2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念同步學(xué)案 新人教A版選修1 -2.docx

3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)系的擴(kuò)充過程與引入復(fù)數(shù)的必要性.2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其代數(shù)形式.3.掌握實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系及復(fù)數(shù)相等的充要條件.4.利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件解決實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)一對(duì)虛數(shù)單位的理解在實(shí)數(shù)集中，有些方程是無解的，例如x210，為此，人們引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i，并且規(guī)定：(1)它的平方等于1，即i21；(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的概念與分類思考為解決方程x22在有理數(shù)范圍內(nèi)無根的問題，數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；那么怎樣解決方程x210在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢？答案設(shè)想引入新數(shù)i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同時(shí)得到一些新數(shù)梳理(1)復(fù)數(shù)定義：把集合Cabi|a，bR中的數(shù)，即形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式(2)復(fù)數(shù)集定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集表示：通常用大寫字母C表示知識(shí)點(diǎn)三兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件思考由4>2能否推出4i>2i?答案不能當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小梳理在復(fù)數(shù)集Cabi|a，bR中任取兩個(gè)數(shù)abi，cdi (a，b，c，dR)，我們規(guī)定：abi與cdi相等的充要條件是ac且bd.知識(shí)點(diǎn)四復(fù)數(shù)的分類(1)復(fù)數(shù)(abi，a，bR)(2)集合表示：1若a，b為實(shí)數(shù)，則zabi為虛數(shù)()2復(fù)數(shù)zbi是純虛數(shù)()3若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等()類型一數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念例1(1)在2，i,0,85i，(1)i,0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3(2)給出下列四個(gè)命題：若zC，則z20；2i1的虛部是2i；復(fù)數(shù)34i的實(shí)部與復(fù)數(shù)43i的虛部相等；若aR，則(a1)i是純虛數(shù)其中真命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案(1)C(2)A解析(1)i，(1)i為純虛數(shù)；2，0,0.618是實(shí)數(shù)；85i是虛數(shù)(2)對(duì)于，當(dāng)zR時(shí)，z20成立，否則不一定成立，如zi，z21<0，所以為假命題對(duì)于，2i112i，其虛部為2，不是2i，所以為假命題對(duì)于，復(fù)數(shù)34i的實(shí)部為3，復(fù)數(shù)43i的虛部為3，因此為假命題對(duì)于，當(dāng)a1時(shí)，(a1)i為實(shí)數(shù)，所以為假命題，因此四個(gè)命題都是假命題反思與感悟(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若zabi，只有當(dāng)a，bR時(shí)，a才是z的實(shí)部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分(3)舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可，所以解答判斷命題真假類題目時(shí)，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答跟蹤訓(xùn)練1下列命題：1i20；若x2y20，則xy0；兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小是真命題的為_(填序號(hào))考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案解析當(dāng)xi，y1時(shí)，x2y20，所以錯(cuò)所以正確類型二復(fù)數(shù)的分類例2求當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z(m25m6)i分別是：(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類解(1)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是解得m3且m2.當(dāng)m3且m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是解得即m3.當(dāng)m3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)引申探究1若本例條件不變，m為何值時(shí)，z為實(shí)數(shù)解由已知得，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，虛部為m25m6.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是解得即m2.當(dāng)m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)2已知i是虛數(shù)單位，mR，復(fù)數(shù)z(m22m15)i，則當(dāng)m_時(shí)，z為純虛數(shù)答案3或2解析由題意知解得m3或2.反思與感悟根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，對(duì)于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)b0時(shí)，zR；當(dāng)且僅當(dāng)a0且b0時(shí)，z為純虛數(shù)要充分理解復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的等價(jià)條件，切不可忘記復(fù)數(shù)zabi(a，bR)為純虛數(shù)的另一個(gè)必要條件是b0，計(jì)算中分母不為0也不可忽視跟蹤訓(xùn)練2已知復(fù)數(shù)zm(m1)(m22m3)i，當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是(1)零；(2)純虛數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類解(1)因?yàn)閦是零，所以解得m1.故當(dāng)m1時(shí)，z是零(2)因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以解得m0.故當(dāng)m0時(shí)，z是純虛數(shù)類型三復(fù)數(shù)相等及應(yīng)用例3若關(guān)于x的方程(1i)x22(ai)x53i0(aR)有實(shí)數(shù)解，求a的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)利用復(fù)數(shù)相等解決一元二次方程解將原方程整理，得(x22ax5)(x22x3)i0.設(shè)方程的實(shí)數(shù)解為x0，代入上式得(x2ax05)(x2x03)i0.由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得得a或a3.反思與感悟已知兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)值的問題，可根據(jù)相等的定義將其轉(zhuǎn)化為方程(組)來求解當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等時(shí)，應(yīng)先分清兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后讓實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等跟蹤訓(xùn)練3(1)滿足x3i(8xy)i的實(shí)數(shù)x，y的值為()Ax0且y3Bx0且y3Cx5且y3Dx3且y0考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的條件答案A解析依題意得解得故選A.(2)已知A1,2，(a23a1)(a25a6)i，B1,3，AB3，求實(shí)數(shù)a的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的條件解由題意，得(a23a1)(a25a6)i3，解得a1.1已知復(fù)數(shù)z1i，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()z的實(shí)部為1；z>0；z的虛部為i.A1B2C3D0考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案A解析易知正確，錯(cuò)誤，故選A.2下列各數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)是()2，i，i2,5i8，i213i,0.618ai(aR)A0B1C2D3考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案C解析由純虛數(shù)的定義知，i，i213i3i是純虛數(shù)3復(fù)數(shù)z1sin2icos，z2cosisin(R)，若z1z2，則等于()Ak(kZ) B2k(kZ)C2k(kZ) D2k(kZ)考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的條件答案D解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件可知，cos，sin，2k，kZ，故選D.43i27i的實(shí)部為_，虛部為_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部答案37解析3i27i37i，實(shí)部為3，虛部為7.5已知復(fù)數(shù)zm(m21)i(mR)滿足z<0，則m_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案1解析z<0，z為實(shí)數(shù)且小于0，解得m1.1對(duì)于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況2兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件進(jìn)行判斷一、選擇題1對(duì)于復(fù)數(shù)abi(a，bR)，下列說法正確的是()A若a0，則abi為純虛數(shù)B若a(b1)i32i，則a3，b3C若b0，則abi為實(shí)數(shù)D1的平方等于i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案C解析對(duì)于A，當(dāng)a0時(shí)，abi也可能為實(shí)數(shù)；對(duì)于B，若a(b1)i32i，則a3，b1；對(duì)于D,1的平方仍為1.故選C.2i是虛數(shù)單位，ii2i3等于()A1B1CiDi考點(diǎn)虛數(shù)單位i及其性質(zhì)題點(diǎn)虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)答案A解析ii2i3i1i1.3已知復(fù)數(shù)z113i的實(shí)部與復(fù)數(shù)z21ai的虛部相等，則實(shí)數(shù)a等于()A3B3C1D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的條件答案C解析易知13i的實(shí)部為1，1ai的虛部為a，則a1.4復(fù)數(shù)i的虛部為()A2BC2D0考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部答案C5復(fù)數(shù)za2b2(a|a|)i(a，bR)為實(shí)數(shù)的充要條件是()A|a|b|Ba<0且abCa>0且abDa0考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案D解析復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是a|a|0，即|a|a，得a0，故選D.6若復(fù)數(shù)(a23a2)(a1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A1B2C1或2D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案B解析因?yàn)閺?fù)數(shù)(a23a2)(a1)i是純虛數(shù)，所以解得a2.7已知關(guān)于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有實(shí)數(shù)根n，且zmni，則復(fù)數(shù)z等于()A3iB3iC3iD3i考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)利用復(fù)數(shù)相等解決一元二次方程答案B解析由題意知n2(m2i)n22i0，即解得z3i.8若(xy)ix1(x，yR)，則2xy的值為()A.B2C0D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的條件答案D解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，解得xy0.2xy201.二、填空題9若43aa2ia24ai，則實(shí)數(shù)a的值為_考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的條件答案4解析易知解得a4.10已知實(shí)數(shù)a，x，y滿足a22a2xy(axy)i0，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的條件答案(x1)2(y1)22解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，消去a，得x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.11設(shè)mR，m2m2(m21)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案2解析由解得m2.三、解答題12當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m22m)i為(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解(1)當(dāng)即m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)(2)當(dāng)m22m0且m0，即m0且m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)(3)當(dāng)即m3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)13已知復(fù)數(shù)za21(a23a2)i，aR.(1)若z是純虛數(shù)，求a的值；(2)若z是虛數(shù)，且z的實(shí)部比虛部大，求a的取值范圍考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解復(fù)數(shù)za21(a23a2)i，aR.(1)若z是純虛數(shù)，可得a210，a23a20，解得a1.(2)若z是虛數(shù)，且z的實(shí)部比虛部大，可得a21>a23a20，解得a>1或a<且a2.所以a的取值范圍為(1,2)(2，)四、探究與拓展14已知(mn)(m23m)i1，且mR，nN*，則mn_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案1或2解析由題意得由，得m0或m3.當(dāng)m0時(shí)，由(mn)1，得0<n2，n1或n2.當(dāng)m3時(shí)，由(mn)1，得0<n32，3<n1，即n無正整數(shù)解m，n的值分別為m0，n1或m0，n2.故mn的值為1或2.15已知關(guān)于x的方程x2(12i)x(3mi)0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等解決一元二次方程問題解設(shè)a為方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則有a2(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)i0.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得故實(shí)數(shù)m的值為.