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1、壓縮映射原理及其應(yīng)用 摘 要: 本文較詳細(xì)地論述了Banach空間中的壓縮映射原理，以及它在關(guān)于一些問題的解的存在唯一性定理證明中的廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞: 抽象函數(shù),不動(dòng)點(diǎn),壓縮映射,抽象微分方程,隱函數(shù)存在性理引 言: 壓縮映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解問題，它不僅具有實(shí)義，而且對泛函分析理論的發(fā)展起著重大作用。我們首先介紹不動(dòng)點(diǎn)和壓縮映射的定義以及壓縮映射原理，并在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出一個(gè)推廣的壓縮映射原理。壓縮映射原理不僅指出了算子方程x=Fx的解的存在性和唯一性，而且給出了近似求解的方法及誤差估計(jì)，因而是很有用的。微分方程初值問題的解的存在唯一性定理及畢卡(Picard)逐次逼近法
2、就是它的特例。在Banach空間中這一問題將更為普遍。數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)存在定理也是壓縮映射原理的一個(gè)特例。一、幾個(gè)定義及壓縮映射原理定義1 設(shè)X，Y為巴拿赫空間，算子（一般地，F(xiàn)是非線性的）。如果存在有界線性算子使得關(guān)系式對于滿足的是一致成立的，則稱算子F在點(diǎn)處是弗力許（Frchet）可微的，并記，稱為算子F在點(diǎn)處的弗力許導(dǎo)數(shù)。為了給出關(guān)于算子的有限增量公式（相當(dāng)于中值定理），我們引入關(guān)于抽象函數(shù)的積分的概念。 設(shè)x(t)是由實(shí)數(shù)域到巴拿赫空間X的算子。這種算子通常稱為“抽象函數(shù)”。現(xiàn)設(shè)x(t)的定義域是區(qū)間a，b。將a，b分成n個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)為記此分劃為，及在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式
3、(*)定義2 如果對任意的分劃及的任意取法，當(dāng)時(shí)和式(*)都收斂（在X中范數(shù)意義下）于同一個(gè)元素，則抽象函數(shù)x(t)在a，b上黎蔓可積的，r稱為x(t)在a，b上的黎蔓積分，記為性質(zhì)1 設(shè)抽象函數(shù)x(t)黎蔓可積，則抽象函數(shù)在a，b上弗力許可薇，且 (*)定義3 設(shè)X為巴拿赫空間，F(xiàn)為由X到X的算子，且D(F)R(F)非空。如果x*X滿足F(x*)=x*則稱x*為算子F的不動(dòng)點(diǎn)。換句話說，不動(dòng)點(diǎn)x*是算子方程x=F(x) (1) 的解。定義4 設(shè)集合，如果存在常數(shù)q(0，1)，使得對任意的均有不等式|F()-F()|q|-| (2)則稱F為集合Q上的壓縮算子，q稱為壓縮系數(shù)。定理1(壓縮映射原
4、理) 設(shè)算子F映巴拿赫空間X中的閉集Q為自己。且F為Q上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為q，則算子F在Q內(nèi)存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。若為Q中任意一點(diǎn)，作序列 （3）則序列且。并有誤差估計(jì) (4)證明：由于FQ故設(shè)利用算子F的壓縮性，可依次得到: （5）現(xiàn)在估計(jì)。利用(5)式可得到 即 （6）由此可知是柯西點(diǎn)列，由X的完備性知存在使得又因Q是閉集故現(xiàn)在證明是算子F的不動(dòng)點(diǎn)，由算子F在Q上的壓縮性知其在Q上連續(xù)。事實(shí)上，如果則由式(2)知F(于是在式(3)中令n。即得再證的唯一性。設(shè)若另有一不動(dòng)點(diǎn)則由于q故上式只能在時(shí)成立于是x=至于估計(jì)式（4）的證明只需在式（6）中令p。證畢。壓縮映射原理最常用的兩種特殊情形是Q
5、=X及Q=-X中的閉球。對于后者，如下列推論所述推論1設(shè)F為閉球上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為q，R（F）且 （7）則F在中有唯一不動(dòng)點(diǎn)且序列（3）收斂于，收斂速度為式（4），初始近似可在中任取。證明 ： 只要證F映為自己。如果x即則。二、推廣的壓縮映射原理設(shè)算子F映集合Q為自己。對任一自然數(shù)n，算子F的n次冪定義為:當(dāng)x時(shí)令如果已經(jīng)定義，則令 定理2 設(shè)算子F映閉集Q為自己且對某一自然數(shù)k算子為Q上的壓縮算子則F在Q中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)逼近序列（3）收斂于初始近似為任意。證明 ： 當(dāng)k=1時(shí)即為定理1?，F(xiàn)設(shè)k?？疾焖阕覩=，根據(jù)定理1，G在Q上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)樗阕覨與G在Q上可交換，故有G（F（
6、）=F（G（此即表明F（也是G的不動(dòng)點(diǎn)。但G的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的，故F（即也是F的不動(dòng)點(diǎn)。下證唯一。如果另有，滿足，則。但G的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的，故=。證畢。三、壓縮映射原理的應(yīng)用在微分方程，積分方程以及其它各類方程的理論中，解的存在性唯一性以及近似解的收斂性等都是很重要的問題。為了證明一個(gè)微分方程,積分方程或其它類型的方程存在解。我們可以將它變成求某一映射的不動(dòng)點(diǎn)?，F(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 (8) 為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程（8）滿足初始條件的解與求解積分方程等價(jià)。為了求解積分方程（9），我們可以根據(jù)f（x，y）所滿足解析條件適當(dāng)?shù)厝∫粋€(gè)度量空間，并在這個(gè)度量空間中作映射， 于是方程（9）的
7、解就轉(zhuǎn)化為求使它滿足。也就是求出這樣的，它經(jīng)映射T作用后仍變?yōu)?，這種稱為映射T的不動(dòng)點(diǎn)。因此求解方程（8）就變成求映射T的不動(dòng)點(diǎn)?？疾煳⒎址匠?(10)其中f(x，y)在整個(gè)平面內(nèi)連續(xù)，此外還設(shè)f(x，y)關(guān)于y滿足李普希茨條件：則通過點(diǎn)微分方程（10）有一條且只有一條積分曲線。證明 ： 問題（10）等價(jià)于求解下面的積分方程我們?nèi)∈褂帽硎驹趨^(qū)間上的連續(xù)函數(shù)組成的空間，在中定義算子(映射)F:則因，由壓縮映射原理，存在唯一的連續(xù)函數(shù)y(x)，使由此可以看出，y(t)還是連續(xù)可微的，于是y=y(t)便是微分方程(10)通過的積分曲線。但只定義在上，重復(fù)利用壓縮映射原理，可以將它延拓到整個(gè)數(shù)軸上。四
8、、巴拿赫空間中的微分方程對于微分方程初值問題的解的各種存在唯一定理，利用壓縮映射原理，可以給出一種很簡單的證明。下面我們在巴拿赫空間中討論這一問題，這樣做具有普遍性，卻并不增加證明的復(fù)雜性。設(shè)x(t)為從實(shí)數(shù)域到某一巴拿赫空間X的抽象函數(shù).我們要討論的是非線性微分方程 (11)其中F(t,x)是關(guān)于兩個(gè)變元的非線性算子,實(shí)變量,而x是X的元素.F的值域也在X中.的意義與通常理解的相同:現(xiàn)在假設(shè)F為已知,所謂微分方程(11)的初值問題是指求x(t),它滿足(11)及初始條件 (12)其中。定理3 設(shè)當(dāng)x為固定且時(shí)F(t，x)在上連續(xù)，而當(dāng)及時(shí)有 (13) (14)則在0，a上初值問題(11)，(
9、12)存在唯一解x(t)，且（當(dāng)時(shí)）。 證明： 所討論的問題等價(jià)于積分方程 (15) 事實(shí)上，設(shè)x(t)是初值問題(11)，(12)的解，則可將x(t)代入方程(15)，再從0到t積分，考慮到條件(12)，即得式（15），反之設(shè)x(t)滿足方程（15），注意到當(dāng)時(shí)抽象函數(shù)F(s，x(s)連續(xù)，這是因?yàn)?又根據(jù)x(t)的連續(xù)及F(t，x)對t的連續(xù)性，當(dāng)且時(shí)上式右端的兩項(xiàng)均趨于零。根據(jù)式(*)即知表明x(t)是問題(11)(12)的解。因此，初值問題(11)(12)等價(jià)于求方程(15)的解。記在0，a上連續(xù)，在X中取值的抽象函數(shù)x(t)的全體所構(gòu)成的巴拿赫空間為，其范數(shù)定義為考察在中的閉球則非線
10、性算子映為自己。這是因?yàn)槠渲杏玫搅瞬坏仁?13)及a的定義。同時(shí)，是上的壓縮算子，這是因?yàn)橛蓷l件（14）知其中q=al1（由a之定義）。于是利用壓縮映射原理，方程（15）在球中存在唯一解x(t)。定理得證。這一定理的不足之處是初值問題（11），（12）的解僅確定在0，a上而不是在0，b上。對于算子F(t，x)附加以較強(qiáng)條件時(shí)可以彌補(bǔ)這個(gè)缺陷。定理4 設(shè)算子F(t,x)對每一固定的x,關(guān)于連續(xù)且滿足李普希茨條件: 則初值問題(11)、（12）在0,b上存在唯一解.我們給出兩種證明它們都很簡單而富有啟發(fā)性.第一種證明 如上所述，可等價(jià)地討論積分方程（15）。在巴拿赫空間中考察積分算子 我們有下列估
11、計(jì) 由此又有 一般地，我們有在0，b上取最大值，得到 由于當(dāng)時(shí)故對于充分大的n，是中的壓縮算子。于是定理得證.第二種證明 在巴拿赫空間中引入另一種范數(shù)(顯然)。我們證明積分算子是這種范數(shù)下的壓縮算子。事實(shí)上乘以因子，再在0，b上取max，得到故壓縮系數(shù)為。定理得證五、一個(gè)特例-隱函數(shù)存在定理定理5 設(shè)函數(shù)在帶狀域 ， 中處處連續(xù),且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).如果還存在常數(shù)m和M,滿足 ， mM則方程f(x，y)=0在區(qū)間a，b上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解: 證：在完備空間Ca，b中作算子(映射)F，使對任意的函數(shù)有。按照定理?xiàng)l件，f(x，y)是連續(xù)的，故也連續(xù)，即所以F是Ca，b到自身的映射?，F(xiàn)證F
12、是壓縮算子。任取根據(jù)微分中值定理，存在滿足由于，所以令，則有0qM，國防工業(yè)出版社，1986；7葉懷安，泛函分析M，安徽教育出版社，1984；8程其襄等，M，高教出版社，1984；9張鳴歧，M，北京理工大學(xué)出版社，1989。Abstract: This paper expound the fact compression of Banach shine upon principle ， and about store it in in detail。 Keywords: Abstract function; Do not move a bit; Compress and shine upon; Abstract differential equation; Having theorem of implicit function10
壓縮映射原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文
