2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 解析幾何 第8講 軌跡與方程課時作業(yè) 理.doc

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第8講　軌跡與方程 1．當(dāng)動點A在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B(3,0)連線的中點M的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D.2＋y2＝ 2．已知橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一個動點，延長F1P到點Q，使|PQ|＝|PF2|，則動點Q的軌跡為(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線 3．若AB是過橢圓＋＝1(a>b>0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM，BM與兩坐標(biāo)軸均不平行，kAM，kBM分別表示直線AM，BM的斜率，則kAMkBM＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 4．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1 的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝4y B．x2＝8y C．x2＝4 y D．x2＝8 y 5．記點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點A的距離相等的點的軌跡不可能是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．直線 6．(2017年天津)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120，則圓的方程為____________． 7．長為3的線段AB的端點A，B分別在x，y軸上移動，動點C(x，y)滿足＝2，則動點C的軌跡方程為________________． 8．已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個動點，線段AB的長為2 ，P是AB的中點，則動點P的軌跡C的方程為____________． 9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左右焦點． (1)設(shè)橢圓C上的點到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于2 ，寫出橢圓C的方程； (2)設(shè)過(1)中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF1的面積； (3)在(1)的條件下，設(shè)點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPMkPN的值是否與點P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論． 10．(2016年新課標(biāo)Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點． (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程． 第8講　軌跡與方程 1．C 2．A　解析：|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴動點Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓． 3．B　解析：方法一(直接法)：設(shè)A(x1，y1)，M(x0，y0)，則B(－x1，－y1)，kAMkBM＝ ＝ ＝＝－. 方法二(特殊值法)：因為四個選項為確定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAMkBM＝－. 4．D　解析：由題意，可得雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0.由e＝＝＝，得b＝a，∴c＝＝a.又拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點坐標(biāo)為，故焦點到漸近線的距離d＝＝＝2.∴p＝＝4 .∴拋物線C2的方程為x2＝8 y. 5．D　解析：若點A在圓C內(nèi)，如圖D135(1)，有|PA|＝|PB|，|PA|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝|BC|(為定值)，其軌跡為橢圓； (1) 　(2) (3) 圖D135 若點A在圓C外，如圖，有|PA|＝|PB|，|PC|－|PA|＝|PC|－|PB|＝|BC|(為定值)，其軌跡為雙曲線的一支； 若點A與圓C的圓心重合，如圖，其軌跡為圓； 若點A在圓C上，其軌跡為射線．故選D. 6．(x＋1)2＋(y－)2＝1　解析：如圖D136，圓心C的坐標(biāo)設(shè)為(－1，b)，顯然半徑r＝1，又∠FAC＝120，則∠FAO＝30，OF＝1，則OA＝b＝.所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1. 圖D136 7．x2＋＝1　解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a2＋b2＝9.又C(x，y)，則由＝2，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)．即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋＝1. 8.＋y2＝1　解析：設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵P是線段AB的中點，∴?、? ∵A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的點， ∴y1＝x1，y2＝－x2. 代入①，得?、? 又||＝2 ，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12. ∴12y2＋x2＝12. ∴動點P的軌跡C的方程為＋y2＝1. 9．解：(1)由于點在橢圓上， 所以解得 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由(1)知橢圓C的左、右焦點分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1，0)，|F1F2|＝2， 所以過橢圓的焦點F2且斜率為1的直線方程為y＝x－1. 將其代入＋y2＝1，整理，得3x2－4x＝0. 解得x1＝0，x2＝. 當(dāng)x1＝0時，y1＝－1；當(dāng)x2＝時，y2＝. ＝＋＝|F1F2|＋|F1F2|＝21＋2＝. (3)過原點的直線l與橢圓＋y2＝1相交的兩點M，N關(guān)于坐標(biāo)原點對稱， 設(shè)M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)， 得＋y＝1，＋y2＝1. 兩式相減，得＝－， 又∵kPM＝，kPN＝， ∴kPMkPN＝＝＝－. 故kPMkPN的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線l無關(guān)． 10．(1)證明：由題設(shè)知F.設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A，B. 則P，Q，R. 記過A，B兩點的直線為l， 則直線l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于F在線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2， 則k1＝＝＝＝＝－b＝k2. 所以AR∥FQ. (2)解：設(shè)直線l與x軸的交點為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝. 由題設(shè)可得2|b－a|＝， 所以x1＝0(舍去)，x1＝1. 方法一，設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y)． 當(dāng)AB與x軸不垂直時， 由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)． 當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合． 故所求軌跡方程為y2＝x－1. 方法二，利用點差法，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2), AB的中點為E(x，y)，直線AB過點D(1,0)． 由兩式相減得y－y＝(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，當(dāng)AB與x軸不垂直時， 得kAB＝＝＝＝＝kDE＝(x≠1)， 整理，得y2＝x－1(x≠1)． 當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，故所求軌跡方程為y2＝x－1.