高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹證明 2.1.2 演繹推理學(xué)案 新人教A版選修12

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1、 2.1.2　演繹推理 學(xué)習(xí)目標：1.理解演繹推理的含義．(重點)2.掌握演繹推理的模式，會利用三段論進行簡單的推理．(重點、易混點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．演繹推理 (1)含義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理． (2)特點：演繹推理是由一般到特殊的推理． 2．三段論 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情況 S是M 結(jié)論 根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷 S是P 思考：如何分清大前提、小前提和結(jié)論？ [提示]在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的

2、是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題中的思考是一樣的，即先指出一般情況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義．例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有一般意義． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)“三段論”就是演繹推理． (　　) (2)演繹推理的結(jié)論是一定正確的． (　　) (3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理． (　　) (4)演繹推理得到結(jié)論的正確與否與大前提、小前提和推理形式有關(guān)． (　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√ 2．“四邊

3、形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”，補充該推理的大前提是(　　) A．正方形的對角線相等 B．矩形的對角線相等 C．等腰梯形的對角線相等 D．矩形的對邊平行且相等 B　[得出“四邊形ABCD的對角線相等”的大前提是“矩形的對角線相等”．] 3．三段論： “①小宏在2018年的高考中考入了重點本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常發(fā)揮就能考入重點本科院校；③小宏在2018年的高考中正常發(fā)揮”中，“小前提”是________(填序號)． ③　[在這個推理中，②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論．] 4．下列幾種推理過程是演繹推理的是________． ①兩條平

4、行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯角相等，如果∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯角，則∠A＝∠B；②金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電；③由圓的性質(zhì)推測球的性質(zhì)；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇． ①　[①是演繹推理；②是歸納推理；③④是類比推理．] [合 作 探 究攻 重 難] 演繹推理與三段論 (1)下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是(　　) A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù) B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限

5、不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) (2)將下列推理寫成“三段論”的形式： ①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； ②0.33是有理數(shù)； ③y＝sin x(x∈R)是周期函數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：48662057】 (1)[解析]　對于A，小前提與大前提間邏輯錯誤，不符合演繹推理三段論形式；對于B，符合演繹推理三段論形式且推理正確；對于C，大小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對于D，大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式． [答案]　B (2)[解]?、俅笄疤幔合蛄渴羌扔写?/p>

6、小又有方向的量． 小前提：零向量是向量． 結(jié)論：零向量也有大小和方向． ②大前提：所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)． 小前提：0.33是循環(huán)小數(shù)． 結(jié)論：0.33是有理數(shù)． ③大前提：三角函數(shù)是周期函數(shù)． 小前提：y＝sin x(x∈R)是三角函數(shù)． 結(jié)論：y＝sin x(x∈R)是周期函數(shù)． [規(guī)律方法]　把演繹推理寫成“三段論”的一般方法： (1)用“三段論”寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系. (2)在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結(jié)論成立的

7、充分條件作為大前提. [跟蹤訓(xùn)練] 1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理中“三段論”中的________是錯誤的． 小前提　[f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，故小前提錯誤．] 2．將下列演繹推理寫成三段論的形式． ①平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分； ②等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，則∠A＝∠B； ③通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． [解]?、俅笄疤幔浩叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分，小前提：菱形是平行四邊形， 結(jié)論：

8、菱形的對角線互相平分． ②大前提：等腰三角形的兩底角相等， 小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角， 結(jié)論：∠A＝∠B. ③大前提：數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列， 小前提：通項公式為an＝2n＋3時，若n≥2， 則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))， 結(jié)論：通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 用三段論證明幾何問題 　如圖2111所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：DE＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理. 【導(dǎo)學(xué)號：48662058】

9、 2111 [解]　(1)同位角相等，兩直線平行，(大前提) ∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提) 所以DF∥AE.(結(jié)論) (2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提) DE∥BA且DF∥EA，(小前提) 所以四邊形AFDE為平行四邊形．(結(jié)論) (3)平行四邊形的對邊相等，(大前提) DE和AF為平行四邊形的對邊，(小前提) 所以DE＝AF.(結(jié)論) [規(guī)律方法]　 1．用“三段論”證明命題的格式 　　(大前提) 　　(小前提) 　　(結(jié)論) 2．用“三段論”證明命題的步驟 ①理清楚證明命題的一般思路； ②找出每一個結(jié)論得出的原因

10、； ③把每個結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來． [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖2112所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點．求證：EF∥平面BCD. 圖2112 [證明]　三角形的中位線平行于底面，大前提 點E、F分別是AB、AD的中點，小前提 所以EF∥BD.結(jié)論 若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線， 則這條直線與此平面平行，大前提 EF平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提 EF∥平面BCD.結(jié)論 用三段論證明代數(shù)問題 [探究問題] 1．數(shù)的大小比較常見方法有哪些？ 提示：作差法、作比法、函數(shù)性質(zhì)法(單調(diào)性、奇偶性等)、圖象

11、法、中間量法(常取0或1作為媒介)等． 2．證明函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是什么？試以函數(shù)單調(diào)性給予說明． 提示：證明函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)定義及有關(guān)的知識原理。如函數(shù)單調(diào)性的證明常依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系給予證明． 3．判斷數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的依據(jù)是什么？ 提示：判斷數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的依據(jù)是等差(等比)數(shù)列的定義． 　(1)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　　) A．2x<3y<5z　　　 B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z (2)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a

12、>1)，證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：48662059】 思路探究：(1)借助于指對互化及不等式大小的比較方法求解；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)法求解． (1)[解析]　法一：取對數(shù)：xln 2＝y(tǒng)ln 3＝zln 5，＝>，∴2x>3y； xln 2＝zln 5則＝<，∴2x<5z， ∴3y<2x<5z，故選D. 法二：令2x＝3y＝5z＝k，則x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k. ∴＝＝>1，則2x>3y ＝＝<1，則2x<5z，故選D. [答案]　D (2)[解]　法一：(定義法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)， 且x1

13、2， 則f(x2)－f(x1) ＝ax2＋－ax1－ ＝ax2－ax1＋－ ＝ax1(ax2－x1－1)＋ ＝ax1(ax2－x1－1)＋. 因為x2－x1>0，且a>1， 所以ax2－x1>1， 而－10，x2＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0， 所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 法二：(導(dǎo)數(shù)法)f(x)＝ax＋＝ax＋1－. 所以f′(x)＝axln a＋. 因為x>－1，所以(x＋1)2>0， 所以>0. 又因為a>1，所以ln a>0，ax>0， 所以axln a>0.所以f′(x)>0. 于是得f(x)

14、＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．] 母題探究：1.(變條件)把本例(1)的條件變換如下： 已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，則a，b，c的關(guān)系是(　　) A．成等差數(shù)列但不成等比數(shù)列 B．成等差數(shù)列且成等比數(shù)列 C．成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列 D．不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 [解析]　由條件可知a＝log2 3， b＝log2 6，c＝log2 12. 因為a＋c＝log2 3＋log2 12 ＝log2 36＝2log2 6＝2b， 所以a，b，c成等差數(shù)列． 又因為ac＝log2 3log2 12≠(log2 6)2＝b2， 所以a，b，c不成等比數(shù)列．故選A

15、. [答案]　A 2．(變條件)把本例(2)的函數(shù)換成“y＝”，求證：函數(shù)y＝是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)． [證明]　y＝＝1－， 所以f(x)的定義域為R. f(－x)＋f(x)＝＋ ＝2－＝2－ ＝2－＝2－2＝0. 即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函數(shù)． 任取x1，x2∈R，且x1

16、 (2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等. (3)三角函數(shù)問題：利用三角函數(shù)公式進行三角恒等變換，證明三角恒等式. (4)數(shù)列問題：數(shù)列的通項公式，前n項和公式的應(yīng)用，證明等差數(shù)列和等比數(shù)列. (5)不等式類問題：如不等式恒成立問題，線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用問題. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．平行于同一直線的兩直線平行，因為a∥b，b∥c，所以a∥c，這個推理稱為(　　) A．合情推理　　　　 B．歸納推理 C．類比推理 D．演繹推理 D　[本題的推理模式是三段論，故該推理是演繹推理．] 2．三段論①只有船準時

17、起航，才能準時到達目的港；②這艘船是準時到達目的港的；③這艘船是準時起航的，其中大前提是 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號：48662060】 A．①　　B．②　　C．①②　　D．③ A　[根據(jù)三段論的定義，①為大前提，③為小前提，②為結(jié)論，故選A.] 3．若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，小前提是：a∈R，結(jié)論是：a2＞0，那么這個演繹推理出錯在(　　) A．大前提 B．小前提 C．推理過程 D．沒有出錯 A　[要分析一個演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提、小前提和結(jié)論及推理形式是否都正確，若這幾個方面都正確，才能得到這個演繹推理正確．因為任何實數(shù)的平方都大于0，又因為a是實數(shù)，

18、所以a2＞0，其中大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，它是不正確的．] 4．函數(shù)y＝2x＋5的圖象是一條直線，用三段論表示為： 大前提：________. 小前提：________________. 結(jié)論：________________. 一次函數(shù)的圖象是一條直線　 y＝2x＋5是一次函數(shù)　　函數(shù)y＝2x＋5的圖象是一條直線　[本題忽略了大前提和小前提．大前提為：一次函數(shù)的圖象是一條直線．小前提為：函數(shù)y＝2x＋5為一次函數(shù)．結(jié)論為：函數(shù)y＝2x＋5的圖象是一條直線．] 5. 用三段論證明：直角三角形兩銳角之和為90. 【導(dǎo)學(xué)號：48662061】 [證明]　因為任意三角形內(nèi)

19、角之和為180(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)， 所以直角三角形內(nèi)角之和為180(結(jié)論)． 設(shè)直角三角形兩個銳角分別為∠A、∠B，則有∠A＋∠B＋90＝180，因為等量減等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90)－90＝180－90(小前提)，所以∠A＋∠B＝90(結(jié)論)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375