（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件學案 新人教A版選修2-1.doc

1.2充分條件與必要條件學習目標1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明知識點一充分條件與必要條件(1)“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件(2)若pq，但qp，稱p是q的充分不必要條件，若qp，但pq，稱p是q的必要不充分條件知識點二充要條件思考在ABC中，角A，B，C為它的三個內角，則“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60”的什么條件？答案因為A，B，C成等差數(shù)列，故2BAC，又因為ABC180，故B60，反之，亦成立，故“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60”的充要條件梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件(2)充要條件的實質是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果pq，那么p與q互為充要條件(3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件.若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若AB，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立(1)q是p的必要條件時，p是q的充分條件()(2)若p是q的充要條件，則p和q是兩個相互等價的命題()(3)q不是p的必要條件時，“pq”成立()類型一充分條件、必要條件、充要條件的判定例1下列各題中，試分別指出p是q的什么條件(1)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；(2)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；(3)p：AB，q：ABA；(4)p：ab，q：acbc.考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷解(1)兩個三角形相似兩個三角形全等，但兩個三角形全等兩個三角形相似，p是q的必要不充分條件(2)矩形的對角線相等，pq，而對角線相等的四邊形不一定是矩形，qp，p是q的充分不必要條件(3)pq，且qp，p既是q的充分條件，又是q的必要條件(4)pq，且qp，p是q的既不充分也不必要條件反思與感悟充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：確定誰是條件，誰是結論；嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件(2)命題判斷法：如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件跟蹤訓練1指出下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：ax2ax1>0的解集是R，q：0<a<4；(2)p：|x2|<3，q：<1；(3)p：ABA，q：ABB；(4)p：q：考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷解(1)當a0時，1>0滿足題意；當a0時，由可得0<a<4.故p是q的必要不充分條件(2)易知p：1<x<5，q：1<x<5，所以p是q的充要條件(3)因為ABAABB，所以p是q的充要條件(4)由根據(jù)同向不等式相加、相乘的性質，有即pq.但比如，當1，5時，而<2，所以qp，所以p是q的充分不必要條件類型二充要條件的探求與證明命題角度1充要條件的探求例2求ax22x10至少有一個負實根的充要條件是什么？考點充要條件的概念及判斷題點尋求充要條件解(1)當a0時，原方程變?yōu)?x10，即x，符合要求(2)當a0時，ax22x10為一元二次方程，它有實根的充要條件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一個負根的充要條件是即a<0.方程ax22x10有兩個負根的充要條件是即0<a1.綜上所述，ax22x10至少有一個負實根的充要條件是a1.反思與感悟探求一個命題的充要條件，可以利用定義法進行探求，即分別證明“條件結論”和“結論條件”，也可以尋求結論的等價命題，還可以先尋求結論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件跟蹤訓練2已知數(shù)列an的前n項和Sn(n1)2t(t為常數(shù))，試問t1是否為數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件？請說明理由考點充要條件的概念及判斷題點尋求充要條件解是充要條件(充分性)當t1時，Sn(n1)21n22n.a1S13，當n2時，anSnSn12n1.又a13適合上式，an2n1(nN*)，又an1an2(常數(shù))，數(shù)列an是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列故t1是an為等差數(shù)列的充分條件(必要性)an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得t1，故t1是an為等差數(shù)列的必要條件綜上，t1是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件命題角度2充要條件的證明例3求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負根的充要條件是ac0.考點充要條件的概念及判斷題點充要條件的證明證明充分性(由ac0推證方程有一正根和一負根)，ac0，一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac0，原方程一定有兩不等實根，不妨設為x1，x2，則x1x20，原方程的兩根異號，即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負根必要性(由方程有一正根和一負根推證ac0)，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負根，不妨設為x1，x2，由根與系數(shù)的關系得x1x20，即ac0，此時b24ac0，滿足原方程有兩個不等實根綜上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負根的充要條件是ac0.反思與感悟對于充要條件性命題證明，需要從充分性和必要性兩個方面進行證明，需要分清條件和結論跟蹤訓練3求證：方程x2(2k1)xk20的兩個根均大于1的充要條件是k2.考點充要條件的概念及判斷題點充要條件的證明證明必要性：若方程x2(2k1)xk20有兩個大于1的根，不妨設兩個根為x1，x2，則即即解得k2.充分性：當k2時，(2k1)24k214k0.設方程x2(2k1)xk20的兩個根為x1，x2.則(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210，x11，x21.綜上可知，方程x2(2k1)xk20有兩個大于1的根的充要條件為k2.類型三利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍)例4設命題p：x(x3)0，命題q：2x3m，已知p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為_考點充分、必要條件的綜合應用題點由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案3，)解析p：x(x3)0，即0x3；q：2x3m，即x.由題意知pq，qp，則在數(shù)軸上表示不等式如圖所示，則3，解得m3，即實數(shù)m的取值范圍為3，)反思與感悟在有些含參數(shù)的充要條件問題中，要注意將條件p和q轉化為集合，從而轉化為兩集合之間的子集關系，再轉化為不等式(或方程)，從而求得參數(shù)的取值范圍根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟(1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則MN；(3)根據(jù)集合的關系列不等式(組)；(4)求出參數(shù)的范圍跟蹤訓練4設A，B，記命題p：“yA”，命題q：“yB”，若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍為_考點充分、必要條件的綜合應用題點由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案解析由題意知A(0,1)，B，依題意，得BA，故<m<.1“x0”是“x2x0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案A解析由x2x0x1或x0，由此判斷A符合要求2若a，b，c是實數(shù)，則“ac0”是“不等式ax2bxc0有解”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案B解析由ac0，得方程ax2bxc0的判別式b24ac0，則方程ax2bxc0一定有實數(shù)解，此時不等式ax2bxc0有解；反過來，由不等式ax2bxc0有解不能得出ac0，例如，當abc1時，不等式ax2bxc0，即x2x120有解，此時ac10.故選B.3“關于x的不等式x22axa0，xR恒成立”的一個必要不充分條件是()A0a1 B0a1C0a Da1或a0考點充分條件、必要條件的概念及判斷題點充分、必要條件的判斷答案B解析當關于x的不等式x22axa0，xR恒成立時，應有4a24a0，解得0a1.所以一個必要不充分條件是0a1.4設p：1x4，q：xm，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_(用區(qū)間表示)考點充分條件的概念及判斷題點由充分條件求取值范圍答案4，)解析因為p為q的充分條件，所以1,4)(，m)，得m4.5設p：|x|1，q：x2或x1，則q是p的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案充分不必要解析由已知，得p：x1或x1，則q是p的充分不必要條件充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件p和結論q之間的因果關系，在結合具體問題進行判斷時，常采用如下方法(1)定義法：分清條件p和結論q，然后判斷“pq”及“qp”的真假，根據(jù)定義下結論(2)等價法：將命題轉化為另一個與之等價的又便于判斷真假的命題(3)集合法：寫出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之間的包含關系加以判斷.一、選擇題1“x為無理數(shù)”是“x2為無理數(shù)”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案B解析當x2為無理數(shù)時，x為無理數(shù)2設a，bR，則“ab2”是“a1且b1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案B3設xR，則x的一個必要不充分條件是()Ax3 Bx3 Cx4 Dx4考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案A4在ABC中，若p：A60，q：sin A，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案A解析因為sin 60，故pq，但當sin A時，A60或120.5已知p：x22x30，q：1ax1a，且q是p的必要不充分條件，則a的取值范圍是()A(4，) B(，0C4，) D(，0)考點充分、必要條件的綜合應用題點充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案C解析由命題p：3x1，因為pq，所以即所以a4.6下列四個條件中，使ab成立的充分不必要條件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3考點充分、必要條件的判斷題點充分不必要條件的判斷答案A解析由ab1b，從而ab1ab；反之，如a4，b3.5，則43.543.51，故abab1，故A正確7設a1，b1，c1，a2，b2，c2均為非零實數(shù)，不等式a1x2b1xc1>0和a2x2b2xc2>0的解集分別是集合M和N，那么“”是“MN”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案D解析若<0，則MN，即MN；反之，若MN，即兩個一元二次不等式的解集為空集時，只要求判別式1<0，2<0(a1<0，a2<0)，而與系數(shù)之比無關8設函數(shù)f(x)|log2x|，則f(x)在區(qū)間(m,2m1)(m>0)內不是單調函數(shù)的充要條件是()A0<m< B0<m<1C<m<1 Dm>1考點充要條件的概念及判斷題點尋求充要條件答案B解析f(x)f(x)的圖象在(0,1)內單調遞減，在(1，)內單調遞增若f(x)在(m,2m1)(m>0)上不是單調函數(shù)，則0<m<1.二、填空題9若a(1,2x)，b(4，x)，則“a與b的夾角為銳角”是“0x”的_條件考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案既不充分也不必要10已知p：x2x20，q：xm.若p的一個充分不必要條件是q，則實數(shù)m的取值范圍是_考點充分、必要條件的綜合應用題點由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案1，)解析由x2x20，解得x1或x2.q是p的充分不必要條件，m1.11有下列命題：“x2且y3”是“xy5”的充分條件；“b24ac0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集為R”的充要條件；“a2”是“直線ax2y0平行于直線xy1”的充分不必要條件；“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件其中真命題的序號為_考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷答案解析當x2且y3時，xy5成立，反之不一定，所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要條件，故為真命題；不等式解集為R的充要條件是a0且b24ac0，故為假命題；當a2時，兩直線平行，反之，若兩直線平行，則，所以a2，所以“a2”是“兩直線平行”的充要條件，故為假命題；lg xlg ylg(xy)0，所以xy1且x0，y0，所以xy1必成立，反之不然，所以“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件，故為真命題綜上可知，真命題是.三、解答題12判斷下列各題中，p是q的什么條件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形；(4)p：圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.考點充分條件、必要條件的判斷題點充分、必要條件的判斷解(1)|x|y|xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分條件(2)ABC是直角三角形ABC是等腰三角形，ABC是等腰三角形ABC是直角三角形，p是q的既不充分也不必要條件(3)四邊形的對角線互相平分四邊形是矩形，四邊形是矩形四邊形的對角線互相平分，p是q的必要不充分條件(4)若圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，則圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r，即r，c2(a2b2)r2；反過來，若c2(a2b2)r2，則r成立，說明圓x2y2r2(r0)的圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r，即圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，故p是q的充要條件13已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命題p是命題q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍考點充分、必要條件的綜合應用題點由充分、必要條件求參數(shù)的范圍解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且qp，得MN，或解得a<2或<a2，即a2.即實數(shù)a的取值范圍是.四、探究與拓展14下列各題中，p是q的充要條件的是_(填序號)p：m2或m6，q：yx2mxm3有兩個不同的零點；p：1，q：yf(x)為偶函數(shù)；p：cos cos ，q：tan tan ；p：ABA，q：UBUA.考點充分、必要條件的判斷題點充要條件的判斷答案解析對于，q：yx2mxm3有兩個不同的零點q：m24(m3)0q：m2或m6p；對于，當f(x)0時，qp；對于，若，k(kZ)，則有cos cos ，但沒有tan tan ，pq；對于，p：ABAp：ABq：UBUA.15已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件，求m的取值范圍考點充分、必要條件的綜合應用題點由充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要條件，知SP.則當0m3時，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,3