高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.1 函數的概念 2.1.1 函數的概念名師導航學案 蘇教版必修1

《高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.1 函數的概念 2.1.1 函數的概念名師導航學案 蘇教版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.1 函數的概念 2.1.1 函數的概念名師導航學案 蘇教版必修1（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2.1 函數的概念和圖象 2.1.1 函數的概念 名師導航 知識梳理 1.函數的概念 設A，B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個x，在集合B中都有__________的數f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的函數，記作y=f(x)，x∈A. 其中x叫__________，x的取值范圍A叫做函數y=f(x)的__________；與x的值相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}(B)叫做函數y=f(x)的__________. 函數符號y=f(x)表示“y是x的函數”，有時簡記作函數_

2、_________. (1)函數實際上就是集合A到集合B的一個特殊對應f:A→B，這里A,B為__________的數集. (2)A：定義域； {f(x)|x∈A}：值域,其中{f(x)|x∈A}__________B； f：對應法則，x∈A，y∈B. (3)函數符號：y=f(x)y是x的函數，簡記f(x). 2.已學函數的定義域和值域 (1)一次函數f(x)=ax+b(a≠0):定義域為__________,值域為__________; (2)反比例函數f(x)=(k≠0):定義域為__________,值域為__________; (3)二次函數f(x)=

3、ax2+bx+c(a≠0):定義域為__________， 值域：當a>0時，為__________；當a<0時，為__________. 3.函數的值：關于函數值f(a) 例：f(x)=x2+3x+1,則f(2)= __________. 4.函數的三要素： 對應法則f、定義域A和值域{f(x)|x∈A}. 只有當這三要素__________時，兩個函數才能稱為同一函數. 疑難突破 有關函數概念的理解 剖析：(1)如果一個函數需要幾條限制時，那么定義域為各限制所得x的范圍的交集. (2)求定義域的基本步驟為:根據所給函數按照基本要求列出

4、不等式組,解不等式組即可. (3)定義域是一個集合，要用集合作答.也可寫成區(qū)間的形式，定義域用區(qū)間表示有時顯得非常簡捷. (4)隨著今后的學習，自變量x的取值范圍還可能受到一些新的限制，如對數函數，三角函數等. (5)兩個函數當且僅當定義域與對應法則分別相同時，才是同一函數. (6)注意：我們可以定義一個函數f：A→B，該函數的值域C并不一定等于集合B，但C一定是B的一個子集. (7)理解函數符號“y=f(x)”的含義.符號“y=f(x)”用語言通俗解釋為“y是x的函數”，它僅僅是抽象的、簡潔的函數符號，每一部分都有其特定的含義. 問題探究 問題1 高中階段學習的函數的概念和初

5、中階段學習的函數的概念有什么異同？ 探究思路：初中階段的概念是這樣的：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數. 將自變量x取值的集合叫做函數的定義域，和自變量x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域. 高中階段的概念是這樣的：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A.其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相

6、對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域. 兩種函數概念有以下的相同點： (1)兩種表示的定義域和值域完全相同； (2)對應關系本質上也是一樣的； (3)都是描述變量之間的依賴關系. 兩種函數概念有以下的不同點： (1)用集合的觀點說明變量； (2)用對應關系表示變化過程； (3)表示法的不同：初中里的表示法比較單一，在高中更全面. 問題2 對于函數f(x)=x2+2x-3，試畫出它的圖象.你能根據它的圖象畫出下列各函數的圖象嗎？你從中能總結出什么結論？ (1)y=-f(x)；(2)y=f(-x)； (3)y=-f(-x)；(

7、4)y=f(|x|)； (5)y=|f(x)|；(6)y=f(x+1)； (7)y=f(x)+1. 探究思路：已知函數y=f(x)，求作其圖象有兩種思路. 思路一：列表描點法. 思路二：利用函數圖象的變換去畫圖，題(1)—(5)可通過對稱變換，(6)(7)可用平移變換.如下圖所示. 典題精講 例1 下列各題中的兩個函數表示同一個函數的是( ) A.f(x)=x，g(x)= B.f(n)=2n+1(n∈Z)，g(n)=2n-1(n∈Z) C.f(x)=x-2，g(t)=t-2

8、 D.f(x)=，g(x)=1+x 思路解析 兩個函數相同必須有相同的定義域、值域和對應法則.A中兩函數的值域不同；B中雖然定義域和值域都相同，但對應法則不同；C中盡管表示自變量的兩個字母不同，但兩個函數的三個要素是一致的，因此它們是同一函數；D中兩函數的定義域不同. 答案:C 例2 求下列函數的定義域： (1)y=2+； (2)y=·； (3)y=(x-1)0+. 思路解析 給定函數時，要指明函數的定義域.對于用函數解析式表示的函數，如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是指使函數有意義的自變量的取值集合.因為函數的定義域是同時使函數解析式各部分有意義

9、的x值的集合，所以應取各部分的交集. 解答：(1)要使函數有意義，當且僅當x-2≠0，即x≠2，所以這個函數的定義域為{x|x∈R且x≠2}. (2)要使函數有意義，當且僅當解得1≤x≤3，所以這個函數的定義域為{x|x∈R且1≤x≤3}. (3)要使函數有意義，當且僅當解得x>-1且x≠1，所以這個函數的定義域為{x|x>-1且x≠1}. 例3 求下列函數的值域： (1)y=x2-2x-1，x∈［0，3］； (2)y=+3； (3)y=； (4)y=|x-1|+|x-2|. 思路解析 求二次函數的值域一般要數形結合，先配方找出對稱軸，再考察給定區(qū)間與對稱軸的

10、關系，利用二次函數在對稱軸兩側的單調性，求出給定區(qū)間上的最大值和最小值，即可得到函數的值域.除數形結合之外，求函數的值域的方法還有逐步求解法、判別式法、分離常數法和利用有界性等.絕對值函數通常先化為分段函數. 解答：(1)將原式變形，得y=(x-1)2-2，此函數的對稱軸為x=1，由于x∈［0，3］， ∴當x=1時，y有最小值-2.根據函數的對稱性知，x=3比x=1的值要大，∴當x=3時，y有最大值2. ∴這個函數的值域為［-2，2］. (2)易知x≥2，∴≥0.∴y=+3≥3. ∴這個函數的值域為［3，+∞］.(逐步求解法) (3)先分離常數，y==.

11、 ① 解法一：(逐步求解法)∵x2+1≥1，∴0＜≤1. ∴1＞1-≥-2.∴y∈［-2，1). 解法二：(判別式法)兩邊同乘以x2+1并移項，得(y-1)x2+y+2=0，又由①可知y≠1，∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2，1). 解法三：(利用有界性)∵y≠1，易得x2=. 又∵x2≥0，∴≥0.∴y∈［-2，1). (4)原函數可化為y= 由下圖可知y∈［1，+∞). 例4 下圖是一個電子元件在處理數據時的流程圖： (1)試確定y與x的函數關系式； (2)求f(-3)、f(1)的值； (3)若f(x)=16，

12、求x的值； 思路解析 本題是一個分段函數問題，當輸入值x≥1時，先將輸入值x加2再平方得輸出值y；當輸入值x＜1時，則先將輸入值x平方再加2得輸出值y. 解答：(1)y= (2)f(-3)=(-3)2+2=11；f(1)=(1+2)2=9. (3)若x≥1，則(x+2)2=16，解得x=2或x=-6(舍). 若x＜1，則x2+2=16，解得x=(舍)或x=-. 綜上可得x=2或x=-. 例5 已知函數y=f(2x-1)的定義域為［-1，1］，求函數y=f(x-2)的定義域. 思路解析 求函數y=f(x-2)的定義域，是求式子x-2中x的范圍.這里決不能將前后兩個x看成是相

13、等的量，但是2x-1與x-2都是對應法則f的作用對象，因此，這兩個代數式的范圍是一致的. 解答：設t=2x-1， ∵-1≤x≤1， ∴-3≤2x-1≤1， 即函數y=f(t)的定義域為t∈［-3，1］. 再設x-2=t，則-3≤x-2≤1， ∴-1≤x≤3. ∴函數y=f(x-2)的定義域為［-1，3］. 知識導學 1.函數的三要素 構成函數的三要素：定義域A，對應法則f，值域B. 其中核心是對應法則f，它是聯系x和y的紐帶，是對應得以實現的關鍵，對應法則可以由多種形式給出，可以是解析法，可以是列表法和圖象法，不管是哪種形式，都必須是確定的，且使集合A中的

14、每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應.當一個函數的定義域和對應法則確定之后，值域也就唯一的確定了，所以值域是定義域這個“原材料”通過對應法則“加工”而成的“產品”.因此，要確定一個函數，只要定義域與對應法則確定即可. 2.函數的圖象 所謂函數y=f(x)的圖象，就是將自變量的一個值x0作為橫坐標，相應的函數值f(x0)作為縱坐標，就得到坐標平面上的一個點(x0，f(x0)).當自變量取遍函數定義域A中的每一個值時，就得到一系列這樣的點.所有這些點組成的集合(點集)為{(x0，f(x0))|x∈A}，即{(x，y)|y=f(x)，x∈A}，所有這些點組成的圖形就是函數y=f(x)的

15、圖象. 函數的圖象是數形結合應用的典范. 函數圖象是函數關系的一種表示方法，它能夠也必須把函數的三要素全面而直觀地反映出來，它是研究函數關系、性質的重要工具. 函數圖象是函數部分運用數形結合思想方法的基礎.函數圖象部分應解決好畫圖、識圖、用圖這三個基本問題，即對函數的圖象有三點要求：(1)會畫各種簡單函數的圖象；(2)能以函數的圖象識別相應函數的性質；(3)能用數形結合思想以圖輔助解題. 疑難導析 1.兩個函數相同的充要條件是它們的定義域與對應關系分別相同，例如函數f(x)=｜x｜，與f(x)=x2是同一個函數. 2.函數的核心是對應關系.在函數符號y=f(

16、x)中，f是表示函數的對應關系，等式y=f(x)表明，對于定義域中的任意x，在對應關系f的作用下，可得到y，因此，f是使“對應”得以實現的方法和途徑. 函數符號y=f(x)是“y是x的函數”這句話的數學表示，它不表示“y等于f與x的乘積”.f(x)可以是解析式，也可以是圖象或數表.符號f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯系.f(a)表示當自變量x=a時函數f(x)的值，是一個常量；而f(x)是自變量x的函數，在一般情況下，它是一個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值. 3.值域是全體函數值所組成的集合.在多數情況下，一旦定義域和對應關系確定，函數的值域也就隨之確定. 問題導思

17、 關于函數的兩個定義實質上是一致的.初中定義的出發(fā)點是運動變化的觀點，而高中定義卻是從集合、對應的觀點出發(fā). 初中階段學習的函數的概念的優(yōu)點是直觀、生動. 高中階段學習的函數的概念的優(yōu)點：更具一般性.比如按初中的定義就很難判斷下面的表達式是不是函數： 現在用高中學的函數概念來判斷則是沒有問題的.事實上，在判斷兩個函數是不是同一個函數時，只要定義域和對應法則相同，則必為同一函數，還有一點，如果三者中有一個不同，則必不是同一函數. 根據這組函數圖象可得到如下結論： (1)函數y=-f(x)的圖象與y=f(x)的圖象關于x軸對稱； (2)函數

18、y=f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關于y軸對稱； (3)函數y=-f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關于原點(0，0)對稱； (4)函數y=f(|x|)=即在y軸上及其右側的圖象與函數y=f(x)的圖象相同，再將y軸右側的圖象作關于y軸的對稱圖象可得x＜0時的圖象； (5)函數y=|f(x)|= 即在x軸上及其上方的圖象與函數y=f(x)的圖象相同，再將x軸下方的圖象作關于x軸的對稱圖象可得f(x)＜0時的圖象； (6)函數y=f(x＋1)的圖象是將y=f(x)的圖象向左平移一個單位得到的； (7)函數y=f(x)＋1的圖象是將y=f(x)的圖象向上平移一個單位得到的.

19、 在函數圖象平移時，記住一個口訣：“平移變換，左加右減.”左是往左平移，指的是圖象往左平移幾個單位，則函數解析式的自變量要加幾個單位；右是往右平移，指的是圖象往右平移幾個單位，解析式的自變量要減去幾個單位. 典題導考 綠色通道 給定兩個函數，要判斷它們是否是同一函數，主要看兩個方面：一看定義域是否相同；二看對應法則是否一致.只有當兩函數的定義域相同且對應法則完全一致時，兩函數才可稱為同一函數.若判斷兩個函數不是同一個函數，只要三者中有一者不同即可判斷不是同一個函數. 典題變式 下列四對函數中表示同一函數的是( ) A.f(x)=x，g(x)=()2

20、 B.f(x)=x，g(x)= C.f(x)=x，g(x)= D.f(x)=，g(x)=x+2 答案:C 綠色通道 一般地，求函數的定義域就是求使函數解析式有意義的自變量的取值的集合： (1)解析式是整式的函數，其定義域為R； (2)解析式是分式的函數，其定義域為使分母不為零的實數的集合； (3)解析式是偶次根式的函數，其定義域是使被開方式為非負數的實數的集合； (4)如果解析式是由實際問題得出的，則其定義域不僅是要使實際問題有意義，還必須是使函數解析式有意義的實數的集合；

21、 (5)求函數的定義域的步驟通常是先根據題意列不等式(組)，后解不等式(組)，而后得出結論. 典題變式 已知函數f(x)=的定義域為F，g(x)=的定義域為G，那么集合F、G的關系是( ) A.F=G B.FG C.GF D.F∪G=G 答案:C 綠色通道 求值域一定要注意定義域的限制，一定要在定義域的范圍內求函數的值域.當然，求值域一定要根據函數的對應關系來確定.如果我們抓住了這些解決問題的關鍵，求這類問題就能得心應手. 典題變式 1.函數y=的值域為______________.

22、 答案:［1，+∞) 2.求下列函數的值域: (1)y=； (2)y=2x-； (3)y=； (4)y=|x+1|+|x-2|. 答案:(1)［0,3］；(2){y|y≥}； (3)R；(4)［3,+∞）. 3.設A=［1,b］(b>0)，函數f(x)=(x-1)2+1，當x∈A時，f(x)的值域也是A，試求b的值. 答案:b=3. 綠色通道 通過實例，了解簡單的分段函數并能簡單應用是新課程標準的基本要求.對于分段函數來說，給定自變量求函數值時，應根據自變量所在的范圍利用相應的解析式直接求值；若給定函數值求自變量，應根據函數每一段的解析式分別求解.但應注意要檢驗

23、該值是否在相應自變量的取值范圍內. 典題變式 1.已知函數y=f(x)滿足f(0)=1，f(x)=xf(x-1)(x∈N*)，則f(4)的值為( ) A.4 B.12 C.24 D.32 答案:C 2.已知函數y=求f［f()］的值. 答案:f［f()］=. 綠色通道 本題是已知復合函數的定義域求另一個復合函數的定義域問題.解決這類問題的重要原則是：相同的對應法則所作用對象的范圍是一致的.這里函數y=f(2x-1)的定義域為［-1，1］是指自變量x的取值范圍，而不是指2x

24、-1這個式子的值的范圍.解決這類問題的關鍵是找出原函數y=f(t)的定義域. 這里的定義域［-1，1］是函數y=f(2x-1)中x的范圍，即x∈［-1，1］，而不是2x-1∈［-1，1］. 典題變式 函數f(x)的定義域為［0，2］，則函數f(x+1)的定義域是( ) A.［-2，2］ B.［-1，1］ C.［0，2］ D.［1，3］ 答案:B 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375