（全國通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中檔大題規(guī)范練（四）立體幾何與空間向量 理.doc

(四)立體幾何與空間向量1(2018四川成都市第七中學(xué)診斷)在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，ABDC，ABAD1，CD2，ACEC.(1)求證：平面EBC平面EBD；(2)設(shè)M為線段EC上一點，3，求二面角MBDE的平面角的余弦值(1)證明由AD1，CD2，AC，得AD2CD2AC2，ADC為直角三角形，且ADDC，同理EDC為直角三角形，且EDDC.又四邊形ADEF是正方形，ADDE.又ABDC，DAAB.在梯形ABCD中，過點B作BHCD于點H，故四邊形ABHD是正方形在BCH中，BHCH1，BCH45，BC，BDC45，DBC90，BCBD.EDAD，EDDC，ADDCD，AD，DC平面ABCD，ED平面ABCD，又BC平面ABCD，EDBC，又BDEDD，BD，ED平面EBD，BC平面EBD，又BC平面EBC，平面EBC平面EBD.(2)解由(1)可得DA，DC，DE兩兩垂直，以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,2,0)令M(0，y0，z0)，則(0，y0，z01)，(0,2，1)，3，(0,3y0,3z03)(0,2，1)，點M的坐標(biāo)為.BC平面EBD，(1,1,0)是平面EBD的一個法向量設(shè)平面MBD的法向量為m(x，y，z)(1,1,0)，則即可得xyz.令y1，得m(1，1,1)cosm，.由圖形知二面角MBDE為銳角，二面角MBDE的平面角的余弦值為.2(2018安徽省合肥市第一中學(xué)模擬)底面OABC為正方形的四棱錐POABC，且PO底面OABC，過OA的平面與側(cè)面PBC的交線為DE，且滿足SPDESPBC14.(1)證明：PA平面OBD；(2)當(dāng)S3S時，求二面角BOEC的余弦值(1)證明由題意知四邊形OABC為正方形，OABC，又BC平面PBC，OA平面PBC，OA平面PBC，又OA平面OAED，平面OAED平面PBCDE，DEOA，又OABC，DEBC.由PDEPCB，且SPDESPBC14，知E，D分別為PB，PC的中點連接AC交OB于點F，則點F為AC的中點，連接DF.DFPA，DF平面OBD，PA平面OBD，PA平面OBD.(2)解底面OABC為正方形，且PO底面OABC，PO，OA，OC兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)OAOC2a，OP2b，則O(0,0,0)，C(0,2a,0)，B(2a,2a,0)，F(xiàn)(a，a,0)，P(0,0,2b)，E(a，a，b)PO平面OABC，CF平面OABC，CFPO.四邊形OABC為正方形，CFOB，又POOBO，PO，OB平面POB，CF平面POB，即CF平面OBE，平面OBE的一個法向量為(a，a,0)設(shè)平面OEC的一個法向量為m(x，y，z)，而(0,2a,0)，(a，a，b)由得取za可得，m(b,0，a)為平面OCE的一個法向量設(shè)二面角BOEC的大小為，由圖易得為銳角，由S3S，得POOA，.故cos ，二面角BOEC的余弦值為.3(2018寧夏回族自治區(qū)銀川一中模擬)如圖，已知DEF與ABC分別是邊長為1與2的正三角形，ACDF，四邊形BCDE為直角梯形，且DEBC，BCCD，點G為ABC的重心，N為AB的中點，AG平面BCDE，M為線段AF上靠近點F的三等分點(1)求證：GM平面DFN；(2)若二面角MBCD的余弦值為，試求異面直線MN與CD所成角的余弦值(1)證明在ABC中，連接AG并延長交BC于點O，連接ON，OF.因為點G為ABC的重心，所以，且O為BC的中點又，所以，所以GMOF.因為點N為AB的中點，所以NOAC.又ACDF，所以NODF，所以O(shè)，D，F(xiàn)，N四點共面，又OF平面DFN，GM平面DFN，所以GM平面DFN.(2)解由題意知，AG平面BCDE，因為AG平面ABC，所以平面ABC平面BCDE，又BCCD，平面ABC平面BCDEBC，CD平面BCDE，所以CD平面ABC.又四邊形BCDE為直角梯形，BC2，DE1，所以O(shè)ECD，所以O(shè)E平面ABC.因為ACDF，DEBC，ACBCC，DEDFD，AC，BC平面ABC，DE，DF平面DEF，所以平面ABC平面DEF，又DEF與ABC分別是邊長為1與2的正三角形，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC，OE，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)CDm，則C(1,0,0)，D(1，m,0)，A(0，0，)，F(xiàn)，B(1,0,0)，N，因為，所以M，(2,0,0)，設(shè)平面MBC的一個法向量為n(x，y，z)，由得令zm，得n(0，m)又平面BCD的法向量為v(0,0,1)由題意得|cosv，n|，解得m，又，所以|cos，| .所以異面直線MN與CD所成角的余弦值為.4(2018益陽統(tǒng)考)如圖，在三棱錐PABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，PAABAC，平面平面PAB，且與棱PC，AC，BC分別交于P1，A1，B1三點(1)過A作直線l，使得lBC，lP1A1，請寫出作法并加以證明；(2)若，D為線段B1C的中點，求直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值解(1)作法：取BC的中點H，連接AH，則直線AH即為要求作的直線l.證明如下：PAAB，PAAC，且ABACA，AB，AC平面ABC，PA平面ABC.平面平面PAB，且平面PACP1A1，平面PAB平面PACPA，P1A1PA，P1A1平面ABC，P1A1AH.又ABAC，H為BC的中點，則AHBC，從而直線AH即為要求作的直線l.(2)，又平面平面PAB，.以A為坐標(biāo)原點，AB，AC，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB3，則A1(0,1,0)，B1(2,1,0)，P(0，0,3)，P1(0,1,2)，D(1,2,0)，則(2,0,0)，(0,1，3)，(1,1，2)，設(shè)平面PA1B1的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，得n(0,3,1)則cos，n.故直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值為.5(2018江西省重點中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，ABAC2，AD2，PB，PBAC.(1)求證：平面PAB平面PAC；(2)若PBA45，試判斷棱PA上是否存在與點P，A不重合的點E，使得直線CE與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由(1)證明因為四邊形ABCD是平行四邊形，AD2，所以BCAD2，又ABAC2，所以AB2AC2BC2，所以ACAB，又PBAC，ABPBB，AB，PB平面PAB，所以AC平面PAB.又因為AC平面PAC，所以平面PAB平面PAC.(2)解由(1)知ACAB，AC平面PAB，分別以AB，AC所在直線為x軸，y軸，平面PAB內(nèi)過點A且與直線AB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,2,0)， (2,2,0)，由PBA45，PB，可得P(1,0,1)，所以(1,0,1)，(1,0,1)，假設(shè)棱PA上存在點E，使得直線CE與平面PBC所成角的正弦值為，設(shè)(0<<1)，則(，0，)，(，2，)，設(shè)平面PBC的法向量n(x，y，z)，則即令z1，可得xy1，所以平面PBC的一個法向量n (1,1,1)，設(shè)直線CE與平面PBC所成的角為，則sin |cosn，| ，解得或(舍)所以在棱PA上存在點E，且，使得直線CE與平面PBC所成角的正弦值為.