定積分的計算和積分不等式數(shù)學畢業(yè)論文

本科畢業(yè)設計（論文） 定積分的計算和積分不等式定積分的計算和積分不等式摘要：本文首先介紹了定積分的幾種計算方法：牛頓萊布尼茲公式，分部積分法，換元積分法，積分值的估計。其次再介紹了積分不等式的幾種證明：用微分學的方法證明積分不等式，利用被積函數(shù)的不等式證明積分不等式，在不等式兩端取變限積分證明新的不等式，利用積分性質(zhì)證明不等式，利用積分中值定理證明不等式。關鍵字：定積分；牛頓萊布尼茲公式；分部積分法；換元積分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word: Definite integral; Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution.引言數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)中一門重要的基礎課，定積分的計算和積分不等式無疑是數(shù)學分析中一個重要的方面。定積分的思想源遠流長，古希臘德謨克利特的“數(shù)學原子論”、阿基米德的“窮竭法”、劉徽的“割圓術”都是積分思想的雛形，并且用這些方法求出了不少幾何形體的面積和體積；然而這些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以嚴密的理論為基礎的。隨著數(shù)學科學的發(fā)展，借助于生產(chǎn)力空前發(fā)展的強大推動，出現(xiàn)了開普勒的“同維無窮小方法”，卡瓦列利的“不可分量法”、費馬的“分割求和方法”，到17世紀終于發(fā)生了由量變到質(zhì)變的飛躍。牛頓與萊布尼茲揭示了微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系微積分基本定理，從而產(chǎn)生了威力無比的微積分，使數(shù)學從常量數(shù)學跨入了變量數(shù)學，開創(chuàng)了數(shù)學發(fā)展的新紀元。這就是定積分的背景。定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數(shù)學史上，而且是科學思想史上的重要里程碑。現(xiàn)在定積分已廣泛應用于自然科學、技術科學、社會科學、經(jīng)濟科學等領域。在高等數(shù)學、物理、工程技術、其他的知識領域以及人們在生產(chǎn)實踐活動中具有普遍的意義，很多問題的數(shù)學結構與定積分中求“和的極限”的數(shù)學結構是一樣的。我們使定積分真正成為解決許多實際問題的有力工具，促進了積分學的迅速發(fā)展。定積分的計算和積分不等式是數(shù)學分析的重要內(nèi)容，定積分的計算方法豐富多彩，許多積分不等式具有重要的應用價值。所以我們要研究定積分的計算和積分不等式的目的就是：1學會用定積分解決問題，進一步體會學習定積分的必要性。2.掌握定積分的常用計算方法，如變限的定積分的概念，微積分的基本定理和換元積分法及分部積分法等。3.了解積分不等式的常用的證明方法。4.了解定積分相關的知識的綜合應用。定積分是高等數(shù)學的一個重要內(nèi)容，在理論研究和實際應用中。許多問題都可以歸結為計算定積分的問題。在定積分中，不僅概念多，而且定理，公式亦處處可見，因此對定理，公式要深入的把握。因此，定積分的計算是很重要的。在計算中，如能直接應用公式，則將會既簡捷，又準確，起到事半功倍的作用。在本文中，本人首次嘗試對其中一個定理進行證明以及一些計算，下面我們就定積分的計算和積分不等式此論題進行討論。一、定積分的計算(一)、牛頓萊布尼茲公式1、定理4（牛頓萊布尼茲公式）：若函數(shù)f在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)F ，即=，xa,b，則f在a,b上可積，且=- 這稱為牛頓萊布尼茲公式，它也常寫成=|注（i）牛頓萊布尼茲公式簡稱NL公式，它是微積分的核心定理，最初分別由牛頓與萊布尼茲在17世紀下半葉獨立得到，柯西在19世紀初給出精確敘述與證明，黎曼在19世紀中葉給予完善，達布在1875年給出現(xiàn)在這種表達形式。（ii）NL公式的證明可由Riemann積分的定義及微分中值定理（作用在F上）可推得。例1 說明“使用”牛頓-萊布尼茲公式為何產(chǎn)生下列錯誤？ （1）=2 ； （2）=0 .解 （1）中被積函數(shù)無界、不可積；（2）中被積函數(shù)在間斷點x =處極限存在，故可積，但是在x =處有無窮間斷點，因此不合公式條件。例2 計算誤解：可以證明=則由微積分基本公式得：=0分析：因為 =>0所以 >0顯然上述結論是錯誤的。原因：原函數(shù)=在0，2上有間斷點X=1。正確的解法：令 則在0，2上連續(xù)且=所以，由上述定理3知 =-=+ 0 -0 =例3 利用定積分求下列極限 = J （1-1）解 這類問題的解題思想，是要把所求極限化為某個函數(shù)f ( x )在某一區(qū)間a ,b上的積分和的極限。然后利用牛頓萊布尼茨公式計算J = 的值。由（1-1）式中的根式不是一個和式，而是一個連乘積，因此可望通過求對數(shù)后化為累加形式，為此記不難看出，是函數(shù)在區(qū)間0，1上對應于n等分分割，并取，i =1,2, n 的一個積分和。由于 在0，1上連續(xù)，且存在原函數(shù)，故由定理知道0，1，且有。于是就可求得. 注：上面也可看作在1，2上的一個積分和，或者，是在2，3上的一個積分和，亦即 。 (二)、定積分換元積分法和分部積分法1、定理4（定積分換元積分法）：若函數(shù)f在a ,b上連續(xù)，在 , 上有連續(xù)可微，且滿足= a，= b，a b，t , ，則有定積分換元公式：=.注（i）定積分換元積分公式由復合函數(shù)微分法及NL公式可得。(ii)定積分換元積分法實際上是不定積分第二換元積分法的直接應用，只不過使用時有較大差別：在這里換元之后變量不需回代，但積分限要跟著更換（在去掉根號的情形下須注意函數(shù)的符號）。(iii)對應于不定積分中的第一換元法（即湊微分法），在這里可以不加變動地直接應用，而且積分限也不需作更改（即仍然采用原來的積分變量）。（iv）（注意：文中以下提到的C是連續(xù)函數(shù)的集合，R是Riemann可積函數(shù)的集合，在此說明。不另外提示。） ,可減弱為R ,。進一步，定積分換元積分公式中的f a ,b可減弱為f a ,b，但若的條件稍許加強（證明較為復雜），則有以下的命題成立：若f a ,b，： ,a ,b是一一映射而且還滿足=，=，a ,b，那么有=.證 設a < b,<（即為增函數(shù)）。對任何分割通過令，i=1,2,n得到對a ,b的一個分割.由于在 ,上一致連續(xù)，故當時必有，i=1,2,n，作積分和；令，并記.由于，使，i=1,2,n，因此有 .于是，由假設，可知另一方面，當設，時，由在 ,上一致連續(xù)，使時，恒有 ，i=1,2,n.于是又有 .由此可見， 即 例4 計算解1 令，得。有.解2 令，得，有。解3 令，得，有.小結 例4的三種解法借助于換元積分法，巧妙地運用了對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的公式進行恒等變形，從而實現(xiàn)了被積函數(shù)的轉化。例5 設函數(shù)和在對稱區(qū)間上連續(xù)。若滿足條件(常數(shù))且是偶函數(shù)，證明：并由此計算積分 (此題是1995年考研試題(三)中的第八題。)證 因為函數(shù)和在對稱區(qū)間上連續(xù)，得 其中，將代入下式：. 因此， 證明成立。那么根據(jù)上述題目已知，我們在中很容易發(fā)現(xiàn)，就是上述的，就是上述的，所以由我們所證的可得 由上面的結論可知 ，那么 即 .所以 ， 代入 .得 .再來看 = = 2所以 =.例6 證明：（1），；（2）若f 在0,1上連續(xù)，且滿足，k=0,1,n-1,則有 .證 （1）利用換元積分法，可得（2）首先，由條件可知 ；又由積分第一中值定理，使得 ；再由上面（1），又得 .這就證得 .2、定理（定積分分部積分法）4：若、為a ,b上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分部積分公式： .注 （i）分部積分可由乘積微分法則及N-L公式直接證之。（ii）分部積分公式可連續(xù)使用n次，即利用數(shù)學歸納法及分部積分公式可得下面的命題：若u、v具有n+1階連續(xù)導數(shù)，那么有 (n=1,2,3,)。例7 設f 在a ,b上有連續(xù)的二階導函數(shù)，且f (a) = f (b) =0。證明：（1）；（2）.證 （1）利用分部積分法，可得 移項后即得結論成立。（2）一種證法是直接利用（1）的結論：其中的 .例8 設f 連續(xù)，f (1) = 1, .試求：.解 令 2x - t = u, 則于是有 兩邊關于x求導得 再令x=1可得.3、用定積分換元積分法與分部積分法推得的某些特殊結論：1(1)、若f (x) 為以 p為周期的連續(xù)周期函數(shù)，則有（2）、若，則 （3）、若，則；（4）、若，則；（5）、沃利斯（Wallis）公式： ；（6）、帶積分余項的泰勒公式：若f (x) 在a ,b上具有階連續(xù)導數(shù)，那么，,有，即，稱此為泰勒公式的積分余項.例9 （0<1）解 = =例10 .解 依據(jù)結論10：若f(x)在區(qū)間單調(diào)、連續(xù)，其反函數(shù)為。且。則。令 ，得 ，有 小結：借助于反函數(shù)的性質(zhì)求定積分，可以直接代入公式而得到。例11 計算. a >0, b >0 .解 因為 令 ，所以 .這個變量代換的定積分，注意到被積式是正、余弦的齊次式，倒也不算多難。但是回頭看一下，便會發(fā)現(xiàn)：被積函數(shù)中，積分變量的取值并無限制。為什么積分區(qū)間只能取0，豈不大大的限制了它的適用范圍！細看一下，這樣限制區(qū)間，完全是因變量代換（）所致。為擴大范圍，先利用變量代換，則時，時， .所以 這樣，就可把0，上的積分化成兩個0，上的積分即有 故 . 此式還反映了被積函數(shù)關于的對稱性，利用，互換，積分值不變。故在，上的積分與在0，上的積分相同。又因與周期為，于是原積分在任意區(qū)間上的積分都不難求出。(三)、積分值估計3有些函數(shù)雖然可積，但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達?；蛘f這種函數(shù)的積分“積不出”，無法應Newton-Leibniz公式計算，只能用其他方法對積分值進行估計，或近似計算。另一種情況是，被積函數(shù)沒有明確給出，只知道他的結構或某些性質(zhì)，希望對積分值給出某種估計。（1）利用Darboux和估計積分值若，表示積分的下、上Darboux和，那么積分存在時，有估計.例12 求A，B，使得要求（北京師范1984）解 將區(qū)間0，1 n等分，利用的單調(diào)性，每個小區(qū)間上，端點到達上、下確界因此 ，這時 ，要使 ，只要取，于是 ，.（2）利用變形求估計及估計的應用若f (x) 在a ,b上可積，一般來說我們可以通過各種變形來對積分之值進行估計。例如用變量替換、分部積分、中值公式、Taylor公式等，使積分邊成易于估計的形式。另外被積函數(shù)放大、縮小，區(qū)間放大和縮小也是獲得估計的重要方法。例13 證明.（蘇聯(lián)高校競賽1976）證 令作變換在中作變換， .于是 .在內(nèi)，被積函數(shù) . 個別點不影響積分值。由例13知。若f (x) ，g (x) 在,上有連續(xù)導數(shù)，則.若f (x) ，g (x) 在,上有階連續(xù)導數(shù)，且，則反復利用分部積分法可得.此式給出了一個重要的變形。二、積分不等式在積分不等式中，證明的難度較大，技巧性較強，涉及知識面較廣的問題，本文在高等數(shù)學范疇內(nèi)，給出了證明積分不等式的幾種基本方法。我們把聯(lián)系兩個以上的定積分的不等式，稱為積分不等式。關于積分不等式，有不少著名的結果，我們將在這里只介紹證明積分不等式的幾種基本方法以及計算。(一)、用微分學的方法證明積分不等式11例14 設 f (x) 在0，1上可微，且當x(0,1)時，0<<1， f (0)=0。試證：>。（上海交大1980前）證 問題在于證明>1。令 ，利用Cauchy中值定理 (0<<1) (0<<<1)(二)、利用被積函數(shù)的不等式證明積分不等式9例15 試證 （蘇聯(lián)高校競賽 1977） （2-1）分析 令 t=， . 令 t=，.欲證的不等式化為 . （2-2）為此只要證明,當時 . （2-3）注意 ，（2-3）式兩端可改寫成（同名函數(shù)） . （2-4）因為在內(nèi)，單調(diào)遞增，要證明（2-4），只要證明 （2-5）但因 ，故 .原題獲證。(三)、在不等式兩端取變限積分證明新的不等式12例16 證明：x>0時，.（吉林大學 1982）證 已知 （x>0，只有時等號才成立）。在此式兩端同時取0,x上的積分，得 (x>0).再次取0,x上的積分，得 (x>0).第三次取0,x上的積分，得 (x>0).即 (x>0).繼續(xù)在0,x上積分兩次，可得<x-+. 證畢。(四)、利用積分性質(zhì)證明不等式15定理 設函數(shù) f (x) 與 g (x) 為定義在a ,b上的兩個可積函數(shù)，若f (x) g (x) ，xa ,b則例17 證明不等式 ,(0<)證 不等式的左邊=-=，右邊=，令 =,在n, m上是可積函數(shù)，由定理8有： 0+ 0此式是一個恒大于0的二次三項不等式，滿足 = 4- 4= -0, 0 , m - n 0 (五)、利用積分中值定理證明不等式13定理 若函數(shù) f (x) 在a ,b上可積，且存在原函數(shù)則至少存在一點a,b使得=例18 證明不等式+>+1證 不等式變形為-1>-，左邊:-1=右邊: - =。注意到<<12, 1<<5<，因此有+>+1例19 利用積分中值定理證明： （2-6）分析 如果由積分值公式來估計定積分的值,只能得出 (2-7)其中M與m分別是在a ,b上的最大值與最小值，顯然這是一個很粗略的估計，如果改由中值公式來估計，設，,則有 （2-8）一般說來,估計式(2-8)比(2-7)較為精細.證 這里使用估計式(2-8),取,算出 ,由此看到，（2-6）的右部不等式得證；而左部不等式尚差稍許，為此可用以下方法來彌補：，這就可以證得（2-6）的左部不等式也成立。證明積分不等式是一門藝術，它具有自己獨到豐富的技術手法；在此，我們充分利用微積分的知識來證明不等式，使一些復雜的不等式的證明得到更加簡潔的證明，也使得一些不等式的證明變得一題多解，更加說明微積分在我們證明不等式中具有舉足輕重的作用。例20 證明不等式證 0，故0即 +2+0上式左端為2的二次三項式，故其判別式不大于0，即 4-40得 .例21 已知函數(shù) (xR, x,nN+)的最小值為,最大值為，記 ,求證：.證明 因為 x ，所以 y 1, 則=0即 0 y 所以 所以 所以不等式成立。例22 設在a ,b上有連續(xù)的導數(shù)，證明Euler求和公式： （2-9）此地表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，表函數(shù)在( a ,b上各整數(shù)點處的值之和。證 分不同情況證。若 ，則，此時，（2-9）式的右端也將等于0，這是因為按分部積分法有 所以公式成立。若，記 （2-10）其中 （2-11） （2-12）因為 代入（2-12）式后得 （2-13）將（2-11）式和（2-13）式代入（2-10）式中，就可得到（2-9）式。結束語科學研究跨入了新世紀的門檻,我們看到,數(shù)學學科一方面在回顧學科發(fā)展歷程,另一方面也在展望學科的發(fā)展前景。數(shù)學分析中的定積分計算和積分不等式的學習研究方法主要通過典型例題分析和知識點的概括來完成，也會適當?shù)倪x取一些競賽題和考研題進行分析。我們要從數(shù)學分析的典型問題中學習解題方法，歸納出新的方法和技巧。定積分計算中的換元法與分部積分法是計算定積分的兩個基本方法。在使用定積分的換元法時，首先要注意這種方法對于變量代換函數(shù)的要求應該得到滿足，否則，就會得到錯誤的結果；其次要注意的是，當作了變量代換引入新的積分變量時，定積分的積分上限與積分下限也必須隨之作相應的變換，即所謂“換元須同時換限”。運用定積分的換元積分法與分部積分法可以得到一些與被積函數(shù)性質(zhì)有關的積分公式及一些重要積分的積分值，它們是十分有用的，應該熟練掌握。在此基礎上我們再進一步研究其深層的意義，我們把有些雖然可積但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達的函數(shù)，或者無法應用NewtonLeibniz公式計算的函數(shù)，運用定積分的積分值估計的方法進行計算。致 謝本文是在 教授的悉心指導下完成的，他淵博的知識、嚴謹?shù)目蒲凶黠L、認真負責的工作態(tài)度是我們畢業(yè)生學習的榜樣。從論文的修改到定稿，歐老師都付出了大量的精力和心血，給以我很大的幫助。沒有他的精心指導和幫助，本文是不可能順利完成的。至此論文完成之際，向歐老師致以誠摯的謝意！同時也要感謝在我大學四年學習生活中，數(shù)學系的領導和老師對我的關心、教育和培養(yǎng)。參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析M.北京:高等教育出版社,2003. 2 李文榮,分析中的問題研究M.北京:中國工人出版社,2001.3 裴禮文,數(shù)學分析中的典型問題與方法M.北京:高等教育出版社,2004.4 趙煥光,林長勝.數(shù)學分析（上冊）M.成都:四川大學出版社(第1版),2006.5 費定暉,周學圣.吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解（三）M.濟南:山東科學技術出版社,1999.6 王曉敏,李曉奇,惠興杰.數(shù)學分析學習方法與解題指導M.沈陽:東北大學出版社,2005.7 林源渠,方企勤.數(shù)學分析解題指南M.北京:北京大學出版社,2004.8 明清河.數(shù)學分析的思想與方法M.山東:山東大學出版社,2004.9 徐利治,王興華.數(shù)學分析的方法及例題選講M.北京:高等教育出版社,1984.10 翁耀明.一類反函數(shù)的簡捷積分法J大學數(shù)學.2003.4的91-93頁11 汪林.數(shù)學分析中的問題和反例M.昆明:云南科技出版社,1990.12 李鐵木.分析提綱與命題證明（第一冊）.北京:宇航出版社,1986.13 吳良森,毛羽輝,韓士安,吳畏.數(shù)學分析學習指導書（上冊）M.北京:高等教育出版社,2004.14 強文久,李元章,黃雯榮.數(shù)學分析的基本概念與方法M.北京:高等教育出版社,1989.15 崔寶同,王海濱等.數(shù)學分析的理論與方法M.北京:科學技術文獻出版社出版,1990.16 R.柯朗,F.約翰.微積分和數(shù)學分析引論（第二卷 第一分冊）M.北京:科學出版社,2005.17 Walter, Rualin, Date. 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