高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修21

第三課空間向量與立體幾何核心速填1空間向量的有關(guān)定理和推論(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)共線向量定理的推論：若，不共線，則P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件是，且1.(3)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得pxayb.(4)共面向量定理的推論：已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是xyz(其中xyz1)(5)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，其中a，b，c叫做空間的一個基底2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)重要結(jié)論：ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.3模、夾角和距離公式(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|；cosa，b.(2)設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB|.4空間向量的結(jié)論與線面位置關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系(1)設(shè)直線l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，則luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)(2)設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為u，v，則lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.5空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角滿足cos |cosm1，m2|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面的夾角滿足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大?。?)如圖31，AB，CD是二面角l的兩個半平面，內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，圖31()如圖31，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2體系構(gòu)建題型探究空間向量的基本概念及運(yùn)算如圖32，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：圖320；0；0；0.其中正確結(jié)論的序號是_解析容易推出0，所以正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正確，其余三個都不正確，故正確結(jié)論的序號是.答案規(guī)律方法1.空間向量的線性運(yùn)算包括加、減及數(shù)乘運(yùn)算，選定空間不共面的三個向量作為基向量，并用它們表示出目標(biāo)向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求，解題時可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運(yùn)算法則表示所需向量2空間向量的數(shù)量積(1)空間向量的數(shù)量積的定義表達(dá)式ab|a|b|cosa，b及其變式cosa，b是兩個重要公式(2)空間向量的數(shù)量積的其他變式是解決立體幾何問題的重要公式，如a2|a|2，a在b上的投影|a|cos 等跟蹤訓(xùn)練1.如圖33，已知ABCDABCD是平行六面體設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCCB對角線BC上的分點(diǎn)，設(shè)，則_.圖33連接BD，則M為BD的中點(diǎn)，()()()().，.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，則x()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)(2)已知向量a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，ab，bC求向量a，b，c；求ac與bc所成角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：46342183】解析(1)由bx2a得x4a2b，又4a2b4(2,3，4)2(4，3，2)(0,6，20)，所以x(0,6，20)答案B(2)向量a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，且ab，bc，解得向量a(1,1,2)，b(1，1，2)，c(3,1,1)ac(2,2,3)，bc(4,0，1)，(ac)(bc)24203(1)5，|ac|，|bc|，ac與bc所成角的余弦值為.規(guī)律方法熟記空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)加減運(yùn)算：ab(x1x2，y1y2，z1z2).(2)數(shù)量積運(yùn)算：abx1x2y1y2z1z2.(3)向量夾角：cosa，b.(4)向量長度：設(shè)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，則|.提醒：在利用坐標(biāo)運(yùn)算公式時注意先對向量式子進(jìn)行化簡再運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC一定是()A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D等腰直角三角形C(3,4，8)，(5,1，7)，(2，3,1)，|，|，|，|2|2|2，ABC一定為直角三角形利用空間向量證明平行、垂直問題在四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M為PC的中點(diǎn)(1)求證：BM平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由思路探究(1)證明向量垂直于平面PAD的一個法向量即可；(2)假設(shè)存在點(diǎn)N，設(shè)出其坐標(biāo)，利用，列方程求其坐標(biāo)即可解以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，(1)證明：(0,1,1)，平面PAD的一個法向量為n(1,0,0)，n0，即n，又BM平面PAD，BM平面PAD(2)(1,2,0)，(1,0，2)，假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD設(shè)N(0，y，z)，則(1，y1，z1)，從而MNBD，MNPB，即N，在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD規(guī)律方法利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系(1)線線平行：證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量(2)線線垂直：證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直(3)線面平行：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線向量線性表示(4)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量平行；利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題(5)面面平行：證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題(6)面面垂直：證明兩個平面的法向量互相垂直；轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題跟蹤訓(xùn)練3如圖34，長方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D圖34(1)求證：A1C平面AMN.(2)當(dāng)AB2，AD2，A1A3時，問在線段AA1上是否存在一點(diǎn)P使得C1P平面AMN，若存在，試確定P的位置. 【導(dǎo)學(xué)號：46342184】解(1)證明：因為CB平面AA1B1B，AM平面AA1B1B，所以CBAM，又因為AMA1B，A1BCBB，所以AM平面A1BC，所以A1CAM，同理可證A1CAN，又AMANA，所以A1C平面AMN.(2)以C為原點(diǎn)，CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為AB2，AD2，A1A3，所以C(0,0,0)，A1(2,2,3)，C1(0,0,3)，(2,2,3)，由(1)知CA1平面AMN，故平面AMN的一個法向量為(2,2,3)設(shè)線段AA1上存在一點(diǎn)P(2,2，t)，使得C1P平面AMN，則(2,2，t3)，因為C1P平面AMN，所以443t90，解得t.所以P，所以線段AA1上存在一點(diǎn)P，使得C1P平面AMN.利用空間向量求空間角如圖35，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CDBE，O為BC的中點(diǎn)將ADE沿DE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐ABCDE，其中AO.(1)(2)圖35(1)證明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值思路探究(1)利用勾股定理可證AOOD，AOOE，從而證得AO平面BCDE；(2)用“三垂線”法作二面角的平面角后求解或用向量法求兩個平面的法向量的夾角解(1)證明：由題意，得OC3，AC3，AD2.如圖，連接OD，OE，在OCD中，由余弦定理，得OD.由翻折不變性，知AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD同理可證AOOE.又因為ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)如圖，過點(diǎn)O作OHCD交CD的延長線于點(diǎn)H，連接AH.因為AO平面BCDE，OHCD，所以AHCD所以AHO為二面角ACDB的平面角結(jié)合圖(1)可知，H為AC的中點(diǎn)，故OH，從而AH.所以cosAHO.所以二面角ACDB的平面角的余弦值為.規(guī)律方法 用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為0<90，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求這個平面的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3)二面角：如圖36，有兩個平面與，分別作這兩個平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先應(yīng)判斷二面角是銳角還是鈍角圖36跟蹤訓(xùn)練4在如圖37所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線圖37(1)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH平面ABC(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：46342185】解(1)證明：設(shè)CF的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.在CEF中，因為點(diǎn)G，I分別是CE，CF的中點(diǎn)，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB在CFB中，因為H，I分別是FB，CF的中點(diǎn)，所以HIBC又HIGII，BCOBB，所以平面GHI平面ABC因為GH平面GHI，所以GH平面ABC(2)連接OO，則OO平面ABC又ABBC，且AC是圓O的直徑，所以BOAC以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得B(0,2，0)，C(2，0,0)過點(diǎn)F作FMOB于點(diǎn)M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)設(shè)m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一個法向量m.因為平面ABC的一個法向量n(0,0,1)，所以cosm，n，所以二面角FBCA的余弦值為.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375