（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第五節(jié) 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系講義（含解析）.doc

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第五節(jié)　空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 突破點(diǎn)一　空間向量及其運(yùn)算 1．空間向量及其有關(guān)概念 (1)空間向量的有關(guān)概念 空間向量 在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一個(gè)平面的向量 (2)空間向量中的有關(guān)定理 共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一一個(gè)λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝x a＋y b 空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c 2.兩個(gè)向量的數(shù)量積 (1)非零向量a，b的數(shù)量積ab＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 ①結(jié)合律：(λa)b＝λ(ab)； ②交換律：ab＝ba； ③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 3．空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐標(biāo)表示 數(shù)量積 ab a1b1＋a2b2＋a3b3 共線 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 ab＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有＋＋＋＝0.(　　) (2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件．(　　) (3)空間中任意兩非零向量a，b共面．(　　) (4)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(ab)c＝a(bc)．(　　) (5)對(duì)于非零向量b，由ab＝bc，則a＝c.(　　) (6)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)√　(4)　(5)　(6) 二、填空題 1．如圖，已知空間四邊形ABCD，則＋＋等于________． 答案： 2．已知i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，a＝i＋2j＋3k，則a在i方向上的投影為________． 答案：1 3．若空間三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共線，則p＝________，q＝________. 答案：3　2 4．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________. 答案：7 考法一　空間向量的線性運(yùn)算　 [例1]　已知四邊形ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中點(diǎn)，求下列各題中x，y的值： (1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. [解]　(1)如圖，∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y(tǒng)＝－. (2)∵＋＝2， ∴＝2－. 又∵＋＝2，∴＝2－. 從而有＝2－(2－)＝2－2＋. ∴x＝2，y＝－2. [方法技巧] 用已知向量表示某一向量的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵． (2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量． (3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．　　 考法二　共線、共面向量定理的應(yīng)用　 [例2]　已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法求證： (1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)BD∥平面EFGH. [證明]　(1)如圖，連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋， 由共面向量定理知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)椋剑剑?－)＝， 因?yàn)镋，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. [方法技巧] 1．證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法 (1)＝λ(λ∈R)； (2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋t (t∈R)； (3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y(x＋y＝1)． 2．證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y； (2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋x＋y； (3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)； (4) ∥ (或∥或∥)．　　 考法三　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用　 [例3]　如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點(diǎn)．若正方體的棱長為1.求cos〈，〉． [解]　∵||＝＝＝＝||， ∴＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉． 又∵＝＋，＝＋， ∴＝(＋)(＋) ＝＋＋＋＝||||＝1＝. ∴cos〈，〉＝. [方法技巧]　　空間向量數(shù)量積的3個(gè)應(yīng)用 求夾角 設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cos θ＝，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角 求長度 運(yùn)用公式|a|2＝aa，可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題 解決垂直問題 利用a⊥b?ab＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題 1.已知三棱錐OABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則等于(　　) A.(b＋c－a)　　　　　 B.(a＋b＋c) C.(a－b＋c) D.(c－a－b) 解析：選D　＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋＝－－＋＝(c－a－b)． 2.O為空間任意一點(diǎn)，若＝＋＋， 則A，B，C，P四點(diǎn)(　　) A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷 解析：選B　因?yàn)椋剑?，且＋＋?.所以P，A，B，C 四點(diǎn)共面． 3.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且 ∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為________． 解析：設(shè)＝a，＝b，＝c， 由已知條件，得〈a，b〉＝〈a，c〉＝， 且|b|＝|c|，＝a(c－b)＝ac－ab ＝|a||c|－|a||b|＝0， ∴⊥，∴cos〈，〉＝0. 答案：0 突破點(diǎn)二　利用空間向量證明平行與垂直 1．兩個(gè)重要向量 直線的方向向量 直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè) 平面的法向量 直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量．顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，它們是共線向量 2．空間中平行、垂直關(guān)系的向量表示 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則 線線平行 l∥m?a＝kb(k∈R) 線面平行 l∥α?a⊥n1?an1＝0 面面平行 α∥β?n1∥n2?n1＝kn2(k∈R) 線線垂直 l⊥m?ab＝0 線面垂直 l⊥α?a∥n1?a＝kn1(k∈R) 面面垂直 α⊥β?n1⊥n2?n1n2＝0 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)直線的方向向量是唯一確定的．(　　) (2)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是 n0=.(　　) (3)兩條不重合的直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是平行．(　　) (4)若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β.(　　) 答案：(1)　(2)√　(3)√　(4) 二、填空題 1．已知直線l1的一個(gè)方向向量為(－7,3,4)，直線l2的一個(gè)方向向量為(x，y,8)，且l1∥l2，則x＝________，y＝________. 答案：－14　6 2．若平面α的一個(gè)法向量為n1＝(－3，y,2)，平面β的一個(gè)法向量為n2＝(6，－2，z)，且α∥β，則y＋z＝________. 答案：－3 3．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－3,0，－6)，則l與α的位置關(guān)系是________． 答案：l⊥α 考法一　向量法證明平行與垂直關(guān)系　 [例1]　如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F. (1)證明：PA∥平面EDB； (2)證明：PB⊥平面EFD. 證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)， 設(shè)DC＝a. (1)連接AC交BD于G，連接EG. 依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E. ∵底面ABCD是正方形， ∴G是此正方形的中心． 故點(diǎn)G的坐標(biāo)為， 且＝(a,0，－a)，＝， ∴＝2，∴PA∥EG. 又∵EG?平面EDB且PA?平面EDB， ∴PA∥平面EDB. (2)依題意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝， 故＝0＋－＝0，∴PB⊥DE， 又∵EF⊥PB，且EF∩DE＝E， ∴PB⊥平面EFD. [方法技巧] 1．利用空間向量證明平行的方法 線線平行 證明兩直線的方向向量共線 線面平行 ①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； ②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行 面面平行 ①證明兩平面的法向量為共線向量； ②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題 2.利用空間向量證明垂直的方法 線線垂直 證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零 線面垂直 證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎? [提醒]　運(yùn)用向量知識(shí)判定空間位置關(guān)系時(shí)，仍然離不開幾何定理．如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時(shí)，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外． [針對(duì)訓(xùn)練] 已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． (1)設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 則即得 令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． 因?yàn)閚1＝－2＋2＝0，所以⊥n， 又因?yàn)镕C1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE. (2)∵＝(2,0,0)， 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量， 由得得 令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2 ＝(0，－1,2)，因?yàn)閚1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 考法二　向量法解決垂直、平行關(guān)系中的探索性問題 [例2]　如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論． [解]　依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1， 則A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，＝(－1,0,1)，＝. 設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1BE的一個(gè)法向量， 則由得 所以x＝z，y＝z. 取z＝2，得n＝(2,1,2)． 設(shè)棱C1D1上存在點(diǎn)F(t,1,1)(0≤t≤1)滿足條件，又因?yàn)锽1(1,0,1)， 所以＝(t－1,1,0)． 而B1F?平面A1BE， 于是B1F∥平面A1BE?n＝0?(t－1,1,0)(2,1,2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝?F為C1D1的中點(diǎn)．這說明在棱C1D1上存在點(diǎn)F(C1D1的中點(diǎn))，使B1F∥平面A1BE. [方法技巧] 向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探索性問題的思路 (1)根據(jù)題設(shè)條件中的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示． (2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．　　 [針對(duì)訓(xùn)練] 在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，則在線段CC1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE？證明你的結(jié)論． 解：存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面A1B1P⊥平面C1DE.證明如下： 如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體的棱長為1，P(0,1，a)(0≤a≤1)， 則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)， ∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)， ＝，＝(0,1,1)． 設(shè)平面A1B1P的一個(gè)法向量n1＝(x1，y1，z1)， 則∴ 令z1＝1，則x1＝a－1， ∴n1＝(a－1,0,1)． 設(shè)平面C1DE的一個(gè)法向量n2＝(x2，y2，z2)， 則∴ 令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1， ∴n2＝(－2,1，－1)． 若平面A1B1P⊥平面C1DE， 則n1n2＝0，∴－2(a－1)－1＝0，解得a＝. ∴當(dāng)P為C1C的中點(diǎn)時(shí)，平面A1B1P⊥平面C1DE.