九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.5 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系同步練習(xí)1 華東師大版.doc

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根與系數(shù)的關(guān)系 1.已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足：，則m的值是（ ） A．3 B．1 C．3或－1 D．－3或1 2.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且x1，x2滿(mǎn)足x1+x2－x1x2<－1，則k的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ） 3.設(shè)方程x2+x－2＝0的兩個(gè)根分別為α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于（ ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 4.已知α，β是方程x2－5x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+αβ+β2的值是（ ） A．－1 B．9 C．23 D．27 5.有兩個(gè)一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ） A．如果方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．如果方程M有兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同 C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根 D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x＝1 6.若關(guān)于x的一元二次方程x2－(a+5)x+8a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和b，則ab＝_____________. 7.已知一元二次方程x2－6x－5＝0的兩根分別為a，b，則a－1+b－1＝_____________. 8.已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－3x+a＝0的兩個(gè)解，若(m－1)(n－1)＝－6，則a的值為_(kāi)____________. 9.設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+5x－4＝0的兩個(gè)根，若，則m＝_____________. 10.（一題多法）已知方程2x2+mx－4＝0的一根為－2，求它的另一根和m的值. 11.已知關(guān)于x的方程x2－2(k－1)x+k2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2. （1）求k的取值范圍； （2）若，求k的值. 12.已知一元二次方程x2+3x－1＝0的兩根分別是x1，x2，請(qǐng)利用根與系數(shù)的關(guān)系求： （1）；（2）. 13.已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （1）是否存在實(shí)數(shù)a，使－x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由. （2）求使(x1+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值. 14.已知兩個(gè)數(shù)的和為10，積為8，求這兩個(gè)數(shù). 15.已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4x2+4(m－1)x+m2＝0的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)：x1和x2能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的m的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由. 參考答案 1.A 解析 易得α+β＝－(2m+3)，αβ＝m2， ∴，即m2－2m－3＝0， ∴由解得m＝3. 2.C 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝－2，x1x2＝k+1. ∵x1+x2－x1x2<－1，∴－2－k－1<－1，解得k>－2. ∵方程有實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac≥0，即22－41(k+1)≥0，解得k≤0，∴－20，即b2－4ac>0，而此時(shí)方程N(yùn)的根的判別式?＝b2－4ac>0，故它也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.B選項(xiàng)中方程M的兩根符號(hào)相同，即，而方程N(yùn)的兩根之積，也大于0，故方程N(yùn)的兩個(gè)根也是同號(hào)的.C選項(xiàng)中如果5是方程M的一個(gè)根，則有25a+5b+c＝0①，我們只需要考慮將代入方程N(yùn)看是否成立即可，代入得②，比較①與②，可知②式是由①式兩邊同時(shí)除以25得到的，故②式成立.D選項(xiàng)中設(shè)方程M和方程N(yùn)的一個(gè)相同的根為x0，則有，整理，得，即.因?yàn)閍x2+bx+c＝0是一元二次方程，所以a≠0，所以，所以x0＝1，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選擇D． 6.4 解析 把x＝2代入方程x2－(a+5)x+8a＝0得4－2(a+5)+8a＝0，解得a＝1，根據(jù)x1+x2＝a+5可得2+b＝a+5＝6，所以b＝4，故ab＝4. 7. 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b＝6，ab＝－5， ∴. 8.－4 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n＝3，mn＝A． ∵(m－1)(n－1)＝－6，∴mn－m－n+1＝－6，即mn－(m+n)＝－7，∴a－3＝－7，解得a＝－4. 9.10 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝－5，x1x2＝－4. ∵，∴，∴－8x2－48－8x1+m＝2，∴－8(x1+x2)－48+m＝2，∴40－48+m＝2，解得m＝10. 10.解法1：將方程的根x＝－2代入方程，得 2(－2)2+m(－2)－4＝0，∴m＝2. 將m＝2代入原方程得2x2+2x－4＝0， 即x2+x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1. 即方程的另一根為1. 解法2：設(shè)方程的另一根為x1， 則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 ，， 解得x1＝1，m＝2. 11.分析：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得?＝b2－4ac≥0，據(jù)此可求出k的取值范圍；（2）結(jié)合（1）中k的取值范圍去掉的絕對(duì)值號(hào)，可得出k的值. 解：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得?＝b2－4ac＝4(k－1)2－4k2≥0，解得. （2）依題意可得，x1+x2＝2(k－1)，由（1）可知，∴2(k－1)<0.由，得－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1（舍去），k2＝－3，∴k的值是－3. 12.解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2＝－3，x1x2＝－1. （1）. （2）. 點(diǎn)撥：若方程x2+px+q＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2＝－p，x1x2＝q.分別對(duì)和進(jìn)行恒等變形，將它們分別化為含有x1+x2和x1x2的代數(shù)式，然后求解. 13.思路建立 （1）要求判斷符合題意的a的值是否存在，需先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用含a的式子分別表示出x1+x2和x1x2，假設(shè)－x1+x1x2＝4+x2成立，將其變形，把其中的x1x2及x1+x2用含a的代數(shù)式表示出來(lái)，得到關(guān)于a的方程，解方程即可；（2）先將式子變形為x1x2+(x1+x2)+1，再把x1+x2和x1x2用含a的式子表示后根據(jù)題意討論，從而得到a的值. 解：（1）存在.∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴由根與系數(shù)的關(guān)系可知，，. ∵一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴?＝4a2－4(a－6)a≥0，且a－6≠0， 解得a≥0且a≠6. ∵－x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+(x1+x2)， 即，解得a＝24， ∴存在實(shí)數(shù)a，使－x+x1x2＝4+x2成立，a的值是24. （2）∵，∴當(dāng)(x1+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)且a為整數(shù)時(shí)，有a－6＝6，a－6＝3，a－6＝2，a－6＝1，∴a＝12，9，8，7， ∴使(x1+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值有12，9，8，7. 14.思路建立 要求出這兩個(gè)數(shù)，我們可以設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x1和x2，則有x1+x2＝10，x1x2＝8，再逆用一元二次方程根與系 數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出相應(yīng)的一元二次方程，然后解方程即可. 解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x1和x2，則有x1+x2＝10，x1x2＝8， 所以以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程為x2－10x+8＝0， 解這個(gè)方程得， . 答：這兩個(gè)數(shù)分別為和. 點(diǎn)撥：本題也可以先設(shè)一個(gè)未知數(shù)，然后列一元二次方程求解. 15.思路建立 求兩根同號(hào)時(shí)m的取值范圍，首先應(yīng)根據(jù)方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，得到?≥0，且m2≠0，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的不等式組，從而求得m的取值范圍. 解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程4x2+4(m－1)x+m2＝0有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，則有： ?＝[4(m－1)]2－44m2＝－32m+16≥0，且m2≠0， ∴，且m≠0. 又x1，x2是方程4x2+4(m－1)x+m2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 得x1+x2＝－(m－1)，. 假設(shè)x1，x2同號(hào)，則有兩種可能：x1<0，x2<0；x1>0，x2>0. （1）若x1<0，x2<0，則有即. 解這個(gè)不等式組，得m>1. ∵且m≠0時(shí)方程才有實(shí)數(shù)根， ∴此種情況不成立. （2）若x1>0，x2>0，則有即 解這個(gè)不等式組，得m<1. 又∵且m≠0，∴當(dāng)且m≠0時(shí)，兩根能同號(hào).