高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學(xué)案 新人教A版選修22
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高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學(xué)案 新人教A版選修22
3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學(xué)習(xí)目標:1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算(重點、難點)2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律(易混點)3.了解共軛復(fù)數(shù)的概念(難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1abi,z2cdi,a,b,c,dR,則z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.思考1:復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同?提示復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的,有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成1,再把實部、虛部分別合并(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意z1,z2,z3C,有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3思考2:|z|2z2,正確嗎?提示不正確例如,|i|21,而i21.2共軛復(fù)數(shù)如果兩個復(fù)數(shù)滿足實部相等,虛部互為相反數(shù)時,稱這兩個復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù),z的共軛復(fù)數(shù)用表示即zabi,則abi.3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(abi)(cdi)i(cdi0)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)實數(shù)不存在共軛復(fù)數(shù)()(2) 兩個共軛復(fù)數(shù)的差為純虛數(shù)()(3) 若z1,z2C,且zz0,則z1z20.()答案(1)(2)(3)2復(fù)數(shù)(32i)i等于()A23iB23iC23iD23iB(32i)i3i2ii23i,選B.3已知復(fù)數(shù)z2i,則z的值為() 【導(dǎo)學(xué)號:31062220】A5 BC3 DAz(2i)(2i)22i2415,故選A.4(2i)i_.解析(2i)i12i.答案12i合 作 探 究攻 重 難復(fù)數(shù)乘法的運算(1)若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是()A(,1)B(,1)C(1,)D(1,)(2)計算:(12i)(34i)(2i);(34i)(34i);(1i)2.(1)Bzi,因為對應(yīng)的點在第二象限,所以 ,解得a<1,故選B.(2)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i;(34i)(34i)32(4i)29(16)25;(1i)212ii22i.規(guī)律方法1.兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復(fù)數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法則進行,注意選用恰當?shù)某朔ü竭M行簡便運算,例如平方差公式、完全平方公式等2.常用公式(1)(abi)2a22abib2(a,bR);(2)(abi)(abi)a2b2(a,bR);(3)(1i)22i.跟蹤訓(xùn)練1(1)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是() 【導(dǎo)學(xué)號:31062221】Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)(2)復(fù)數(shù)z(12i)(3i),其中i為虛數(shù)單位,則z的實部是_解析(1)(1i)212ii212i12i,故選C (2)(12i)(3i)3i6i2i255i,所以z的實部是5.答案(1)C(2)5復(fù)數(shù)除法的運算(1)如圖323,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量分別是,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()圖323A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限(2)計算:.(1)B由復(fù)數(shù)的幾何意義知,z12i,z2i,所以12i,對應(yīng)的點在第二象限(2)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.規(guī)律方法1.兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟(1)首先將除式寫為分式;(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù);(3)然后將分子、分母分別進行乘法運算,并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.2.常用公式(1)i;(2)i;(3)i.跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i,則|z|()A1 BCD2(2)計算:;.(1)A由i得1zi(1z),即z,zi,|z|1,選A.(2)1i.13i.共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用探究問題1若z,則z是什么數(shù)?這個性質(zhì)有什么作用?提示:zzR,利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù)2若z0且z0,則z是什么數(shù)?這個性質(zhì)有什么作用?提示:z0且z0,則z為純虛數(shù),利用這個性質(zhì),可證明一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)3三個實數(shù)|z|,|,z具有怎樣的關(guān)系?提示:設(shè)zabi,則abi,所以|z|,|,z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2,所以|z|2|2z.(1)已知復(fù)數(shù)z,是z的共軛復(fù)數(shù),則z等于() 【導(dǎo)學(xué)號:31062222】AB C1D2(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|,且(12i)z是實數(shù),求.思路探究可以先設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,再利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)求解;也可以利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解(1)A法一:z,z.法二:z,|z|,z.(2)法一:設(shè)zabi(a,bR),則(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i,又因為(12i)z是實數(shù),所以b2a0,即b2a,又|z|,所以a2b25.解得a1,b2,所以z12i或12i,所以12i或12i,即(12i)法二:因為(12i)z是實數(shù),故可設(shè)zb(12i),bR,由|z|可知|b|,所以b1,即(12i)母題探究:1.(變結(jié)論)在題設(shè)(1)條件不變的情況下,把題設(shè)(1)的結(jié)論改為求.解由例題(1)的解析可知z,z,i.2(變條件)把題設(shè)(2)的條件“(12i)z是實數(shù)”換成“(12i)z是純虛數(shù)”,求.解設(shè)zabi,則abi,由例題(2)的解可知a2b,由|z| ,得b1,a2;或 b1,a2.所以2i,或2i.規(guī)律方法1.由比較復(fù)雜的復(fù)數(shù)運算給出的復(fù)數(shù),求其共軛復(fù)數(shù),可先按復(fù)數(shù)的四則運算法則進行運算,將復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式,再寫出其共軛復(fù)數(shù).2.注意共軛復(fù)數(shù)的簡單性質(zhì)的運用. 當 堂 達 標固 雙 基1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz1,其中i為虛數(shù)單位,則z等于()【導(dǎo)學(xué)號:31062223】AiBiC1D1Azi.2若復(fù)數(shù)zi(32i)(i是虛數(shù)單位),則()A23iB23iC32i D32iAzi(32i)3i2i223i,23i.3復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實部等于_解析由題可得3i,3i的實部為3.答案34(1i)2_.解析(1i)22ii.答案i5已知復(fù)數(shù)z1(1i)(1bi),z2,其中a,bR.若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù),求a,b的值. 【導(dǎo)學(xué)號:31062224】解z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i, z2i.由于z1和z2互為共軛復(fù)數(shù),所以有解得6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375