高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何專題強化訓練 新人教A版選修21

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1、 第三章 空間向量與立體幾何 專題強化訓練(三) (建議用時：45分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1．如圖38，在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點，則下列各式中成立的是(　　) 圖38 A．＋＋＋＝0 B．＋＋＋＝0 C．＋＋＋＝0 D．－＋＋＝0 B　[＋＝＋＝，＋＝，易證四邊形EFGH為平行四邊形，故＋＝0，故選B．] 2．已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，則當(p－a)(p－b)取得最小值時，向量p的坐標為(　　) A．　　 B． C． D．

2、C　[設p＝λc，則p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)，所以(p－a)(p－b)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2，所以當λ＝時，(p－a)(p－b)取得最小值，此時p＝λc＝，故選C．] 3．已知平面α，β是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結論： ①若n1∥n2，則α∥β； ②若n1∥n2，則α⊥β； ③若n1n2＝0，則α⊥β； ④若n1n2＝0，則α∥β. 其中正確的是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ A　[由平面的法向量的定義知，①③正確．] 4．已知平面α的一個法向量為n＝(

3、1，－1,0)，則y軸與平面α所成的角的大小為(　　) A．　 　B． C．　 　D． B　[y軸的一個方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y軸與平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.] 5．如圖39，已知E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC的中點，設α為二面角D1AED的平面角，則cos α＝(　　) 【導學號：46342186】 圖39 A．　 B．　　　C．　　　D． A　[以A為坐標原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系(圖略)，令正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則A(0,0,0)，E(2,1,0)

4、，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，所以＝(2,1,0)，＝(0,2,2)，設平面AED1的法向量為m＝(x，y，z)，則由，得，令x＝1，則y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．又＝(0,0,2)為平面AED的一個法向量，α為二面角D1AED的平面角，所以cos α＝＝，故選A．] 二、填空題 6．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y＝________. 1或－3　[由a＝(2,4，x)且|a|＝6，得6＝，x＝4，由a⊥b，得4＋4y＋2x＝0，得或，則x＋y＝1或－3.] 7．在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(1，－2,0)

5、，B(2,1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為________． 　[設平面xOz的法向量為n＝(0，t,0)(t≠0)，＝(1,3, )，所以cos〈n，〉＝＝，因為〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝.] 8．已知空間三點O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直線OA上的一點H滿足BH⊥OA，則點H的坐標為________. 【導學號：46342187】 　[設H(x，y，z)，則＝(x，y，z)，＝(x，y－1，z－1)，＝(－1,1,0)．因為BH⊥OA，所以＝0，即－x＋y－1＝0?、?，又點H在直線OA上，所以＝λ，即?、?，聯(lián)立①②

6、解得 所以點H的坐標為.] 三、解答題 9．如圖310，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結論． 圖310 [解]　在棱C1D1上存在點F，當F為C1D1的中點時，B1F∥平面A1BE.證明如下： 以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系． 設正方體的棱長為2，則B(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴＝(－2,2,1)，＝(－2,0,2)． 設平面A1BE的法向量為m＝(x，y，z)， 則m＝－2x＋2y＋z＝0，且m＝－2x＋2z＝0，取x

7、＝1，則z＝1，y＝， ∴m＝是平面A1BE的一個法向量． 假設在棱C1D1上存在一點F，使B1F∥平面A1BE， 設F(x0,2,2)(0≤x0≤2)，則＝(x0－2,2,0)， 則m＝x0－2＋2＋10＝0，解得x0＝1， ∴當F為C1D1的中點時，B1F∥平面A1BE. 10．如圖311，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點． 圖311 (1)求證：AB1⊥平面A1BD； (2)求二面角AA1DB的余弦值的大小. 【導學號：46342188】 [解]　(1)取BC的中點O，連接AO. ∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． ∵在正三棱

8、柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， ∴AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點O1，以O為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系． 則B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． ∴＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，＝(－1,2，)． ∵＝－2＋2＋0＝0，＝－1＋4－3＝0， ∴⊥，⊥，∴AB1⊥平面A1BD． (2)設平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)， ∵＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)， ∴，即， 令z＝1，得n＝(－，0

9、,1)為平面A1AD的一個法向量． 由(1)知AB1⊥平面A1BD，∴為平面A1BD的一個法向量． cos〈n，〉＝＝＝－， ∴二面角AA1DB的余弦值為. [能力提升練] 1．在空間四邊形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為(　　) A．(2,3,3)　　　　 B．(－2，－3，－3) C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1) B　[取AC中點M，連接ME，MF(圖略)，則＝＝，＝＝， 所以＝－＝(－2，－3，－3)，故選B．] 2．如圖312，正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面內的投影，P為側棱

10、SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角是(　　) 圖312 A．30　　　 B．45 C．60 D．75 A　[如圖，以O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz.設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，則＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)，設平面PAC的一個法向量為n，可取n＝(0,1,1)，則cos〈，n〉＝＝＝，所以〈，n〉＝60，所以直線BC與平面PAC的夾角為90－60＝30.] 3．已知向量e1，e2，e3是三個不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e

11、1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，則λ＝________. 【導學號：46342189】 1　[因為a，b，c共面，所以存在實數(shù)m，n，使得c＝ma＋nb，則11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，則，解得.] 4．已知平面α經過點A(0,0,2)，且平面α的一個法向量為n＝(1，－1，－1)，則x軸與平面α的交點坐標是________． (－2,0,0)　[設交點為M(x,0,0), 則＝(x,0，－2)，平面α的一個法向量n＝(1，－1，－1)，則n＝0，解得x＝－2，故x軸與平面α的交點坐標是(－2,0,0)．] 5．如圖31

12、3，在三棱錐ABCD中，側面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面ABC是等邊三角形． 圖313 (1)求證：AD⊥BC． (2)在線段AC上是否存在一點E，使直線ED與平面BCD的夾角為30？若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由． [解]　(1)作AH⊥平面BCD于點H，連接BH，CH，DH，則四邊形BHCD是正方形，且AH＝1. 以D為坐標原點，DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立空間直角坐標系，如圖． 則D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)， ∴＝(－1,1,0)，＝(

13、1,1,1)， ∴＝0，則AD⊥BC． (2)存在滿足條件的點E，點E到點C的距離為1. 設E(x，y，z)，則x＝z>0，y＝1. 又平面BCD的一個法向量為n＝(0,0,1)，＝(x,1，x)，若ED與平面BCD的夾角為30，則與n的夾角為60， ∴cos〈，n〉＝＝＝cos 60＝， 則2x＝，解得x＝或x＝－(舍去)，即E. 又||＝1，故線段AC上存在滿足條件的點E，點E到點C的距離為1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375