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壓縮映射原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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壓縮映射原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

壓縮映射原理及其應(yīng)用 摘 要: 本文較詳細(xì)地論述了Banach空間中的壓縮映射原理,以及它在關(guān)于一些問(wèn)題的解的存在唯一性定理證明中的廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞: 抽象函數(shù),不動(dòng)點(diǎn),壓縮映射,抽象微分方程,隱函數(shù)存在性理引 言: 壓縮映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解問(wèn)題,它不僅具有實(shí)義,而且對(duì)泛函分析理論的發(fā)展起著重大作用。我們首先介紹不動(dòng)點(diǎn)和壓縮映射的定義以及壓縮映射原理,并在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步給出一個(gè)推廣的壓縮映射原理。壓縮映射原理不僅指出了算子方程x=Fx的解的存在性和唯一性,而且給出了近似求解的方法及誤差估計(jì),因而是很有用的。微分方程初值問(wèn)題的解的存在唯一性定理及畢卡(Picard)逐次逼近法就是它的特例。在Banach空間中這一問(wèn)題將更為普遍。數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)存在定理也是壓縮映射原理的一個(gè)特例。一、幾個(gè)定義及壓縮映射原理定義1 設(shè)X,Y為巴拿赫空間,算子(一般地,F(xiàn)是非線性的)。如果存在有界線性算子使得關(guān)系式對(duì)于滿足的是一致成立的,則稱算子F在點(diǎn)處是弗力許(Frchet)可微的,并記,稱為算子F在點(diǎn)處的弗力許導(dǎo)數(shù)。為了給出關(guān)于算子的有限增量公式(相當(dāng)于中值定理),我們引入關(guān)于抽象函數(shù)的積分的概念。 設(shè)x(t)是由實(shí)數(shù)域到巴拿赫空間X的算子。這種算子通常稱為“抽象函數(shù)”。現(xiàn)設(shè)x(t)的定義域是區(qū)間a,b。將a,b分成n個(gè)小區(qū)間,分點(diǎn)為記此分劃為,及在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作和式 (*)定義2 如果對(duì)任意的分劃及的任意取法,當(dāng)時(shí)和式(*)都收斂(在X中范數(shù)意義下)于同一個(gè)元素,則抽象函數(shù)x(t)在a,b上黎蔓可積的,r稱為x(t)在a,b上的黎蔓積分,記為性質(zhì)1 設(shè)抽象函數(shù)x(t)黎蔓可積,則抽象函數(shù)在a,b上弗力許可薇,且 (*)定義3 設(shè)X為巴拿赫空間,F(xiàn)為由X到X的算子,且D(F)R(F)非空。如果x*X滿足F(x*)=x*則稱x*為算子F的不動(dòng)點(diǎn)。換句話說(shuō),不動(dòng)點(diǎn)x*是算子方程x=F(x) (1) 的解。定義4 設(shè)集合,如果存在常數(shù)q(0,1),使得對(duì)任意的均有不等式|F()-F()|q|-| (2)則稱F為集合Q上的壓縮算子,q稱為壓縮系數(shù)。定理1(壓縮映射原理) 設(shè)算子F映巴拿赫空間X中的閉集Q為自己。且F為Q上的壓縮算子,壓縮系數(shù)為q,則算子F在Q內(nèi)存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。若為Q中任意一點(diǎn),作序列 (3)則序列且。并有誤差估計(jì) (4)證明:由于FQ故設(shè)利用算子F的壓縮性,可依次得到: (5)現(xiàn)在估計(jì)。利用(5)式可得到 即 (6)由此可知是柯西點(diǎn)列,由X的完備性知存在使得又因Q是閉集故現(xiàn)在證明是算子F的不動(dòng)點(diǎn),由算子F在Q上的壓縮性知其在Q上連續(xù)。事實(shí)上,如果則由式(2)知F(于是在式(3)中令n。即得再證的唯一性。設(shè)若另有一不動(dòng)點(diǎn)則由于q故上式只能在時(shí)成立于是x=至于估計(jì)式(4)的證明只需在式(6)中令p。證畢。壓縮映射原理最常用的兩種特殊情形是Q=X及Q=-X中的閉球。對(duì)于后者,如下列推論所述推論1設(shè)F為閉球上的壓縮算子,壓縮系數(shù)為q,R(F)且 (7)則F在中有唯一不動(dòng)點(diǎn)且序列(3)收斂于,收斂速度為式(4),初始近似可在中任取。證明 : 只要證F映為自己。如果x即則。二、推廣的壓縮映射原理設(shè)算子F映集合Q為自己。對(duì)任一自然數(shù)n,算子F的n次冪定義為:當(dāng)x時(shí)令如果已經(jīng)定義,則令 定理2 設(shè)算子F映閉集Q為自己且對(duì)某一自然數(shù)k算子為Q上的壓縮算子則F在Q中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)逼近序列(3)收斂于初始近似為任意。證明 : 當(dāng)k=1時(shí)即為定理1。現(xiàn)設(shè)k??疾焖阕覩=,根據(jù)定理1,G在Q上有唯一的不動(dòng)點(diǎn),因?yàn)樗阕覨與G在Q上可交換,故有G(F()=F(G(此即表明F(也是G的不動(dòng)點(diǎn)。但G的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的,故F(即也是F的不動(dòng)點(diǎn)。下證唯一。如果另有,滿足,則。但G的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的,故=。證畢。三、壓縮映射原理的應(yīng)用在微分方程,積分方程以及其它各類方程的理論中,解的存在性唯一性以及近似解的收斂性等都是很重要的問(wèn)題。為了證明一個(gè)微分方程,積分方程或其它類型的方程存在解。我們可以將它變成求某一映射的不動(dòng)點(diǎn)?,F(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 (8) 為例來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。求微分方程(8)滿足初始條件的解與求解積分方程等價(jià)。為了求解積分方程(9),我們可以根據(jù)f(x,y)所滿足解析條件適當(dāng)?shù)厝∫粋€(gè)度量空間,并在這個(gè)度量空間中作映射, 于是方程(9)的解就轉(zhuǎn)化為求使它滿足。也就是求出這樣的,它經(jīng)映射T作用后仍變?yōu)?,這種稱為映射T的不動(dòng)點(diǎn)。因此求解方程(8)就變成求映射T的不動(dòng)點(diǎn)??疾煳⒎址匠?(10)其中f(x,y)在整個(gè)平面內(nèi)連續(xù),此外還設(shè)f(x,y)關(guān)于y滿足李普希茨條件:則通過(guò)點(diǎn)微分方程(10)有一條且只有一條積分曲線。證明 : 問(wèn)題(10)等價(jià)于求解下面的積分方程我們?nèi)∈褂帽硎驹趨^(qū)間上的連續(xù)函數(shù)組成的空間,在中定義算子(映射)F:則因,由壓縮映射原理,存在唯一的連續(xù)函數(shù)y(x),使由此可以看出,y(t)還是連續(xù)可微的,于是y=y(t)便是微分方程(10)通過(guò)的積分曲線。但只定義在上,重復(fù)利用壓縮映射原理,可以將它延拓到整個(gè)數(shù)軸上。四、巴拿赫空間中的微分方程對(duì)于微分方程初值問(wèn)題的解的各種存在唯一定理,利用壓縮映射原理,可以給出一種很簡(jiǎn)單的證明。下面我們?cè)诎湍煤湛臻g中討論這一問(wèn)題,這樣做具有普遍性,卻并不增加證明的復(fù)雜性。設(shè)x(t)為從實(shí)數(shù)域到某一巴拿赫空間X的抽象函數(shù).我們要討論的是非線性微分方程 (11)其中F(t,x)是關(guān)于兩個(gè)變?cè)姆蔷€性算子,實(shí)變量,而x是X的元素.F的值域也在X中.的意義與通常理解的相同:現(xiàn)在假設(shè)F為已知,所謂微分方程(11)的初值問(wèn)題是指求x(t),它滿足(11)及初始條件 (12)其中。定理3 設(shè)當(dāng)x為固定且時(shí)F(t,x)在上連續(xù),而當(dāng)及時(shí)有 (13) (14)則在0,a上初值問(wèn)題(11),(12)存在唯一解x(t),且(當(dāng)時(shí))。 證明: 所討論的問(wèn)題等價(jià)于積分方程 (15) 事實(shí)上,設(shè)x(t)是初值問(wèn)題(11),(12)的解,則可將x(t)代入方程(15),再?gòu)?到t積分,考慮到條件(12),即得式(15),反之設(shè)x(t)滿足方程(15),注意到當(dāng)時(shí)抽象函數(shù)F(s,x(s)連續(xù),這是因?yàn)?又根據(jù)x(t)的連續(xù)及F(t,x)對(duì)t的連續(xù)性,當(dāng)且時(shí)上式右端的兩項(xiàng)均趨于零。根據(jù)式(*)即知表明x(t)是問(wèn)題(11)(12)的解。因此,初值問(wèn)題(11)(12)等價(jià)于求方程(15)的解。記在0,a上連續(xù),在X中取值的抽象函數(shù)x(t)的全體所構(gòu)成的巴拿赫空間為,其范數(shù)定義為考察在中的閉球則非線性算子映為自己。這是因?yàn)槠渲杏玫搅瞬坏仁?13)及a的定義。同時(shí),是上的壓縮算子,這是因?yàn)橛蓷l件(14)知其中q=al<1(由a之定義)。于是利用壓縮映射原理,方程(15)在球中存在唯一解x(t)。定理得證。這一定理的不足之處是初值問(wèn)題(11),(12)的解僅確定在0,a上而不是在0,b上。對(duì)于算子F(t,x)附加以較強(qiáng)條件時(shí)可以彌補(bǔ)這個(gè)缺陷。定理4 設(shè)算子F(t,x)對(duì)每一固定的x,關(guān)于連續(xù)且滿足李普希茨條件: 則初值問(wèn)題(11)、(12)在0,b上存在唯一解.我們給出兩種證明它們都很簡(jiǎn)單而富有啟發(fā)性.第一種證明 如上所述,可等價(jià)地討論積分方程(15)。在巴拿赫空間中考察積分算子 我們有下列估計(jì) 由此又有 一般地,我們有在0,b上取最大值,得到 由于當(dāng)時(shí)故對(duì)于充分大的n,是中的壓縮算子。于是定理得證.第二種證明 在巴拿赫空間中引入另一種范數(shù)(顯然)。我們證明積分算子是這種范數(shù)下的壓縮算子。事實(shí)上乘以因子,再在0,b上取max,得到故壓縮系數(shù)為。定理得證五、一個(gè)特例-隱函數(shù)存在定理定理5 設(shè)函數(shù)在帶狀域 , 中處處連續(xù),且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).如果還存在常數(shù)m和M,滿足 , m<M則方程f(x,y)=0在區(qū)間a,b上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解: 證:在完備空間Ca,b中作算子(映射)F,使對(duì)任意的函數(shù)有。按照定理?xiàng)l件,f(x,y)是連續(xù)的,故也連續(xù),即所以F是Ca,b到自身的映射?,F(xiàn)證F是壓縮算子。任取根據(jù)微分中值定理,存在滿足由于,所以令,則有0<q<1,且因此,F(xiàn)是壓縮映射。由定理1,存在唯一的滿足,即,這就是說(shuō) , 定理證畢參考文獻(xiàn):1夏道行,嚴(yán)紹宗,吳卓人,舒五昌:實(shí)變函數(shù)論與泛函分析M(下),1985;2鄭維行,王聲望:實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要M(第二冊(cè)),1980;3關(guān)肇直,張恭慶,馮德興:線性泛函入門M,1979;4蔣爾雄,高坤敏,吳景琨:線性代數(shù)M,1979;5定光桂:巴拿赫空間引論M,1984;6柳重堪,應(yīng)用泛函分析>>M,國(guó)防工業(yè)出版社,1986;7葉懷安,泛函分析M,安徽教育出版社,1984;8程其襄等,<實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)>M,高教出版社,1984;9張鳴歧,<應(yīng)用泛函分析引論>M,北京理工大學(xué)出版社,1989。Abstract: This paper expound the fact compression of Banach shine upon principle , and about store it in in detail。 Keywords: Abstract function; Do not move a bit; Compress and shine upon; Abstract differential equation; Having theorem of implicit function10

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