2020版高考物理一輪復習 第一章 第3節(jié) 運動圖像 追及和相遇問題講義.doc

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第3節(jié) 運動圖像 追及和相遇問題 一、運動圖像[注1] 1．xt圖像 (1)物理意義：反映了物體做直線運動的位移隨時間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時速度的大小，斜率正負表示物體速度的方向。[注2] 2．vt圖像 (1)物理意義：反映了物體做直線運動的速度隨時間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時加速度的大小，斜率正負表示物體加速度的方向。 (3)“面積”的意義 ①圖線與時間軸圍成的面積表示相應時間內的位移。 ②若面積在時間軸的上方，表示位移方向為方向；若面積在時間軸的下方，表示位移方向為方向。 二、追及和相遇問題 1．追及問題的兩類情況[注3] (1)若后者能追上前者，追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。 (2)若后者追不上前者，則當后者速度與前者速度相等時，兩者相距最近。 2．相遇問題[注4] 相向運動的物體，當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。 【注解釋疑】 [注1] 無論vt圖像還是xt圖像，描述的一定是直線運動。 [注2] 斜率是數學語言，表示直線的傾斜程度；斜率具有物理意義，可表示物體運動的速度或加速度。 [注3] 速度相等是判斷追上或追不上的切入點。 [注4] 同向追及時，當追趕者位移等于被追趕者位移與初始間距之和時即相遇。 [深化理解] 1．識圖中常見的三類錯誤 (1)錯誤地認為圖像就是質點的運動軌跡。 (2)錯將圖線的交點都當成相遇，而vt圖線的交點表示該時刻速度相同。 (3)錯誤理解圖線斜率的意義，比如認為vt圖像斜率為正，則質點一定做加速運動，斜率為負，則質點一定做減速運動。 2．追及和相遇問題 分兩類，一類為一定能追上，直接列位移方程，找位移關系；另一類為可能追上，需根據速度關系判斷能否追上。 [基礎自測] 一、判斷題 (1)xt圖像和vt圖像都表示物體運動的軌跡。() (2)xt圖像和vt圖像都只能描述直線運動。(√) (3)xt圖像上兩圖線的交點表示兩物體此時相遇。(√) (4)vt圖像上兩圖線的交點表示兩物體此時相遇。() (5)同一直線上運動的兩物體，后者若追上前者，后者速度必須大于前者。(√) (6)同一直線上運動的兩物體，速度相等時，兩物體相距最近或最遠。(√) (7)兩物體同向運動恰好不相碰，則此時兩物體速度相等。(√) 二、選擇題 1．[滬科版必修1 P43T6改編](多選)如圖所示為甲、乙兩物體在同一直線上運動的位置坐標x隨時間t變化的圖像，已知甲對應的是圖像中的直線，乙對應的是圖像中的曲線，則下列說法正確的是(　　) A．甲做勻減速直線運動 B．乙做變速直線運動 C．0～t1時間內兩物體平均速度大小相等 D．兩物體的運動方向相反 解析：選BD　結合題意分析題圖易知，題圖中圖像的斜率等于速度，知甲沿負方向做勻速直線運動，故A項錯誤；乙圖線切線的斜率不斷增大，說明乙的速度不斷增大，做變速直線運動，故B項正確；根據坐標的變化量等于位移知，0～t1時間內兩物體位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C項錯誤；根據圖像的斜率等于速度可知，甲的速度為負，乙的速度為正，即兩物體的運動方向相反，故D項正確。 2．(多選)物體做直線運動的vt圖像如圖所示，根據圖像提供的信息可知(　　) A．第4 s初物體運動的加速度為2 m/s2 B．前8 s內物體運動的位移為32 m C．在0～4 s內與4～6 s內物體運動的加速度方向相反 D．在0～4 s內與4～6 s內物體運動的平均速度相等 解析：選BC　圖像的斜率表示加速度，則第4 s初物體運動的加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A項錯誤；圖像與坐標軸圍成面積代表位移，前8 s內物體運動的位移x＝(4＋8)4 m＋82 m＝32 m，故B項正確；在0～4 s 內與4～6 s內物體運動的速度都為正，加速度方向相反，故C項正確；在0～4 s內的平均速度v1＝ m/s＝6 m/s,4～6 s內的平均速度v2＝ m/s＝4 m/s，故D項錯誤。 3．[粵教版必修1 P47T17改編]一步行者以6.0 m/s的速度跑去追趕被紅燈阻停的公共汽車，在跑到距汽車25 m處時，綠燈亮了，汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動前進，則(　　) A．人能追上公共汽車，追趕過程中人跑了36 m B．人不能追上公共汽車，人、車最近距離為7 m C．人能追上公共汽車，追上車前人共跑了43 m D．人不能追上公共汽車，且車開動后，人車距離越來越遠 解析：選B　在跑到距汽車25 m處時，綠燈亮了，汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動前進，當汽車加速到6.0 m/s時二者相距最近。汽車加速到6.0 m/s所用時間t＝6 s，人運動距離為66 m＝36 m，汽車運動距離為18 m，二者最近距離為18 m＋25 m－36 m＝7 m，選項A、C錯誤，B正確。人不能追上公共汽車，且車開動后，人車距離先減小后增大，選項D錯誤。 高考對本節(jié)內容的考查，主要集中在xt圖像、vt圖像及追及相遇問題。其中對xt圖像和vt圖像的考查，主要以選擇題的形式呈現，難度中等，而對追及相遇問題的考查，常結合具體的生活情景，題型有選擇題，也有計算題，難度更大一些。 考點一　運動圖像的理解和應用[多維探究類] 1．讀圖——獲取解題信息 第一層 (1)確認縱、橫坐標軸對應的物理量及其單位 (2)注意縱、橫坐標是否從零刻度開始 關注坐標軸 第二層 圖線在坐標軸上的截距表示運動的初始情況 理解截距、斜率、面積 斜率通常能夠體現某個物理量(如vt圖像的斜率反映了加速度)的大小、方向及變化情況 最常見的是vt圖像中面積表示位移，但要注意時間軸下方的面積為負，說明這段位移與正方向相反 第三層 交點往往是解決問題的切入點，注意交點表示物理量相等，不一定代表物體相遇 分析交點、轉折點、漸近線 轉折點表示物理量發(fā)生突變，滿足不同的函數關系式，如vt圖像中速度由增變減，表明加速度突然反向 利用漸近線可以求出該物理量的極值或確定它的變化趨勢 2．作圖和用圖——快速解題 依據物體的狀態(tài)或物理過程所遵循的物理規(guī)律，做出與之對應的示意圖或數學函數圖像，往往可以快速、直觀地研究和處理問題。 考法(一)　圖像信息類問題 [例1]　(多選)(2018全國卷Ⅲ)甲、乙兩車在同一平直公路上同向運動，甲做勻加速直線運動，乙做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化如圖所示。下列說法正確的是(　　) A．在t1時刻兩車速度相等 B．從0到t1時間內，兩車走過的路程相等 C．從t1到t2時間內，兩車走過的路程相等 D．在t1到t2時間內的某時刻，兩車速度相等 [解析]　xt圖像斜率表示兩車速度，則可知t1時刻乙車速度大于甲車速度，故A錯誤。由兩圖線的縱截距知，出發(fā)時甲車在乙車前面，t1時刻圖線相交表示兩車相遇，可得0到t1時間內乙車比甲車多走了一段距離，故B錯誤。t1和t2時刻兩圖線相交，表明兩車均在同一位置，從t1到t2時間內，兩車走過的路程相等；在t1到t2時間內，兩圖線有斜率相等的一個時刻，即該時刻兩車速度相等，故C、D正確。 [答案]　CD 考法(二)　圖像選擇類問題 [例2]　從塔頂由靜止釋放一個小球A的時刻為計時零點，t0時刻，在與A球t0時刻所在位置的同一水平高度，由靜止釋放小球B，若兩球都只受重力作用，設小球B下落時間為t，在A、B兩球落地前，A、B兩球之間的距離為Δx，則 t0的圖線為(　　) [解析]　A、B兩球釋放后都做自由落體運動，B球釋放時，A球的速度vA＝gt0，B球釋放后t時間時，A、B兩球之間的距離Δx＝vAt＋gt2－gt2＝gt0t，則＝gt0，所以 t0的圖線為一條過原點的傾斜直線，斜率為g，故B正確。 [答案]　B [題型技法] 解決這類問題時，首先要將題目給出的情景分析透徹，然后根據情景分析圖像中物理量之間的關系，或者直接將圖像與題目所描述的情景相對照，看是否吻合進行判斷。 考法(三)　圖像轉換類問題 [例3]　一物體由靜止開始沿直線運動，其加速度隨時間變化的規(guī)律如圖所示。取物體開始運動的方向為正方向，則下列關于物體運動的vt圖像正確的是(　　) [解析]　根據加速度隨時間變化的圖像可得，0～1 s內為勻加速直線運動，速度v＝at＝t，速度為正方向，選項D錯誤。第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s內加速度變?yōu)樨撝?，而速度為正方向，因此為減速運動，v′＝1 m/s－a(t－1)，到2 s末，速度減小為0，選項B錯誤。2～3 s，加速度為正方向，初速度為0，物體做正方向的勻加速直線運動，v＝a(t－2)＝t－2，即從第2 s開始又重復前面的運動，選項C正確，A錯誤。 [答案]　C [題型技法] 解決圖像轉換類問題的一般流程： 考法(四)　圖像應用類問題 [例4]　某同學欲估算飛機著陸時的速度，他假設飛機在平直跑道上做勻減速運動，飛機在跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來所用的時間為t，實際上，飛機的速度越大，所受的阻力越大，則飛機著陸時的速度應是(　　) A．v＝　　　　　　　　　 B．v＝ C．v＞ D.＜v＜ [解析]　 該同學假設飛機做勻減速運動，所用的時間為t，畫出相應的vt圖像大致如圖所示的虛線。根據圖像的意義可知，虛線下方的“面積”表示位移。因為位移為x，則得出初速度為。實際上，當飛機的速度減小時，所受的阻力減小，因而它的加速度會逐漸變小，vt圖像切線的斜率減小，畫出相應的vt圖像大致如圖所示的實線。根據圖像的意義可知，實線下方的“面積”表示位移。所以飛機著陸時的速度v＞，故選項C正確。 [答案]　C [題型技法] 此類問題看似與圖像無關，但常規(guī)解法晦澀難懂，掌握構圖技巧，則難題迎刃而解。 (1)認真審題，根據需要確定縱、橫坐標軸對應的物理量。 (2)結合具體的物理過程和相應的物理規(guī)律，找出兩物理量的制約關系，作出函數圖像。 (3)根據圖像結合數學知識進行分析、判斷。 [題點全練] 1．[根據xt圖像分析兩車的運動] 在平直公路上行駛的a車和b車，其位移—時間(x t)圖像分別為圖中直線a和曲線b，已知b車的加速度恒定且等于－2 m/s2，t＝3 s時，直線a和曲線b剛好相切，則(　　) A．a車做勻速運動且其速度為va＝ m/s B．t＝3 s時a車和b車相遇但此時速度不等 C．t＝1 s時b車的速度為10 m/s D．t＝0時a車和b車的距離x0＝9 m 解析：選D　x t圖像的斜率等于速度，由題圖可知，a車的速度不變，做勻速直線運動，速度為：va＝＝ m/s＝2 m/s，故A錯誤。t＝3 s 時，直線a和曲線b剛好相切，位置坐標相同，兩車相遇，斜率相等，此時兩車的速度相等，故B錯誤。t＝3 s時，b車的速度為：vb＝va＝2 m/s，設b車的初速度為v0，對b車，由v0＋at＝vb，解得：v0＝8 m/s，則t＝1 s時b車的速度為：vb′＝v0＋at1＝8 m/s－21 m/s＝6 m/s，故C錯誤。t＝3 s時，a車的位移為：xa＝vat＝6 m，b車的位移為：xb＝t＝3 m＝15 m，t＝3 s 時，a車和b車到達同一位置，得：x0＝xb－xa＝9 m，故D正確。 2．[根據vt圖像選擇at圖像] 質點做直線運動的速度—時間圖像如圖所示，下圖中表示質點加速度—時間圖像正確的是(　　) 解析：選B　在速度—時間圖像中，斜率的正負和大小表示加速度的正負和大小，在0～1 s和3～5 s內斜率為正，加速度為2 m/s2,1～3 s和5～6 s內斜率為負，加速度為－2 m/s2，B正確，A、C、D錯誤。 3．[根據滑塊的運動情況選擇運動圖像] 如圖所示，滑塊以初速度v0沿表面粗糙且足夠長的固定斜面，從頂端下滑，直至速度為零。對于該運動過程，若用h、s、v、a分別表示滑塊的下降高度、位移、速度和加速度的大小，t表示時間，則下列圖像最能正確描述這一運動規(guī)律的是(　　) 解析：選B　在下滑的過程中，根據牛頓第二定律可得：mgsin θ－μmgcos θ＝ma，故加速度保持不變，所以選項D錯誤；滑塊做勻減速直線運動，vt圖像應為一條傾斜直線，故選項C錯誤；根據勻變速直線運動的規(guī)律得s＝v0t＋at2，所以st圖像應為過原點的拋物線的一部分，故選項B正確；下降的高度h＝ssin θ，故ht圖像與st圖像相似，所以選項A錯誤。 4．[應用運動圖像分析豎直上拋運動] 在地面上以初速度2v0豎直上拋一物體A后，又以初速度v0從同一地點豎直上拋另一物體B。若要使兩物體能在空中相遇，則兩物體拋出的時間間隔Δt必須滿足的條件是(不計空氣阻力)(　　) A.＜Δt＜ B.＜Δt＜ C.＜Δt＜ D.＜Δt＜ 解析：選D　依據x＝v0t－gt2作出xt圖像，如圖所示，顯然，兩條圖線相交表示A、B相遇。由圖線可直接看出，當Δt滿足關系式＜Δt＜時，A、B可在空中相遇，選項D正確。 考點二　追及和相遇問題[師生共研類] 1．解答追及和相遇問題的三種方法 情景分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立一幅物體運動關系的情景圖 函數判斷法 設相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于位移x與時間t的函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況 圖像分析法 將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題 2．情景分析法的基本思路 [典例]　汽車A以vA＝4 m/s的速度向右做勻速直線運動，發(fā)現前方相距x0＝7 m處、以vB＝10 m/s的速度同向運動的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小a＝2 m/s2。從此刻開始計時。求： (1)A追上B前，A、B間的最遠距離是多少？ (2)經過多長時間A恰好追上B? [解題指導]　汽車A和B的運動過程如圖所示。 [解析]　(1)當A、B兩汽車速度相等時，兩車間的距離最遠，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s 此時汽車A的位移xA＝vAt＝12 m 汽車B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最遠距離Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。 (2)汽車B從開始減速直到靜止經歷的時間t1＝＝5 s 運動的位移xB′＝＝25 m 汽車A在t1時間內運動的位移xA′＝vAt1＝20 m 此時相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m 汽車A需再運動的時間t2＝＝3 s 故A追上B所用時間t總＝t1＋t2＝8 s。 [答案]　(1)16 m　(2)8 s [延伸思考] (1)若某同學應用關系式vBt－at2＋x0＝vAt解得經過t＝7 s(另解舍去)時A恰好追上B。這個結果合理嗎？為什么？ (2)若汽車A以vA＝4 m/s的速度向左勻速運動，其后方相距x0＝7 m處，以vB＝10 m/s的速度同方向運動的汽車B正向左開始勻減速剎車直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小為a＝2 m/s2，則經過多長時間兩車恰好相遇？ 提示：(1)這個結果不合理，因為汽車B運動的時間最長為t＝＝5 s＜7 s，說明汽車A追上B時汽車B已停止運動。 (2)可由位移關系式：vBt－at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－)s，t2＝(3＋)s。 例題及延伸思考旨在培養(yǎng)考生“貼合實際、全面分析”運動學問題的思維習慣： (1)如勻速運動的物體追勻減速運動的物體時，注意判斷追上時被追的物體是否已停止。 (2)勻減速運動的物體追勻速運動的物體時，有追不上、恰好追上、相撞或相遇兩次等多種可能。 [題點全練] 1．[與xt圖像相結合的追及相遇問題] 甲、乙兩人同時同地騎自行車出發(fā)做直線運動，前1 h內的xt圖像如圖所示，下列表述正確的是(　　) A．0.2～0.5 h內，甲的速度比乙的小 B．0.2～0.5 h內，甲的加速度比乙的大 C．0.6～0.8 h內，甲的位移比乙的小 D．0.8 h時，甲追上乙 解析：選D　xt圖像的斜率表示速度，0.2～0.5 h內，甲的斜率大，則甲的速度比乙的大，故A錯誤。由題圖知，0.2～0.5 h內，甲、乙都做勻速直線運動，加速度均為零，故B錯誤。物體的位移等于x的變化量，則知0.6～0.8 h內，甲的位移比乙的大，故C錯誤。0.8 h時，甲、乙位移相等，甲追上乙，故D正確。 2．[與vt圖像相結合的追及相遇問題] (多選)(2018全國卷Ⅱ)甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度—時間圖像分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在t2時刻并排行駛。下列說法正確的是(　　) A．兩車在t1時刻也并排行駛 B．在t1時刻甲車在后，乙車在前 C．甲車的加速度大小先增大后減小 D．乙車的加速度大小先減小后增大 解析：選BD　t1～t2時間內，v甲＞v乙，t2時刻相遇，則t1時刻甲車在乙車的后面，故A錯誤、B正確。由圖像的斜率知，甲、乙兩車的加速度大小均先減小后增大，故C錯誤、D正確。 3．[多種方法解決追及相遇問題] 在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件。 解析：要使兩車不相撞，A車追上B車時其速度只能與B車相等。設A、B兩車從相距s到A車追上B車時，A車的位移為sA、末速度為vA、所用時間為t，B車的位移為sB、末速度為vB，兩者的運動過程如圖所示，現用三種方法解答如下： 法一：情景分析法 利用位移公式、速度公式求解 對A車有sA＝v0t＋(－2a)t2 vA＝v0＋(－2a)t 對B車有sB＝at2，vB＝at 對兩車有s＝sA－sB 追上時，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB 聯立以上各式解得v0＝ 故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0＜。 法二：函數判斷法 利用判別式求解，由法一可知 sA＝s＋sB，即v0t＋(－2a)t2＝s＋at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 這是一個關于時間t的一元二次方程，當根的判別式Δ＝(－2v0)2－43a2s＜0時，t無實數解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0＜。 法三：圖像分析法 利用速度—時間圖像求解，先作A、B兩車的速度—時間圖像，其圖像如圖所示，設經過t′時間兩車剛好不相撞，則 對A車有vA＝v′＝v0－2at′ 對B車有vB＝v′＝at′ 以上兩式聯立解得t′＝ 經t′時間兩車發(fā)生的位移大小之差，即原來兩車間的距離s 它可用圖中的陰影面積表示，由圖像可知 s＝v0t′＝v0＝ 所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0＜。 答案：v0＜ “專項研究”拓視野——運動示意圖和運動圖像 運動學問題如果單獨作為考查點命制計算題，則往往涉及兩個物體的運動關系問題，或者是一個物體的多過程、多情景的實際問題。對于這類問題，分析物理過程，作好運動示意圖或運動圖像，從而弄清運動物體運動過程中各階段運動量間的聯系，是尋找解題途徑的關鍵。 一、運動示意圖 運動示意圖就是根據文字敘述而畫出的用以形象描述物體運動過程的一種簡圖(或草圖)。同時在圖上標明物體運動的速度、加速度等狀態(tài)量和位移、時間等過程量。 運用運動示意圖解題時，要分過程恰當選取運動學規(guī)律列方程，同時注意各過程間的位移關系、時間關系及速度關系，列出相應的輔助方程，再將各式聯立求解，便可得出結果。 [例1]　一個氣球以4 m/s的速度勻速豎直上升，氣球下面系著一個重物，當氣球上升到下面的重物離地面217 m時，系重物的繩子斷了，不計空氣阻力，問從此時起，重物經過多長時間落到地面？重物著地時的速度多大？(g取10 m/s2) [解析]　繩子未斷時，重物隨著氣球以4 m/s的速度勻速上升，當繩子斷后，由于慣性，物體將在離地面217 m處，以4 m/s的初速度豎直上拋。運動示意圖如圖所示： 重物由O →A做勻減速直線運動， h1＝＝0.8 m，t1＝＝0.4 s 重物由A→B做自由落體運動，h1＋h＝gt22 可解得：t2＝ ＝6.6 s， 故從繩子斷到重物落地的總時間t＝t1＋t2＝7 s 重物落地時的速度v＝gt2＝66 m/s。 [答案]　7 s　66 m/s [反思領悟] 由以上例題可以看出，對于較復雜的物體運動過程，畫出運動過程示意圖，綜合分析物理過程，尋找物體運動位移關系等帶來極大方便。在平時的練習中應盡量養(yǎng)成畫運動示意圖的好習慣。 [針對訓練] 1．甲、乙兩車在平直公路上比賽，某一時刻，乙車在甲車前方L1＝11 m處，乙車速度v乙＝60 m/s，甲車速度v甲＝50 m/s，此時乙車離終點線尚有L2＝600 m，如圖所示。若甲車加速運動，加速度a＝2 m/s2，乙車速度不變，不計車長。求： (1)經過多長時間甲、乙兩車間距離最大，最大距離是多少？ (2)到達終點時甲車能否超過乙車。 解析：(1)當甲、乙兩車速度相等時，兩車間距離最大，即 v甲＋at1＝v乙， 得t1＝＝ s＝5 s； 甲車位移x甲＝v甲t1＋at12＝275 m， 乙車位移x乙＝v乙t1＝605 m＝300 m， 此過程中，甲、乙兩車運動示意圖如圖所示： 故此時兩車之間的距離Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m。 (2)乙車勻速運動到達終點共需時間t2＝＝10 s， 此過程中甲車的位移x甲′＝v甲t2＋at22＝600 m， 運動示意圖如圖所示： 此時甲、乙兩車之間的距離Δx′＝L1＋L2－x甲′＝11 m， 故乙車到達終點時，甲車沒有超過乙車。 答案：(1)5 s　36 m　(2)不能 二、運動圖像 圖像作為表示物理規(guī)律的方法之一，可以直觀地反映某一物理量隨另一物理量變化的函數關系，以形象地描述物理規(guī)律。 在運動學中，作為分析物理問題的一種途徑，常用的運動圖像為v t圖像。v t圖像的物理意義主要通過“點”“線”“面”“斜”“截”五個方面體現出來，應用圖像時應從這五個方面入手，予以明確后才能準確表達物理過程及物理量變化的對應關系。 [例2]　摩托車在平直公路上從靜止開始啟動，加速度大小為a1＝1.6 m/s2，稍后做勻速運動，然后以大小為a2＝6.4 m/s2的加速度做勻減速運動，直到停止，共歷時130 s，行程1 600 m。試求： (1)摩托車行駛的最大速度vmax； (2)若摩托車從靜止啟動，a1、a2不變，直到停止，行程不變，所需最短時間為多少？ [解析]　(1)整個運動過程分三個階段：勻加速運動、勻速運動、勻減速運動。 可借助vt圖像表示，如圖甲所示。 利用推論公式v2－v02＝2ax 有：＋vmax＋＝1 600 m。 其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。 解得：vmax＝12.8 m/s(另一解舍去)。 (2)首先要分析得出摩托車以什么樣的方式運動可使得所需時間最短。借助圖乙所示的v t圖像可知：當摩托車先以a1做勻加速運動，當速度達到vmax′時，緊接著以a2做勻減速運動直到停止時，行程不變，時間最短，如圖乙對應圖線所示。 設最短時間為tmin，則tmin＝＋ ① ＋＝1 600 m ② 其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。 由②式解得vmax′＝64 m/s，故tmin＝ s＋ s＝50 s。 即最短時間為50 s。 [答案]　(1)12.8 m/s　(2)50 s [反思領悟] 由以上例題可以看出，將物體復雜的運動過程畫在vt圖像上，由圖像上各點的斜率表示物體的加速度，某段圖線下的“面積”數值上與該段位移大小相等，可將復雜問題簡單化。 [針對訓練] 2．在光滑水平面上有一靜止的物體，現以水平恒力甲推這一物體，作用一段時間后，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體，當恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時，物體恰好回到原處。求： (1)恒力甲作用過程中物體的加速度a1與恒力乙作用過程中物體的加速度a2之比； (2)恒力甲作用過程中物體的末速度v1與恒力乙作用過程中物體的末速度v2之比。 解析：對應題中敘述，設A→B過程物體做初速度為0的勻加速運動，位移為x1，由勻變速運動位移公式和速度公式可以建立起方程。B→C→A過程，物體先向右做勻減速運動，然后向左做勻加速運動。 下面從兩個角度求解本題。 法一：利用運動示意圖求解 A→B過程， x1＝a1t2，v1＝a1t B→C過程，x2＝v1t′－a2t′2， 0＝v1－a2t′ C→A過程，x1＋x2＝a2(t－t′)2，v2＝a2(t－t′) 由以上方程聯立可解得：＝，＝。 法二：利用v t圖像求解 畫出v t圖像如圖所示，由A→B→C過程的位移與C→B→A過程的位移大小相等。 即圖中S△OB′C′＝S△A′QC′得 (t＋t′)＝(t－t′) B→C與C→A過程加速度相同， 即圖線B′C′與圖線C′A′斜率相同，可得＝ 由以上兩式可解得t′＝t，＝ a1、a2的大小分別對應圖線OB′的斜率與圖線B′C′的斜率，易得：＝＝。 答案：(1)1∶3　(2)1∶2