定積分的計(jì)算和積分不等式數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

《定積分的計(jì)算和積分不等式數(shù)學(xué)畢業(yè)論文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《定積分的計(jì)算和積分不等式數(shù)學(xué)畢業(yè)論文（19頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 定積分的計(jì)算和積分不等式定積分的計(jì)算和積分不等式摘要：本文首先介紹了定積分的幾種計(jì)算方法：牛頓萊布尼茲公式，分部積分法，換元積分法，積分值的估計(jì)。其次再介紹了積分不等式的幾種證明：用微分學(xué)的方法證明積分不等式，利用被積函數(shù)的不等式證明積分不等式，在不等式兩端取變限積分證明新的不等式，利用積分性質(zhì)證明不等式，利用積分中值定理證明不等式。關(guān)鍵字：定積分；牛頓萊布尼茲公式；分部積分法；換元積分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly

2、 introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to pro

3、ve integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word: Definite integral;

4、 Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution.引言數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)中一門重要的基礎(chǔ)課，定積分的計(jì)算和積分不等式無疑是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的方面。定積分的思想源遠(yuǎn)流長，古希臘德謨克利特的“數(shù)學(xué)原子論”、阿基米德的“窮竭法”、劉徽的“割圓術(shù)”都是積分思想的雛形，并且用這些方法求出了不少幾何形體的面積和體積；然而這些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以嚴(yán)密的理論為基礎(chǔ)的。隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，借助于生產(chǎn)力空前發(fā)展的強(qiáng)大推動(dòng)，出現(xiàn)了開普勒的“同維無窮小方法”，卡瓦列利的“不可分量法

5、”、費(fèi)馬的“分割求和方法”，到17世紀(jì)終于發(fā)生了由量變到質(zhì)變的飛躍。牛頓與萊布尼茲揭示了微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系微積分基本定理，從而產(chǎn)生了威力無比的微積分，使數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)跨入了變量數(shù)學(xué)，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元。這就是定積分的背景。定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數(shù)學(xué)史上，而且是科學(xué)思想史上的重要里程碑?，F(xiàn)在定積分已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)等領(lǐng)域。在高等數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、其他的知識領(lǐng)域以及人們在生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中具有普遍的意義，很多問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與定積分中求“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一樣的。我們使定積分真正成為解決許多實(shí)際問題的有力工具，促進(jìn)了積分學(xué)的迅速發(fā)展。定積分的計(jì)

6、算和積分不等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，定積分的計(jì)算方法豐富多彩，許多積分不等式具有重要的應(yīng)用價(jià)值。所以我們要研究定積分的計(jì)算和積分不等式的目的就是：1學(xué)會用定積分解決問題，進(jìn)一步體會學(xué)習(xí)定積分的必要性。2.掌握定積分的常用計(jì)算方法，如變限的定積分的概念，微積分的基本定理和換元積分法及分部積分法等。3.了解積分不等式的常用的證明方法。4.了解定積分相關(guān)的知識的綜合應(yīng)用。定積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中。許多問題都可以歸結(jié)為計(jì)算定積分的問題。在定積分中，不僅概念多，而且定理，公式亦處處可見，因此對定理，公式要深入的把握。因此，定積分的計(jì)算是很重要的。在計(jì)算中，如能直接應(yīng)用公式，

7、則將會既簡捷，又準(zhǔn)確，起到事半功倍的作用。在本文中，本人首次嘗試對其中一個(gè)定理進(jìn)行證明以及一些計(jì)算，下面我們就定積分的計(jì)算和積分不等式此論題進(jìn)行討論。一、定積分的計(jì)算(一)、牛頓萊布尼茲公式1、定理4（牛頓萊布尼茲公式）：若函數(shù)f在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)F ，即=，xa,b，則f在a,b上可積，且=- 這稱為牛頓萊布尼茲公式，它也常寫成=|注（i）牛頓萊布尼茲公式簡稱NL公式，它是微積分的核心定理，最初分別由牛頓與萊布尼茲在17世紀(jì)下半葉獨(dú)立得到，柯西在19世紀(jì)初給出精確敘述與證明，黎曼在19世紀(jì)中葉給予完善，達(dá)布在1875年給出現(xiàn)在這種表達(dá)形式。（ii）NL公式的證明可由Riemann積

8、分的定義及微分中值定理（作用在F上）可推得。例1 說明“使用”牛頓-萊布尼茲公式為何產(chǎn)生下列錯(cuò)誤？ （1）=2 ； （2）=0 .解 （1）中被積函數(shù)無界、不可積；（2）中被積函數(shù)在間斷點(diǎn)x =處極限存在，故可積，但是在x =處有無窮間斷點(diǎn)，因此不合公式條件。例2 計(jì)算誤解：可以證明=則由微積分基本公式得：=0分析：因?yàn)?=0所以 0顯然上述結(jié)論是錯(cuò)誤的。原因：原函數(shù)=在0，2上有間斷點(diǎn)X=1。正確的解法：令 則在0，2上連續(xù)且=所以，由上述定理3知 =-=+ 0 -0 =例3 利用定積分求下列極限 = J （1-1）解 這類問題的解題思想，是要把所求極限化為某個(gè)函數(shù)f ( x )在某一區(qū)間a

9、 ,b上的積分和的極限。然后利用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算J = 的值。由（1-1）式中的根式不是一個(gè)和式，而是一個(gè)連乘積，因此可望通過求對數(shù)后化為累加形式，為此記不難看出，是函數(shù)在區(qū)間0，1上對應(yīng)于n等分分割，并取，i =1,2, n 的一個(gè)積分和。由于 在0，1上連續(xù)，且存在原函數(shù)，故由定理知道0，1，且有。于是就可求得. 注：上面也可看作在1，2上的一個(gè)積分和，或者，是在2，3上的一個(gè)積分和，亦即 。 (二)、定積分換元積分法和分部積分法1、定理4（定積分換元積分法）：若函數(shù)f在a ,b上連續(xù)，在 , 上有連續(xù)可微，且滿足= a，= b，a b，t , ，則有定積分換元公式：=.注（i）定積分

10、換元積分公式由復(fù)合函數(shù)微分法及NL公式可得。(ii)定積分換元積分法實(shí)際上是不定積分第二換元積分法的直接應(yīng)用，只不過使用時(shí)有較大差別：在這里換元之后變量不需回代，但積分限要跟著更換（在去掉根號的情形下須注意函數(shù)的符號）。(iii)對應(yīng)于不定積分中的第一換元法（即湊微分法），在這里可以不加變動(dòng)地直接應(yīng)用，而且積分限也不需作更改（即仍然采用原來的積分變量）。（iv）（注意：文中以下提到的C是連續(xù)函數(shù)的集合，R是Riemann可積函數(shù)的集合，在此說明。不另外提示。） ,可減弱為R ,。進(jìn)一步，定積分換元積分公式中的f a ,b可減弱為f a ,b，但若的條件稍許加強(qiáng)（證明較為復(fù)雜），則有以下的命題成

11、立：若f a ,b，： ,a ,b是一一映射而且還滿足=，=，a ,b，那么有=.證 設(shè)a b,（即為增函數(shù)）。對任何分割通過令，i=1,2,n得到對a ,b的一個(gè)分割.由于在 ,上一致連續(xù)，故當(dāng)時(shí)必有，i=1,2,n，作積分和；令，并記.由于，使，i=1,2,n，因此有 .于是，由假設(shè)，可知另一方面，當(dāng)設(shè)，時(shí)，由在 ,上一致連續(xù)，使時(shí)，恒有 ，i=1,2,n.于是又有 .由此可見， 即 例4 計(jì)算解1 令，得。有.解2 令，得，有。解3 令，得，有.小結(jié) 例4的三種解法借助于換元積分法，巧妙地運(yùn)用了對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的公式進(jìn)行恒等變形，從而實(shí)現(xiàn)了被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化。例5 設(shè)函數(shù)和在對稱區(qū)間上連續(xù)

12、。若滿足條件(常數(shù))且是偶函數(shù)，證明：并由此計(jì)算積分 (此題是1995年考研試題(三)中的第八題。)證 因?yàn)楹瘮?shù)和在對稱區(qū)間上連續(xù)，得 其中，將代入下式：. 因此， 證明成立。那么根據(jù)上述題目已知，我們在中很容易發(fā)現(xiàn)，就是上述的，就是上述的，所以由我們所證的可得 由上面的結(jié)論可知 ，那么 即 .所以 ， 代入 .得 .再來看 = = 2所以 =.例6 證明：（1），；（2）若f 在0,1上連續(xù)，且滿足，k=0,1,n-1,則有 .證 （1）利用換元積分法，可得（2）首先，由條件可知 ；又由積分第一中值定理，使得 ；再由上面（1），又得 .這就證得 .2、定理（定積分分部積分法）4：若、為a ,

13、b上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分部積分公式： .注 （i）分部積分可由乘積微分法則及N-L公式直接證之。（ii）分部積分公式可連續(xù)使用n次，即利用數(shù)學(xué)歸納法及分部積分公式可得下面的命題：若u、v具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有 (n=1,2,3,)。例7 設(shè)f 在a ,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且f (a) = f (b) =0。證明：（1）；（2）.證 （1）利用分部積分法，可得 移項(xiàng)后即得結(jié)論成立。（2）一種證法是直接利用（1）的結(jié)論：其中的 .例8 設(shè)f 連續(xù)，f (1) = 1, .試求：.解 令 2x - t = u, 則于是有 兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 再令x=1可得.3、用定積分換元積分法與分

14、部積分法推得的某些特殊結(jié)論：1(1)、若f (x) 為以 p為周期的連續(xù)周期函數(shù)，則有（2）、若，則 （3）、若，則；（4）、若，則；（5）、沃利斯（Wallis）公式： ；（6）、帶積分余項(xiàng)的泰勒公式：若f (x) 在a ,b上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么，,有，即，稱此為泰勒公式的積分余項(xiàng).例9 （00, b 0 .解 因?yàn)?令 ，所以 .這個(gè)變量代換的定積分，注意到被積式是正、余弦的齊次式，倒也不算多難。但是回頭看一下，便會發(fā)現(xiàn)：被積函數(shù)中，積分變量的取值并無限制。為什么積分區(qū)間只能取0，豈不大大的限制了它的適用范圍！細(xì)看一下，這樣限制區(qū)間，完全是因變量代換（）所致。為擴(kuò)大范圍，先利用變量代換，

15、則時(shí)，時(shí)， .所以 這樣，就可把0，上的積分化成兩個(gè)0，上的積分即有 故 . 此式還反映了被積函數(shù)關(guān)于的對稱性，利用，互換，積分值不變。故在，上的積分與在0，上的積分相同。又因與周期為，于是原積分在任意區(qū)間上的積分都不難求出。(三)、積分值估計(jì)3有些函數(shù)雖然可積，但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達(dá)?；蛘f這種函數(shù)的積分“積不出”，無法應(yīng)Newton-Leibniz公式計(jì)算，只能用其他方法對積分值進(jìn)行估計(jì)，或近似計(jì)算。另一種情況是，被積函數(shù)沒有明確給出，只知道他的結(jié)構(gòu)或某些性質(zhì)，希望對積分值給出某種估計(jì)。（1）利用Darboux和估計(jì)積分值若，表示積分的下、上Darboux和，那么積分存在時(shí)，有

16、估計(jì).例12 求A，B，使得要求（北京師范1984）解 將區(qū)間0，1 n等分，利用的單調(diào)性，每個(gè)小區(qū)間上，端點(diǎn)到達(dá)上、下確界因此 ，這時(shí) ，要使 ，只要取，于是 ，.（2）利用變形求估計(jì)及估計(jì)的應(yīng)用若f (x) 在a ,b上可積，一般來說我們可以通過各種變形來對積分之值進(jìn)行估計(jì)。例如用變量替換、分部積分、中值公式、Taylor公式等，使積分邊成易于估計(jì)的形式。另外被積函數(shù)放大、縮小，區(qū)間放大和縮小也是獲得估計(jì)的重要方法。例13 證明.（蘇聯(lián)高校競賽1976）證 令作變換在中作變換， .于是 .在內(nèi)，被積函數(shù) . 個(gè)別點(diǎn)不影響積分值。由例13知。若f (x) ，g (x) 在,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則.

17、若f (x) ，g (x) 在,上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則反復(fù)利用分部積分法可得.此式給出了一個(gè)重要的變形。二、積分不等式在積分不等式中，證明的難度較大，技巧性較強(qiáng)，涉及知識面較廣的問題，本文在高等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)，給出了證明積分不等式的幾種基本方法。我們把聯(lián)系兩個(gè)以上的定積分的不等式，稱為積分不等式。關(guān)于積分不等式，有不少著名的結(jié)果，我們將在這里只介紹證明積分不等式的幾種基本方法以及計(jì)算。(一)、用微分學(xué)的方法證明積分不等式11例14 設(shè) f (x) 在0，1上可微，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，0。（上海交大1980前）證 問題在于證明1。令 ，利用Cauchy中值定理 (01) (00時(shí)，.（吉林大學(xué) 19

18、82）證 已知 （x0，只有時(shí)等號才成立）。在此式兩端同時(shí)取0,x上的積分，得 (x0).再次取0,x上的積分，得 (x0).第三次取0,x上的積分，得 (x0).即 (x0).繼續(xù)在0,x上積分兩次，可得x-+. 證畢。(四)、利用積分性質(zhì)證明不等式15定理 設(shè)函數(shù) f (x) 與 g (x) 為定義在a ,b上的兩個(gè)可積函數(shù)，若f (x) g (x) ，xa ,b則例17 證明不等式 ,(0+1證 不等式變形為-1-，左邊:-1=右邊: - =。注意到12, 15+1例19 利用積分中值定理證明： （2-6）分析 如果由積分值公式來估計(jì)定積分的值,只能得出 (2-7)其中M與m分別是在a

19、,b上的最大值與最小值，顯然這是一個(gè)很粗略的估計(jì)，如果改由中值公式來估計(jì)，設(shè)，,則有 （2-8）一般說來,估計(jì)式(2-8)比(2-7)較為精細(xì).證 這里使用估計(jì)式(2-8),取,算出 ,由此看到，（2-6）的右部不等式得證；而左部不等式尚差稍許，為此可用以下方法來彌補(bǔ)：，這就可以證得（2-6）的左部不等式也成立。證明積分不等式是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到豐富的技術(shù)手法；在此，我們充分利用微積分的知識來證明不等式，使一些復(fù)雜的不等式的證明得到更加簡潔的證明，也使得一些不等式的證明變得一題多解，更加說明微積分在我們證明不等式中具有舉足輕重的作用。例20 證明不等式證 0，故0即 +2+0上式左端為2

20、的二次三項(xiàng)式，故其判別式不大于0，即 4-40得 .例21 已知函數(shù) (xR, x,nN+)的最小值為,最大值為，記 ,求證：.證明 因?yàn)?x ，所以 y 1, 則=0即 0 y 所以 所以 所以不等式成立。例22 設(shè)在a ,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，證明Euler求和公式： （2-9）此地表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，表函數(shù)在( a ,b上各整數(shù)點(diǎn)處的值之和。證 分不同情況證。若 ，則，此時(shí)，（2-9）式的右端也將等于0，這是因?yàn)榘捶植糠e分法有 所以公式成立。若，記 （2-10）其中 （2-11） （2-12）因?yàn)?代入（2-12）式后得 （2-13）將（2-11）式和（2-13）式代入（2-10）式中

21、，就可得到（2-9）式。結(jié)束語科學(xué)研究跨入了新世紀(jì)的門檻,我們看到,數(shù)學(xué)學(xué)科一方面在回顧學(xué)科發(fā)展歷程,另一方面也在展望學(xué)科的發(fā)展前景。數(shù)學(xué)分析中的定積分計(jì)算和積分不等式的學(xué)習(xí)研究方法主要通過典型例題分析和知識點(diǎn)的概括來完成，也會適當(dāng)?shù)倪x取一些競賽題和考研題進(jìn)行分析。我們要從數(shù)學(xué)分析的典型問題中學(xué)習(xí)解題方法，歸納出新的方法和技巧。定積分計(jì)算中的換元法與分部積分法是計(jì)算定積分的兩個(gè)基本方法。在使用定積分的換元法時(shí)，首先要注意這種方法對于變量代換函數(shù)的要求應(yīng)該得到滿足，否則，就會得到錯(cuò)誤的結(jié)果；其次要注意的是，當(dāng)作了變量代換引入新的積分變量時(shí)，定積分的積分上限與積分下限也必須隨之作相應(yīng)的變換，即所謂

22、“換元須同時(shí)換限”。運(yùn)用定積分的換元積分法與分部積分法可以得到一些與被積函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的積分公式及一些重要積分的積分值，它們是十分有用的，應(yīng)該熟練掌握。在此基礎(chǔ)上我們再進(jìn)一步研究其深層的意義，我們把有些雖然可積但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達(dá)的函數(shù)，或者無法應(yīng)用NewtonLeibniz公式計(jì)算的函數(shù)，運(yùn)用定積分的積分值估計(jì)的方法進(jìn)行計(jì)算。致 謝本文是在 教授的悉心指導(dǎo)下完成的，他淵博的知識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目蒲凶黠L(fēng)、認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度是我們畢業(yè)生學(xué)習(xí)的榜樣。從論文的修改到定稿，歐老師都付出了大量的精力和心血，給以我很大的幫助。沒有他的精心指導(dǎo)和幫助，本文是不可能順利完成的。至此論文完成之際，向歐老師

23、致以誠摯的謝意！同時(shí)也要感謝在我大學(xué)四年學(xué)習(xí)生活中，數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師對我的關(guān)心、教育和培養(yǎng)。參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2003. 2 李文榮,分析中的問題研究M.北京:中國工人出版社,2001.3 裴禮文,數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京:高等教育出版社,2004.4 趙煥光,林長勝.數(shù)學(xué)分析（上冊）M.成都:四川大學(xué)出版社(第1版),2006.5 費(fèi)定暉,周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（三）M.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1999.6 王曉敏,李曉奇,惠興杰.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)方法與解題指導(dǎo)M.沈陽:東北大學(xué)出版社,2005.7 林源渠,方企勤.數(shù)學(xué)

24、分析解題指南M.北京:北京大學(xué)出版社,2004.8 明清河.數(shù)學(xué)分析的思想與方法M.山東:山東大學(xué)出版社,2004.9 徐利治,王興華.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講M.北京:高等教育出版社,1984.10 翁耀明.一類反函數(shù)的簡捷積分法J大學(xué)數(shù)學(xué).2003.4的91-93頁11 汪林.數(shù)學(xué)分析中的問題和反例M.昆明:云南科技出版社,1990.12 李鐵木.分析提綱與命題證明（第一冊）.北京:宇航出版社,1986.13 吳良森,毛羽輝,韓士安,吳畏.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上冊）M.北京:高等教育出版社,2004.14 強(qiáng)文久,李元章,黃雯榮.數(shù)學(xué)分析的基本概念與方法M.北京:高等教育出版社,1989.15 崔寶同,王海濱等.數(shù)學(xué)分析的理論與方法M.北京:科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社出版,1990.16 R.柯朗,F.約翰.微積分和數(shù)學(xué)分析引論（第二卷 第一分冊）M.北京:科學(xué)出版社,2005.17 Walter, Rualin, Date. Prinliples of Mathematical AnalysisM.北京:世界圖書出版公司,1976.18 G. S. Gill. The Calculus BibleM.:the Brigham Young University Mathematics Department,2004.- 19 -