高考數(shù)學大一輪復習 第九章 算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第三節(jié) 用樣本估計總體教師用書 理

第三節(jié)用樣本估計總體2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并給出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想。2016，山東卷，3,5分(頻率分布直方圖)2016，江蘇卷，4,5分(樣本方差)2016，四川卷，16,12分(頻率分布直方圖的應用)2015，全國卷，18,12分(樣本數(shù)字特征、概率)2015，安徽卷，6,5分(標準差)1.本節(jié)是用樣本估計總體，是統(tǒng)計學的基礎，以考查頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、標準差為主，同時考查對樣本估計總體的思想的理解；2.本節(jié)在高考題中主要是以選擇題和填空題為主，屬于中低檔題目。微知識小題練自|主|排|查1用樣本的頻率分布估計總體分布(1)作頻率分布直方圖的步驟。求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)。決定組距與組數(shù)。將數(shù)據(jù)分組。列頻率分布表。畫頻率分布直方圖。(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線。頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖?？傮w密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。(3)莖葉圖。莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)。2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按大小順序排列，若有奇數(shù)個數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。(3)平均數(shù)：，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平。(4)標準差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s。(5)方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù))。微點提醒1平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，眾數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列后中間一項或中間兩項的平均數(shù)，都可以從不同的角度描述數(shù)據(jù)的集中趨勢。2頻率分布直方圖中的縱軸代表的是，而不是頻率。3對于實際中的數(shù)據(jù)分析的時候，要注意貼合實際目的，并盡量分析全面，從而做出合理的決策。小|題|快|練一 、走進教材1(必修3P81A組T2改編)學校為了解學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學進行調(diào)查，結果顯示這些同學的支出都在10,50(單位：元)之間，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在10,30)(單位：元)內(nèi)的同學有33人，則支出在40,50(單位：元)內(nèi)的同學人數(shù)為()A100 B120C30 D300【解析】支出在10,30)內(nèi)的同學所占的頻率為(0.0100.023)100.33，所以n100。又支出在40,50內(nèi)的同學所占的頻率為1(0.0100.0230.037)100.3，所以支出在40,50內(nèi)的同學人數(shù)為1000.330。故選C。【答案】C2(必修3P79練習T1)農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的平均產(chǎn)量如下(單位：500 g)，產(chǎn)量比較穩(wěn)定的是()品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890A.甲 B乙C一樣 D無法確定【解析】甲(900920900850910920)900，乙(890960950850860890)900；s(202502102202)567，s(102602502502402102)1 733，因為s<s，所以甲的產(chǎn)量波動小，所以甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。故選A?！敬鸢浮緼二、雙基查驗1一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.375，則該組樣本的頻數(shù)為()A4 B8C12 D16【答案】C2對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是()125202333124489455577889500114796178A.46,45,56 B46,45,53C47,45,56 D45,47,53【解析】從莖葉圖中可以看出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)，即46，眾數(shù)是45，極差為681256。故選A?！敬鸢浮緼3對于一組數(shù)據(jù)xi(i1,2,3，n)，如果將它們改變?yōu)閤iC(i1,2,3，n)，其中C0，則下列結論正確的是()A平均數(shù)與方差均不變B平均數(shù)變，方差保持不變C平均數(shù)不變，方差變D平均數(shù)與方差均發(fā)生變化【解析】依題意，記原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為s2，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C，即新數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變；新數(shù)據(jù)的方差為(x1C)(C)2(x2C)(C)2(xnC)(C)2s2，即新數(shù)據(jù)的方差不變。故選B?！敬鸢浮緽4甲、乙兩人比賽射擊，兩人所得的平均環(huán)數(shù)相同，其中甲所得環(huán)數(shù)的方差為5，乙所得環(huán)數(shù)如下：5,6,9,10,5，那么這兩人中成績較穩(wěn)定的是_?！窘馕觥恳?，s(57)2(67)2(97)2(107)2(57)24.4，s>s，乙的成績較穩(wěn)定?！敬鸢浮恳?某電子商務公司對10 000名網(wǎng)絡購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間0.3,0.9內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示。(1)直方圖中的a_；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為_?！窘馕觥?1)0.11.50.12.50.1a0.120.10.80.10.21，解得a3；(2)區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的頻率為10.11.50.12.50.6，則該區(qū)間內(nèi)購物者的人數(shù)為10 0000.66 000。【答案】(1)3(2)6 000微考點大課堂考點一 頻率分布直方圖及應用【典例1】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費。為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖。(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由。【解析】(1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5)中的頻率為0.080.50.04，同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4，4.5中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02。由0.040.080.5a0.200.260.5a0.060.040.021，解得a0.30。(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12。由以上樣本的頻率，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.1236 000。(3)因為前6組的頻率之和為0.040.080.150.200.260.150.88>0.85，而前5組的頻率之和為0.040.080.150.200.260.73<0.85，所以2.5x<3。由0.3(x2.5)0.850.73，解得x2.9。所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準?！敬鸢浮?1)0.30(2)36 000人(3)2.9，理由見解析反思歸納解決頻率分布直方圖的問題，關鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。這些數(shù)據(jù)中，直接的有組距、，間接的有頻率、小長方形的面積，合理使用這些數(shù)據(jù)，再結合兩個等量關系：小長方形面積組距頻率，小長方形面積之和等于1，即頻率之和等于1，就可以解決直方圖的有關問題?！咀兪接柧殹?2016山東高考)某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30。根據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A56B60C120 D140【解析】由頻率分布直方圖可知，這200名學生每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.160.080.04)2.50.7，故這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)為2000.7140。故選D。【答案】D考點二 莖葉圖及其應用【典例2】某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民。根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖如下：(1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；(2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價。【解析】(1)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75。50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67。(2)由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為0.1，0.16，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1,0.16。(3)由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高，評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大?！敬鸢浮?1)對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)的估計值分別是75,67(2)對甲、乙兩部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1，0.16(3)評價見解析反思歸納在使用莖葉圖時，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中數(shù)字的特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義?！咀兪接柧殹考?、乙兩個小組各10名學生的英語口語測試成績?nèi)缦?單位：分)：甲組：76908486818786828583乙組：82848589798091897974用莖葉圖表示這兩個小組的成績，并判斷哪個小組的成績更整齊一些。【解析】莖葉圖如圖所示(中間的莖為十位數(shù)字)：由莖葉圖容易看出甲組的成績是對稱的，有的葉集中分布在莖8上，乙組的成績也大致對稱，有的葉集中分布在莖8上，從葉在莖上的分布情況看，甲組的成績更整齊一些?！敬鸢浮恳娊馕隹键c三 樣本的數(shù)字特征多維探究角度一：樣本的數(shù)字特征的計算【典例3】(1)下面是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為()A11B11.5C12D12.5(2)(2016江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_。(3)(2016宜賓模擬)若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，xn的平均數(shù)為5，方差s22，則數(shù)據(jù)3x11，3x21,3x31，3xn1的平均數(shù)和方差分別為()A5,2 B16,2 C16,18 D16,9【解析】(1)中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分的平行于縱軸的直線的橫坐標。設中位數(shù)為a，則xa將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，則有0.30(a10)0.10.5，所以a12。故選C。(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)5.1，則方差s20.1。(3)x1，x2，x3，xn的平均數(shù)為5，5，135116，x1，x2，x3，xn的方差為2，3x11,3x21,3x31，3xn1的方差是32218。故選C?！敬鸢浮?1)C(2)0.1(3)C【母題變式】本典例(1)中的眾數(shù)和平均數(shù)是多少？【解析】眾數(shù)是12.5樣本在5,10)的頻率是50.060.3，在10,15)的頻率是0.150.5，在15,20的頻率是10.30.50.2。所以樣本的平均數(shù)是：7.50.312.50.517.50.212。【答案】眾數(shù)是12.5，平均數(shù)是12角度二：樣本數(shù)字特征的應用【典例4】某汽車制造廠分別從A，B兩種輪胎中各隨機抽取了8個進行測試，列出了每一個輪胎行駛的最遠里程數(shù)(單位：1 000 km)：輪胎A96112971081001038698輪胎B10810194105969397106(1)分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的極差、標準差；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪種型號輪胎的性能更加穩(wěn)定？【解析】(1)A輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)為：100，中位數(shù)為：99；B輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)為：100，中位數(shù)為：99。(2)A輪胎行駛的最遠里程的極差為：1128626，標準差為：s 7.43；B輪胎行駛的最遠里程的極差為：1089315，標準差為：s5.43。(3)雖然A輪胎和B輪胎的最遠行駛里程的平均數(shù)相同，但B輪胎行駛的最遠里程的極差和標準差相對于A輪胎較小，所以B輪胎性能更加穩(wěn)定?！敬鸢浮?1)A、B兩種輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)都為100，中位數(shù)都為99(2)A、B兩種輪胎行駛的最遠里程的極差分別為26,15，標準差分別為7.43，5.43(3)B輪胎性能更加穩(wěn)定反思歸納眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結論1.平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小。2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是ma。(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2。數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2?！咀兪接柧殹考?、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是_?！窘馕觥考滓?環(huán)，s(910)2(98)2(99)2(99)2(99)2，s(910)2(910)2(97)2(99)2(99)2s，故甲更穩(wěn)定。故選甲?！敬鸢浮考孜⒖紙鲂绿嵘?商場在2016年國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為()A6萬元 B8萬元C10萬元 D12萬元解析設11時至12時的銷售額為x萬元，由，得x10。故選C。答案C2如圖是2016年某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為()A.85,84 B84,85C86,84 D84,86解析由圖可知去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84,84,86,84,87，則平均數(shù)為85，眾數(shù)為84。故選A。答案A3(2016荊州市質(zhì)檢)已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到1,0,4，x,7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A5,24 B5,24C4,25 D4,25答案A4已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_。解析由平均數(shù)公式可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6。答案65下面莖葉圖是甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為_。解析設被污損的數(shù)字為a(0a9且aN)，則由甲的平均成績超過乙的平均成績得8889909192>8383879990a，解得8>a，即得0a7且aN，甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為P。答案微專題巧突破有關頻率分布直方圖易錯點梳理利用頻率分布直方圖估計總體的基本數(shù)字特征，簡單地說，就是能“制圖”，會“用圖”，而我們在應用中產(chǎn)生的錯誤也主要發(fā)生在這兩個過程中。錯誤一、制圖分組不對，頻數(shù)統(tǒng)計錯誤【典例1】某校在開學之初，以班級為單位，對學生自行購買保險的情況進行了抽樣統(tǒng)計，得到了如下20個班級購買保險人數(shù)情況：12,9,5,11,10,22,28,6,30,14,15,12,16,26,18,27,22,14,12,5試作出該樣本的一個頻率分布直方圖。【錯解】這組數(shù)據(jù)的極差為30525，將組距定為5，組數(shù)定為5，則可將20個數(shù)據(jù)分為5,10，10,15，15,20，20,25，25,30這5組，得到每組的頻數(shù)分別為5,8,3,2,4。(剩余解答略)【正解】在上述解答中，各小組頻數(shù)之和為22，大于樣本容量，顯然是錯誤的。原因是分組區(qū)間全是雙閉區(qū)間，則數(shù)據(jù)“10”在第一組和第二組均被計入頻數(shù)，數(shù)據(jù)“15”也是如此。在分組時，應將20個數(shù)據(jù)分為5,10)，10,15)，15,20)，20,25)，25,30這5組，得到每組的頻數(shù)分別為4,7,3,2,4。(剩余解答略)?！疽族e總結】分組時，每組所在區(qū)間一般是選擇“左閉右開”，而不是“雙閉”或“雙開”，防止某些數(shù)據(jù)漏選或被多次計入不同小組，從而導致頻數(shù)統(tǒng)計失誤。規(guī)避這種失誤，可以檢查各組頻數(shù)之和是否等于樣本容量。錯誤二、用圖將頻率分布直方圖的縱坐標“”誤認為是“頻率”【典例2】對某校七年級100名學生每周的零用錢(單位：元)進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中第3小組的頻率為0.34，第1,2,4,5小組的頻率形成了公差為0.03的等差數(shù)列，求圖中a的值。【錯解】由于各小組的頻率之和為1，且第3小組頻率為0.34，則第1,2,4,5小組頻率之和為0.66。這4個小組的頻率形成了公差為0.03的等差數(shù)列，設首項為a1，則由等差數(shù)列前4項之和為0.66，可得a10.12，則第2小組的頻率為0.15，故a0.15?！菊狻康?小組頻率的計算過程完全正確，第2小組的頻率等于0.15，但并不意味著a0.15。因為第2小組的矩形的面積才是第2小組的頻率，故矩形的高為0.03，即a0.03?！疽族e總結】頻率分布直方圖中，關鍵要理解圖中數(shù)據(jù)的意義，特別是圖中每個小矩形的面積才是這一組距內(nèi)個體的頻率。最高矩形的中點是眾數(shù)，將直方圖的面積一分為二的垂直橫軸的直線所對應的數(shù)值是中位數(shù)?？傊?，我們要明確對頻率分布直方圖的繪制及結構認識。事實上頻率分布直方圖中的每個小矩形的面積表示該組的頻率，縱軸表示“”。我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結構，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。