(全國通用版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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1.2充分條件與必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會(huì)求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件(1)“若p,則q”為真命題,是指由p通過推理可以得出q.這時(shí),我們就說,由p可推出q,記作pq,并且說p是q的充分條件,q是p的必要條件(2)若pq,但qp,稱p是q的充分不必要條件,若qp,但pq,稱p是q的必要不充分條件知識(shí)點(diǎn)二充要條件思考在ABC中,角A,B,C為它的三個(gè)內(nèi)角,則“A,B,C成等差數(shù)列”是“B60”的什么條件?答案因?yàn)锳,B,C成等差數(shù)列,故2BAC,又因?yàn)锳BC180,故B60,反之,亦成立,故“A,B,C成等差數(shù)列”是“B60”的充要條件梳理(1)一般地,如果既有pq,又有qp,就記作pq,此時(shí),我們說,p是q的充分必要條件,簡稱充要條件(2)充要條件的實(shí)質(zhì)是原命題“若p,則q”和其逆命題“若q,則p”均為真命題,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件,即如果pq,那么p與q互為充要條件(3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件.若AB,則p是q的充分條件,若AB,則p是q的充分不必要條件若BA,則p是q的必要條件,若BA,則p是q的必要不充分條件若AB,則p,q互為充要條件若AB且BA,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件其中p:Ax|p(x)成立,q:Bx|q(x)成立(1)q是p的必要條件時(shí),p是q的充分條件()(2)若p是q的充要條件,則p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題()(3)q不是p的必要條件時(shí),“pq”成立()類型一充分條件、必要條件、充要條件的判定例1下列各題中,試分別指出p是q的什么條件(1)p:兩個(gè)三角形相似,q:兩個(gè)三角形全等;(2)p:一個(gè)四邊形是矩形,q:四邊形的對(duì)角線相等;(3)p:AB,q:ABA;(4)p:ab,q:acbc.考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷解(1)兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形全等,但兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形相似,p是q的必要不充分條件(2)矩形的對(duì)角線相等,pq,而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形,qp,p是q的充分不必要條件(3)pq,且qp,p既是q的充分條件,又是q的必要條件(4)pq,且qp,p是q的既不充分也不必要條件反思與感悟充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法:確定誰是條件,誰是結(jié)論;嘗試從條件推結(jié)論,若條件能推出結(jié)論,則條件為充分條件,否則就不是充分條件;嘗試從結(jié)論推條件,若結(jié)論能推出條件,則條件為必要條件,否則就不是必要條件(2)命題判斷法:如果命題:“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;如果命題:“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時(shí)q也不是p的必要條件跟蹤訓(xùn)練1指出下列各題中,p是q的什么條件?(1)p:ax2ax10的解集是R,q:0a4;(2)p:|x2|3,q:0滿足題意;當(dāng)a0時(shí),由可得0a4.故p是q的必要不充分條件(2)易知p:1x5,q:1x5,所以p是q的充要條件(3)因?yàn)锳BAABB,所以p是q的充要條件(4)由根據(jù)同向不等式相加、相乘的性質(zhì),有即pq.但比如,當(dāng)1,5時(shí),而2,所以qp,所以p是q的充分不必要條件類型二充要條件的探求與證明命題角度1充要條件的探求例2求ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是什么?考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件解(1)當(dāng)a0時(shí),原方程變?yōu)?x10,即x,符合要求(2)當(dāng)a0時(shí),ax22x10為一元二次方程,它有實(shí)根的充要條件是0,即44a0,a1.方程ax22x10只有一個(gè)負(fù)根的充要條件是即a0.方程ax22x10有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是即0a1.綜上所述,ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a1.反思與感悟探求一個(gè)命題的充要條件,可以利用定義法進(jìn)行探求,即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”,也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題,還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件,再證明它也是其充分條件跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(n1)2t(t為常數(shù)),試問t1是否為數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件?請(qǐng)說明理由考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件解是充要條件(充分性)當(dāng)t1時(shí),Sn(n1)21n22n.a1S13,當(dāng)n2時(shí),anSnSn12n1.又a13適合上式,an2n1(nN*),又an1an2(常數(shù)),數(shù)列an是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列故t1是an為等差數(shù)列的充分條件(必要性)an為等差數(shù)列,則2a2a1a3,解得t1,故t1是an為等差數(shù)列的必要條件綜上,t1是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件命題角度2充要條件的證明例3求證:一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明充分性(由ac0推證方程有一正根和一負(fù)根),ac0,一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac0,原方程一定有兩不等實(shí)根,不妨設(shè)為x1,x2,則x1x20,原方程的兩根異號(hào),即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根必要性(由方程有一正根和一負(fù)根推證ac0),一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根,不妨設(shè)為x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x20,即ac0,此時(shí)b24ac0,滿足原方程有兩個(gè)不等實(shí)根綜上可知,一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.反思與感悟?qū)τ诔湟獥l件性命題證明,需要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明,需要分清條件和結(jié)論跟蹤訓(xùn)練3求證:方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k2.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明必要性:若方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根,不妨設(shè)兩個(gè)根為x1,x2,則即即解得k2.充分性:當(dāng)k2時(shí),(2k1)24k214k0.設(shè)方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根為x1,x2.則(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10,x110,x210,x11,x21.綜上可知,方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根的充要條件為k2.類型三利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍)例4設(shè)命題p:x(x3)0,命題q:2x3m,已知p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案3,)解析p:x(x3)0,即0x3;q:2x3m,即x.由題意知pq,qp,則在數(shù)軸上表示不等式如圖所示,則3,解得m3,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為3,)反思與感悟在有些含參數(shù)的充要條件問題中,要注意將條件p和q轉(zhuǎn)化為集合,從而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的子集關(guān)系,再轉(zhuǎn)化為不等式(或方程),從而求得參數(shù)的取值范圍根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟(1)記集合Mx|p(x),Nx|q(x);(2)若p是q的充分不必要條件,則MN,若p是q的必要不充分條件,則NM,若p是q的充要條件,則MN;(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組);(4)求出參數(shù)的范圍跟蹤訓(xùn)練4設(shè)A,B,記命題p:“yA”,命題q:“yB”,若p是q的必要不充分條件,則m的取值范圍為_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案解析由題意知A(0,1),B,依題意,得BA,故m0和a2x2b2xc20的解集分別是集合M和N,那么“”是“MN”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案D解析若0,則MN,即MN;反之,若MN,即兩個(gè)一元二次不等式的解集為空集時(shí),只要求判別式10,20(a10,a20)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()A0m B0m1Cm1考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件答案B解析f(x)f(x)的圖象在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增若f(x)在(m,2m1)(m0)上不是單調(diào)函數(shù),則0m1.二、填空題9若a(1,2x),b(4,x),則“a與b的夾角為銳角”是“0x”的_條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案既不充分也不必要10已知p:x2x20,q:xm.若p的一個(gè)充分不必要條件是q,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案1,)解析由x2x20,解得x1或x2.q是p的充分不必要條件,m1.11有下列命題:“x2且y3”是“xy5”的充分條件;“b24ac0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集為R”的充要條件;“a2”是“直線ax2y0平行于直線xy1”的充分不必要條件;“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件其中真命題的序號(hào)為_考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案解析當(dāng)x2且y3時(shí),xy5成立,反之不一定,所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要條件,故為真命題;不等式解集為R的充要條件是a0且b24ac0,故為假命題;當(dāng)a2時(shí),兩直線平行,反之,若兩直線平行,則,所以a2,所以“a2”是“兩直線平行”的充要條件,故為假命題;lg xlg ylg(xy)0,所以xy1且x0,y0,所以xy1必成立,反之不然,所以“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件,故為真命題綜上可知,真命題是.三、解答題12判斷下列各題中,p是q的什么條件(1)p:|x|y|,q:xy;(2)p:ABC是直角三角形,q:ABC是等腰三角形;(3)p:四邊形的對(duì)角線互相平分,q:四邊形是矩形;(4)p:圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切,q:c2(a2b2)r2.考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷解(1)|x|y|xy,但xy|x|y|,p是q的必要不充分條件(2)ABC是直角三角形ABC是等腰三角形,ABC是等腰三角形ABC是直角三角形,p是q的既不充分也不必要條件(3)四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形是矩形,四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線互相平分,p是q的必要不充分條件(4)若圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切,則圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r,即r,c2(a2b2)r2;反過來,若c2(a2b2)r2,則r成立,說明圓x2y2r2(r0)的圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r,即圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切,故p是q的充要條件13已知p:2x23x20,q:x22(a1)xa(a2)0,且命題p是命題q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0,Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且qp,得MN,或解得a2或a2,即a2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、探究與拓展14下列各題中,p是q的充要條件的是_(填序號(hào))p:m2或m6,q:yx2mxm3有兩個(gè)不同的零點(diǎn);p:1,q:yf(x)為偶函數(shù);p:cos cos ,q:tan tan ;p:ABA,q:UBUA.考點(diǎn)充分、必要條件的判斷題點(diǎn)充要條件的判斷答案解析對(duì)于,q:yx2mxm3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)q:m24(m3)0q:m2或m6p;對(duì)于,當(dāng)f(x)0時(shí),qp;對(duì)于,若,k(kZ),則有cos cos ,但沒有tan tan ,pq;對(duì)于,p:ABAp:ABq:UBUA.15已知Px|x28x200,非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件,求m的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍解由x28x200,得2x10,Px|2x10由xP是xS的必要條件,知SP.則當(dāng)0m3時(shí),xP是xS的必要條件,即所求m的取值范圍是0,3- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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