高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學案 新人教A版選修12

3.2.2復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學習目標：1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算(重點、難點)2.理解復數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律(易混點)3.了解共軛復數(shù)的概念(難點)自 主 預 習探 新 知1復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則(1)復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，則z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.思考1：復數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同？提示復數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成1，再把實部、虛部分別合并(2)復數(shù)乘法的運算律對于任意z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3思考2：|z|2z2，正確嗎？提示不正確例如，|i|21，而i21.2共軛復數(shù)如果兩個復數(shù)滿足實部相等，虛部互為相反數(shù)時，稱這兩個復數(shù)為共軛復數(shù)，z的共軛復數(shù)用表示即zabi，則abi.3復數(shù)代數(shù)形式的除法法則(abi)(cdi)i(cdi0)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)實數(shù)不存在共軛復數(shù)()(2)兩個共軛復數(shù)的差為純虛數(shù)()(3)若z1，z2C，且zz0，則z1z20.()答案(1)(2)(3)2復數(shù)(32i)i等于() 【導學號：48662149】A23iB23iC23i D23iB(32i)i3i2ii23i，選B.3. 已知復數(shù)z2i，則z的值為()A5 B.C3 D.Az(2i)(2i)22i2415，故選A.4. (2i)i_. 【導學號：48662150】12i(2i)i12i.合 作 探 究攻 重 難復數(shù)乘法的運算(1)若復數(shù)(1i)(ai)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)B(，1)C(1，) D(1，)(2)計算：(12i)(34i)(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.(1)解析z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因為對應的點在第二象限，所以，解得a<1 ，故選B答案B(2)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(1i)212ii22i.規(guī)律方法1兩個復數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法則進行，注意選用恰當?shù)某朔ü竭M行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.跟蹤訓練1(1)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是()Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)(2)復數(shù)z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是_. 【導學號：48662151】(1)C(2)5(1)A項，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是純虛數(shù)B項，i2(1i)(1i)1i，不是純虛數(shù)C項，(1i)212ii22i，是純虛數(shù)D項，i(1i)ii21i，不是純虛數(shù)故選C.(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的實部是5.復數(shù)除法的運算(1)如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應的向量分別是，則復數(shù)對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限(2)計算：.(1)解析由復數(shù)的幾何意義知，z12i，z2i，所以12i，對應的點在第二象限答案B(2)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.規(guī)律方法1兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟(1)首先將除式寫為分式；(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)；(3)然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式2常用公式(1)i；(2)i；(3)i.跟蹤訓練2(1)設(shè)復數(shù)z滿足i，則|z|()A1 BC D2(2)計算：；(1)A由i得1zi(1z)，即z，zi，|z|1，選A.(2)1i.13i.共軛復數(shù)及其應用探究問題1若z，則z是什么數(shù)？這個性質(zhì)有什么作用？提示：zzR，利用這個性質(zhì)可證明一個復數(shù)為實數(shù)2若z0且z0，則z 是什么數(shù)？這個性質(zhì)有什么作用？提示：z0且z0，則z為純虛數(shù)，利用這個性質(zhì)，可證明一個復數(shù)為純虛數(shù)3三個實數(shù)|z|，|，z具有怎樣的關(guān)系？提示：設(shè)zabi，則abi，所以|z|，|，z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2|2z.(1)已知復數(shù)z，是z的共軛復數(shù)，則z等于()A.B.C1D2(2)已知復數(shù)z滿足|z|，且(12i)z是實數(shù)，求. 【導學號：48662152】思路探究：可以先設(shè)復數(shù)的代數(shù)形式，再利用復數(shù)的運算性質(zhì)求解；也可以利用共軛復數(shù)的性質(zhì)求解(1)解析法一：z，z.法二：z，|z|，z.答案A(2)設(shè)zabi(a，bR)，則(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i.又因為(12i)z是實數(shù)，所以b2a0，即b2a，又|z|，所以a2b25.解得a1，b2.所以z12i或12i，所以12i或12i，即(12i)母題探究：1.在題設(shè)(1)條件不變的情況下，求.解由例題(1)的解析可知z，z，i.2把題設(shè)(2)的條件“(12i)z是實數(shù)”換成“(12i)z是純虛數(shù)”，求.解設(shè)zabi，則abi，由例題(2)的解可知a2b，由|z|，得b1，a2；或b1，a2.所以2i，或2i.規(guī)律方法1由比較復雜的復數(shù)運算給出的復數(shù)，求其共軛復數(shù)，可先按復數(shù)的四則運算法則進行運算，將復數(shù)寫成代數(shù)形式，再寫出其共軛復數(shù)2注意共軛復數(shù)的簡單性質(zhì)的運用當 堂 達 標固 雙 基1設(shè)復數(shù)z滿足iz1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于() 【導學號：48662153】AiBiC1 D1Azi.2若復數(shù)zi(32i)(i是虛數(shù)單位)，則()A23i B23iC32i D32iAzi(32i)3i2i223i，23i.3復數(shù)(為虛數(shù)單位)的實部等于_ 【導學號：48662154】3由題可得3i，3i的實部為3.4(1i)2_.i(1i)22ii.5已知復數(shù)z1(1i)(1bi)，z2，其中a，bR.若z1與z2互為共軛復數(shù)，求a，b的值. 【導學號：48662155】解z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i, z2i.由于z1和z2互為共軛復數(shù)，所以有解得6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375