高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何專題強化訓練 新人教A版選修21

第三章 空間向量與立體幾何專題強化訓練(三)(建議用時：45分鐘)基礎達標練一、選擇題1如圖38，在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點，則下列各式中成立的是()圖38A0B0C0D0B，易證四邊形EFGH為平行四邊形，故0，故選B2已知a(1,2,3)，b(2,1,2)，c(1,1,2)，且向量pc，則當(pa)(pb)取得最小值時，向量p的坐標為()ABC DC設pc，則paca(1，2,23)，pbcb(2，1,22)，所以(pa)(pb)2(3285)2，所以當時，(pa)(pb)取得最小值，此時pc，故選C3已知平面，是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結論：若n1n2，則；若n1n2，則；若n1n20，則；若n1n20，則.其中正確的是()ABCDA由平面的法向量的定義知，正確4已知平面的一個法向量為n(1，1,0)，則y軸與平面所成的角的大小為()A B C DBy軸的一個方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y軸與平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.5如圖39，已知E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC的中點，設為二面角D1AED的平面角，則cos () 【導學號：46342186】圖39A BCDA以A為坐標原點，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系(圖略)，令正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則A(0,0,0)，E(2,1,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，所以(2,1,0)，(0,2,2)，設平面AED1的法向量為m(x，y，z)，則由，得，令x1，則y2，z2，故m(1，2,2)又(0,0,2)為平面AED的一個法向量，為二面角D1AED的平面角，所以cos ，故選A二、填空題6已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，則xy_.1或3由a(2,4，x)且|a|6，得6，x4，由ab，得44y2x0，得或，則xy1或3.7在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為_設平面xOz的法向量為n(0，t,0)(t0)，(1,3, )，所以cosn，因為n，0，所以sinn，.8已知空間三點O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，若直線OA上的一點H滿足BHOA，則點H的坐標為_. 【導學號：46342187】設H(x，y，z)，則(x，y，z)，(x，y1，z1)，(1,1,0)因為BHOA，所以0，即xy10，又點H在直線OA上，所以，即，聯(lián)立解得所以點H的坐標為.三、解答題9如圖310，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結論圖310解在棱C1D1上存在點F，當F為C1D1的中點時，B1F平面A1BE.證明如下：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設正方體的棱長為2，則B(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，(2,2,1)，(2,0,2)設平面A1BE的法向量為m(x，y，z)，則m2x2yz0，且m2x2z0，取x1，則z1，y，m是平面A1BE的一個法向量假設在棱C1D1上存在一點F，使B1F平面A1BE，設F(x0,2,2)(0x02)，則(x02,2,0)，則mx022100，解得x01，當F為C1D1的中點時，B1F平面A1BE.10如圖311，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點圖311(1)求證：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的余弦值的大小. 【導學號：46342188】解(1)取BC的中點O，連接AO.ABC為正三角形，AOBC在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系則B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)2200，1430，AB1平面A1BD(2)設平面A1AD的法向量為n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)，即，令z1，得n(，0,1)為平面A1AD的一個法向量由(1)知AB1平面A1BD，為平面A1BD的一個法向量cosn，二面角AA1DB的余弦值為.能力提升練1在空間四邊形ABCD中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為()A(2,3,3)B(2，3，3)C(5，2,1)D(5,2，1)B取AC中點M，連接ME，MF(圖略)，則， 所以(2，3，3)，故選B2如圖312，正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面內的投影，P為側棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC的夾角是()圖312A30B45C60D75A如圖，以O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz.設ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，則(2a,0,0)，(a，a,0)，設平面PAC的一個法向量為n，可取n(0,1,1)，則cos，n，所以，n60，所以直線BC與平面PAC的夾角為906030.3已知向量e1，e2，e3是三個不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，則_. 【導學號：46342189】1因為a，b，c共面，所以存在實數(shù)m，n，使得cmanb，則11e15e2e3(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，則，解得.4已知平面經(jīng)過點A(0,0,2)，且平面的一個法向量為n(1，1，1)，則x軸與平面的交點坐標是_(2,0,0)設交點為M(x,0,0), 則(x,0，2)，平面的一個法向量n(1，1，1)，則n0，解得x2，故x軸與平面的交點坐標是(2,0,0)5如圖313，在三棱錐ABCD中，側面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個側面ABC是等邊三角形圖313(1)求證：ADBC(2)在線段AC上是否存在一點E，使直線ED與平面BCD的夾角為30？若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由解(1)作AH平面BCD于點H，連接BH，CH，DH，則四邊形BHCD是正方形，且AH1.以D為坐標原點，DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立空間直角坐標系，如圖則D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，0，則ADBC(2)存在滿足條件的點E，點E到點C的距離為1.設E(x，y，z)，則xz>0，y1.又平面BCD的一個法向量為n(0,0,1)，(x,1，x)，若ED與平面BCD的夾角為30，則與n的夾角為60，cos，ncos 60，則2x，解得x或x(舍去)，即E.又|1，故線段AC上存在滿足條件的點E，點E到點C的距離為1.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375