∠O＝90－∠A. 解題通法：三角形兩外角的平分線(xiàn)的夾角等于90與第三個(gè)內(nèi)角的一半的差．Ｋ 1．如圖，在△ABC中，∠A＝40，點(diǎn)D是∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則∠BDC＝110． 【變式1】　若點(diǎn)D是∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACB外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則∠D＝20． 第1題圖 變式1圖 　　　 變式2圖 　　　變式3圖 【變式2】　若點(diǎn)D是∠ABC外角平分線(xiàn)與∠ACB外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則∠D＝70． 【變式3】　如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn)，BA2是∠A1BD的平分線(xiàn)，CA2是∠A1CD的平分線(xiàn)，BA3是∠A2BD的平分線(xiàn)，CA3是∠A2CD的平分線(xiàn)．若∠A1＝α，則∠A2 019＝． 與角平分線(xiàn)有關(guān)的圖形與輔助線(xiàn) 1．角平分線(xiàn)＋平行線(xiàn)→等腰三角形 如圖4，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，點(diǎn)O是BD上一點(diǎn)，OE∥BC交AB于點(diǎn)E，則△BOE是等腰三角形． 解題通法：遇到角平分線(xiàn)及平行線(xiàn)，除了可以得到角度的關(guān)系，還可以得到一個(gè)等腰三角形． 2．與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn) ①過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作角兩邊的垂線(xiàn) 如圖5，BO是∠ABC的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，則OE＝OF，△BEO≌△BFO. 圖4　　 圖5　　 圖6　　 圖7 ②角平分線(xiàn)的兩端過(guò)角的頂點(diǎn)取相等的兩條線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形 如圖6，BO是∠ABC的平分線(xiàn)，在BA，BC上取線(xiàn)段BE＝BF，則△BEO≌△BFO. 解題通法：遇到角平分線(xiàn)時(shí)，我們通常過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)或在角平分線(xiàn)的兩端取相等的線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形． ③過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，從而得到等腰三角形． 如圖7，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作BD的垂線(xiàn)，則△BGH是等腰三角形且BD垂直平分GH. 2.如圖，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，則△AMN的周長(zhǎng)為(D) A．10 cm 　　　B．28 cm 　　　　　　C．20 cm 　　　　　　　　　D．18 cm 第2題圖　 第3題圖　　 第4題圖　　 第5題圖 3．(xx河北)如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，將∠ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為(B) A．4.5 　　　B．4 　　　　　　C．3 　　　　　　　　　D．2 4．(xx大慶)如圖，∠B＝∠C＝90，M是BC的中點(diǎn)，OM平分∠ADC，且∠ADC＝110，則∠MAB＝(B) A．30 　　　B．35 　　　　　　C．45 　　　　　　　　　D．60 5．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，則AC的長(zhǎng)是16． 6.如圖，在△ABC中，∠A＝60，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于點(diǎn)O，試說(shuō)明BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明． 解：BC＝BE＋CD.理由如下： 在BC上取點(diǎn)G，使得CG＝CD. ∵∠BOC＝180－(∠ABC＋∠ACB)＝180－(180－60)＝120， ∴∠BOE＝∠COD＝60. ∵BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB， ∴∠EBO＝∠GBO，∠OCG＝∠OCD. 在△COD和△COG中， ∴△COD≌△COG(SAS)．∠COG＝∠COD＝60. ∴∠BOG＝120－60＝60＝∠BOE. 在△BOE和△BOG中， ∴△BOE≌△BOG(ASA)．∴BE＝BG.∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC. 7．感知：如圖1，AD平分∠BAC.∠B＋∠C＝180，∠B＝90，易知：DB＝DC. 探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180，∠ABD＜90，求證：DB＝DC. 應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＝45，∠C＝135，DB＝DC＝a，則AB－AC＝a(用含a的代數(shù)式表示) ,圖1)　　　　,圖2)　　　　,圖3) 證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. ∵∠B＋∠ACD＝180，∠ACD＋∠FCD＝180，∴∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DC＝DB.