2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形章末復習學案（含解析）新人教B版必修5.docx

第一章 解三角形章末復習學習目標1.整合知識結構，進一步鞏固、深化所學知識.2.掌握解三角形的基本類型，并能在幾何計算、測量應用中靈活分解組合.3.能解決三角形與三角變換、平面向量的綜合問題1正弦定理及其推論設ABC的外接圓半徑為R，則(1)2R.(2)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.(3)sinA，sinB，sinC.(4)在ABC中，A>Ba>bsinA>sinB.2余弦定理及其推論(1)a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.(2)cosA；cosB；cosC.(3)在ABC中，c2a2b2C為直角；c2>a2b2C為鈍角；c2<a2b2C為銳角3三角形面積公式(1)Sahabhbchc；(2)SabsinCbcsinAcasinB.4應用舉例(1)測量距離問題；(2)測量高度問題；(3)測量角度問題.題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC.答案7解析由題意知58sin A10，即sin A，又ABC為銳角三角形，所以A60，cos A，所以BC7.(2)已知ABC中，若cosB，C，BC2，則ABC的面積為答案反思感悟利用正弦、余弦定理尋求三角形各元素之間的關系來解決三角形及其面積問題跟蹤訓練1(1)在ABC中，A45，AB1，AC2，則SABC的值為()A.B.C.D2答案B(2)已知銳角ABC的面積為3，BC4，CA3，則角C的大小為()A75B60C45D30答案D解析SBCACsin C43sin C3，sin C，三角形為銳角三角形C30.題型二幾何計算例2如圖，在矩形ABCD中，AB，BC3，E在AC上，若BEAC，則ED.答案解析在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60.因為BEAC，AB，所以AE.在EAD中，EAD30，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AEADcosEAD923，故ED.反思感悟正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點，善于應用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決跟蹤訓練2在ABC中，B120，AB，A的平分線AD，則AC等于()A1B2C.D2答案C解析如圖，在ABD中，由正弦定理，得，sinADB.由題意知0<ADB<60，ADB45，BAD1804512015.BAC30，C30，BCAB.在ABC中，由正弦定理，得，AC.題型三實際應用例3如圖，已知在東西走向上有AM，BN兩個發(fā)射塔，且AM100m，BN200m，一測量車在塔底M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30，該測量車向北偏西60方向行駛了100m后到達點Q，在點Q處測得發(fā)射塔頂B的仰角為，且BQA，經(jīng)計算，tan2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離解在RtAMP中，APM30，AM100 m，所以PM100 m，連接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100 m，所以PQM為等邊三角形，所以QM100 m.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200 m.在RtBNQ中，因為tan 2，BN200 m，所以BQ100 m，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos ，所以BA100 m.故兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100 m.反思感悟實際應用問題的解決過程實質上就是抽象成幾何計算模型，在此過程中注意術語如“北偏西60”、“仰角”的準確翻譯，并轉換為解三角形所需邊、角元素跟蹤訓練3如圖，從無人機A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時無人機的高是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C解析如圖，在ADC中，CAD903060，AD60m，所以CDADtan6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)故選C.題型四三角形中的綜合問題例4a，b，c分別是銳角ABC的內角A，B，C的對邊，向量p(22sinA，cosAsinA)，q(sinAcosA,1sinA)，且pq，已知a，ABC的面積為，求b，c的大小解p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，又pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，即4sin2A30，又A為銳角，則sin A，A60，ABC的面積為，bcsin A，即bc6，又a，7b2c22bccos A，b2c213，聯(lián)立解得或反思感悟解三角形綜合問題的方法(1)三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯(lián)系在一起，要注意選擇合適的方法、知識進行求解(2)解三角形常與向量、三角函數(shù)及三角恒等變換知識綜合考查，解答此類題目，首先要正確應用所學知識“翻譯”題目條件，然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解跟蹤訓練4在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，4sin2cos2A.(1)求A的度數(shù)；(2)若a，bc3，求b和c的值解(1)由4sin2cos2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2A1，4(1cosA)4cos2A5，即4cos2A4cosA10，(2cosA1)20，解得cosA.0<A<180，A60.(2)由余弦定理，得cosA.cosA，化簡并整理，得(bc)2a23bc，將a，bc3代入上式，得bc2.則由解得或1若ABC的周長等于20，面積是10，A60，則角A的對邊長為()A5B6C7D8答案C解析設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abc20，bc20a，即b2c22bc400a240a，b2c2a240040a2bc，又cosA，b2c2a2bc.又SABCbcsinA10，bc40.由可知a7.2在ABC中，已知cosA，cosB，b3，則c.答案解析在ABC中，cos A>0，sin A.cos B>0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.3在ABC中，cos，判斷ABC的形狀解由已知得cos2，2cos21cosB，cosAcosB，又0<A<，0<B<，AB，ABC為等腰三角形4設ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因為A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因為b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0<A<，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.