（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.4.3 含有一個量詞的命題的否定學案 新人教A版選修2-1.doc

1.4.3含有一個量詞的命題的否定學習目標1.理解含有一個量詞的命題的否定的意義.2.會對含有一個量詞的命題進行否定.3.掌握全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題知識點一全稱命題的否定思考嘗試寫出下面含有一個量詞的全稱命題的否定，并歸納寫全稱命題否定的方法(1)所有矩形都是平行四邊形；(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù)；(3)xR，x22x10.答案(1)將量詞“所有”換為：“存在一個”然后將結(jié)論否定，即“不是平行四邊形”，所以原命題的否定為：“存在一個矩形不是平行四邊形”；用同樣的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；(3)x0R，x2x01<0.梳理寫全稱命題的否定的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞；(2)將結(jié)論否定對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，綈p(x0)全稱命題的否定是特稱命題知識點二特稱命題的否定思考嘗試寫出下面含有一個量詞的特稱命題的否定，并歸納寫特稱命題否定的方法(1)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)x0R，x1<0.答案(1)先將存在量詞“有些”改寫為全稱量詞“所有”，然后將結(jié)論“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”否定，即“實數(shù)的絕對值不是正數(shù)，于是得原命題的否定為：“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四邊形都不是菱形；(3)xR，x210.梳理寫特稱命題的否定的方法：(1)將存在量詞改寫為全稱量詞，(2)將結(jié)論否定對于含一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱命題p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM，綈p(x)特稱命題的否定是全稱命題(1)命題綈p的否定為p.()(2)x0M，p(x0)與xM，綈p(x)的真假性相反()(3)從特稱命題的否定看，是對“量詞”和“p(x)”同時否定()類型一全稱命題的否定例1寫出下列全稱命題的否定：(1)任何一個平行四邊形的對邊都平行；(2)數(shù)列：1,2,3,4,5中的每一項都是偶數(shù)；(3)a，bR，方程axb都有唯一解；(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定解(1)其否定：存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行(2)其否定：數(shù)列：1,2,3,4,5中至少有一項不是偶數(shù)(3)其否定：a，bR，使方程axb的解不唯一或不存在(4)其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.反思與感悟全稱命題的否定是特稱命題，對省略全稱量詞的全稱命題可補上量詞后進行否定跟蹤訓練1寫出下列全稱命題的否定：(1)p：每一個四邊形的四個頂點共圓；(2)p：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；(3)p：任何實數(shù)x都是方程5x120的根；(4)p：對任意實數(shù)x，x210.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定解(1)綈p：存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓(2)綈p：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)(3)綈p：存在實數(shù)x0不是方程5x0120的根(4)綈p：存在實數(shù)x0，使得x1<0.類型二特稱命題的否定例2寫出下列特稱命題的否定，并判斷其真假(1)p：x0R,2x010；(2)q：x0R，xx00；(3)r：有些分數(shù)不是有理數(shù)考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定解(1)綈p：xR,2x10，綈p為假命題(2)綈q：xR，x2x0.x2x20，綈q是真命題(3)綈r：一切分數(shù)都是有理數(shù)，綈r是真命題反思與感悟特稱命題的否定是全稱命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞即p：x0M，p(x0)成立綈p：xM，綈p(x)成立跟蹤訓練2寫出下列特稱命題的否定，并判斷其否定的真假(1)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)x0，y0Z，使得x0y03.考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定解(1)命題的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，即“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”它為假命題(2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題(3)命題的否定是“x，yZ，xy3”當x0，y3時，xy3，因此命題的否定是假命題類型三含量詞的命題的應(yīng)用例3已知命題“對于任意xR，x2ax10”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍考點含有一個量詞的命題題點由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍解因為全稱命題“對于任意xR，x2ax10”的否定形式為：“存在x0R，xax010”由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知，這個否定形式的命題是真命題由于函數(shù)f(x)x2ax1是開口向上的拋物線，借助二次函數(shù)的圖象易知：a240，解得a2或a2.所以實數(shù)a的取值范圍是(，2)(2，)引申探究把本例中“假命題”改為“真命題”，求實數(shù)a的取值范圍解由題意知a240，解得a2,2故a的取值范圍為2,2反思與感悟含有一個量詞的命題與參數(shù)范圍的求解策略(1)對于全稱命題“xM，af(x)(或af(x)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最大值(或最小值)，即af(x)max(af(x)min)(2)對于特稱命題“x0M，af(x0)(或af(x0)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值(或最大值)，即af(x)min(或af(x)max)(3)若全稱命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定形式特稱命題為真命題解決，同理，若特稱命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定形式全稱命題為真命題解決跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式mf(x)>0對于任意xR恒成立，并說明理由；(2)若存在一個實數(shù)x0，使不等式mf(x0)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍考點含有一個量詞的命題題點由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍解(1)不等式mf(x)>0可化為m>f(x)，即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24對于任意xR恒成立，只需m>4即可故存在實數(shù)m，使不等式mf(x)>0對于任意xR恒成立，此時，只需m>4.(2)不等式mf(x0)>0可化為m>f(x0)，若存在一個實數(shù)x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m>4.所求實數(shù)m的取值范圍是(4，).1命題“xR，|x|x20”的否定是()AxR，|x|x20 BxR，|x|x20Cx0R，|x0|x0 Dx0R，|x0|x0考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案C2m0，n0Z，使得mn2 017的否定是()Am，nZ，使得m2n22 017Bm0，n0Z，使得mn2 017Cm，nZ，有m2n22 017D以上都不對考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定答案C3命題“xR，xsin x”的否定是_考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案x0R，x0sin x04由命題“存在x0R，使m0”是假命題，得m的取值范圍是(，a)，則實數(shù)a的值是_考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題的否定答案1解析其否定為：xR，使e|x1|m0，且為真命題me|x1|.只需m(e|x1|)min1.故a1.5寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)x0R，x2x020；(2)p：所有的正方形都是菱形；(3)p：至少有一個實數(shù)x0，使x10.考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題的否定解(1)綈p：xR，x22x20，真命題由為xR，x22x2(x1)210恒成立(2)綈p：至少存在一個正方形不是菱形，假命題因為所有的正方形都是菱形(3)綈p：xR，x310，假命題因為當x1時，x310.1對含有全稱量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將全稱量詞改寫成存在量詞，即將“任意”改為“存在”；第二步，將結(jié)論加以否定，如：將“”否定為“<”2對含有存在量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將存在量詞改寫成全稱量詞；第二步，將結(jié)論加以否定含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞，要注意判斷一、選擇題1下列命題中，真命題的個數(shù)是()存在實數(shù)x0，使得x20；有些角的正弦值大于1；有些函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)A0 B1 C2 D3考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假判斷答案B解析x222，故是假命題；xR，|sin x|1，故是假命題；f(x)0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以是真命題故選B.2命題“對任意的xR，x3x210”的否定是()A存在x0R，xx10B存在x0R，xx10C存在x0R，xx10D對任意的xR，x3x210考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案C解析由題意知，原命題為全稱命題，故其否定為特稱命題，所以否定為“存在x0R，xx10”故選C.3已知命題p：存在a(，0)，a22a30，那么命題p的否定是()A存在a(0，)，a22a30B存在a(，0)，a22a30C對任意a(0，)，a22a30D對任意a(，0)，a22a30考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定答案D解析易知綈p：對任意a(，0)，a22a30，故選D.4已知p：xR，ax22x30，如果p是假命題，那么a的取值范圍是()Aa B0a Ca Da考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案C解析易知綈p：x0R，ax2x030，顯然當a0時，滿足題意；當a0時，由0，得0a；當a0時，滿足題意所以a的取值范圍是.5下列命題中，假命題是()AxR,2x1>0 BxN*，(x1)2>0Cx0R，lg x0<1 Dx0R，tan x02考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假判斷答案B解析對于xR，y2x>0恒成立，而y2x1的圖象是將y2x的圖象沿x軸向右平移1個單位長度，函數(shù)的值域不變，故2x1>0恒成立，A為真命題；當x1時，(x1)20，故B為假命題；當0<x<10時，lg x<1，故x0R，lg x0<1，C為真命題；ytan x的值域為R，故存在x0使得tan x02，D為真命題故選B.6命題“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()AnN*，f(n)N*且f(n)>nBnN*，f(n)N*或f(n)>nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)>n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)>n0考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案D解析“f(n)N*且f(n)n”的否定為“f(n)N*或f(n)>n”，全稱命題的否定為特稱命題，故選D.7已知a>0，函數(shù)f(x)ax2bxc，若x0滿足關(guān)于x的方程2axb0，則下列選項中的命題為假命題的是()Ax1R，f(x1)f(x0) Bx1R，f(x1)f(x0)CxR，f(x)f(x0) DxR，f(x)f(x0)考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假判斷答案C解析當a>0時，函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象為開口向上的拋物線，若x0滿足關(guān)于x的方程2axb0，則x0為拋物線頂點的橫坐標，f(x)minf(x0)，故對于xR，f(x)f(x0)成立，從而選項A，B，D為真命題，選項C為假命題二、填空題8.“若|x|+|y|=0，則x，y全為0”的否定為 .答案若|x|+|y|=0，則x，y不全為09.函數(shù)y=x+b的值隨x的增加而增加的否定為 .答案若x增加，則函數(shù)y=x+b的值不增加10設(shè)命題p：xR，x2ax20，若p為假，則實數(shù)a的取值范圍是_考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案(，)解析綈p：x0R，xax020為真命題，顯然aR.11命題“對任意xR，都有|x2|x4|3”的否定是_.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案x0R，|x02|x04|3三、解答題12若命題“x1，)，x22ax2a”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍考點簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應(yīng)用題點由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍解x22ax2a，即x22ax2a0，令f(x)x22ax2a，所以全稱命題轉(zhuǎn)化為“x1，)，f(x)0恒成立”，所以0或即2a1或3a2，所以3a1.故所求實數(shù)a的取值范圍為3,113已知p：a(0，b(bR且b0)，函數(shù)f(x)sin的周期不大于4.(1)寫出綈p；(2)當p是假命題時，求實數(shù)b的最大值考點全稱量詞的否定題點全稱量詞的命題的否定解(1)綈p：a0(0，b(bR且b0)，函數(shù)f(x)sin的周期大于4.(2)由于綈p是假命題，所以p是真命題，所以a(0，b，4恒成立，解得a2，所以0b2，所以實數(shù)b的最大值是2.四、探究與拓展14關(guān)于x的函數(shù)yx2(a1)x2a對于任意a1,1的值都有y0，則實數(shù)x的取值范圍為_考點簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應(yīng)用題點由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案(，)(，)解析設(shè)f(a)x2(a1)x2a，則有f(a)(2x)ax2x，a1,1，當a1,1時，yf(a)0恒成立，對a的系數(shù)討論如下：當x2時，f(a)20顯然成立；當x2時，由f(a)0，a1,1恒成立，得即解得x或x.綜上可得，x的取值范圍為(，)(，)15給出兩個命題，命題甲：關(guān)于x的不等式x2(a1)xa20的解集為，命題乙：函數(shù)y(2a2a)x為增函數(shù)，分別求出符合下列條件的實數(shù)a的取值范圍(1)甲、乙中至少有一個是真命題；(2)甲、乙中有且只有一個真命題考點簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應(yīng)用題點由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍解當甲命題為真時，(a1)24a20，解得a或a1.當乙命題為真時，2a2a1，解得a1或a.(1)甲、乙中至少有一個是真命題時，a的取值范圍是.(2)甲、乙有且只有一個是真命題，有兩種情況：當甲真乙假時，a的取值范圍是；當甲假乙真時，a的取值范圍是，故a的取值范圍為.