高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.3 映射的概念學案 蘇教版必修1

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1、 2．3　映射的概念 1．理解映射的概念及表達方法． 2．會判斷一個對應是否為映射． 映射的概念 一般地，設A、B是兩個非空集合，如果按某種對應法則f，對于A中的每一個元素，在B中都有惟一的元素與之對應，那么，這樣的單值對應就叫集合A到集合B的映射．記作f：A→B． 若集合A有n個元素，集合B有m個元素，則集合A到集合B的映射有mn個． 【做一做1－1】根據對應法則f：x→2x－1，寫出圖中給定元素的對應元素． (1) (2) 答案：(1)1　3　5　(2)4　5　6 【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}

2、，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且對任意的a∈A，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是________． 答案：4 1．怎樣理解映射的概念？ 剖析：(1)映射定義中的兩個集合A、B是有先后次序的，A到B的映射與B到A的映射是不同的． (2)映射是由集合A、B以及從A到B的對應法則f所確定的． (3)在一個映射中，在對應法則f的作用下，集合A中的任何一個元素a對應著集合B中的元素b． (4)符號“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中對應法則f的具體內容可用漢字敘述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在專業(yè)教材中，一般用比較抽象的符號來表示．

3、 (5)在一個映射中，集合A、B可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在確定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求對等的． 2．為什么說映射是一種特殊的對應？ 剖析：(1)映射也是兩個集合A與B元素之間存在的某種對應關系．說其是一種特殊的映射，就是因為它只允許存在“一對一”與“多對一”這兩種對應，而不允許存在“一對多”的對應． (2)映射中所允許的“一對一”與“多對一”這兩種對應的特點，從A到B的映射f：A→B實際是要求集合A中的任一元素都必須對應于集合B中惟一的元素．但對集合B中的元素并無任何要求，即允許集合B中的元素在集合A中可能有一個元素與之對應，可能

4、有兩個或多個元素與之對應，也可能沒有元素與之對應． 題型一 映射的概念 【例1】下列對應是不是從A到B的映射？ (1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|； (2)A＝B＝N*，f：x→|x－2|； (3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1； (4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝． 解：(1)中，當x＝0∈A時，|x|＝0B，即A中的元素0按照對應法則在B中找不到應該對應的元素，故(1)不是映射． (2)中，當x＝2∈A時，|x－2|＝0B，與(1)類似，(2)也不是映射． (3)中，因為y＝(x－

5、1)2≥0，所以對任意x，總有y≥0；又當x∈N時，x2－2x＋1必為整數(shù)，即y∈Z．所以當x∈A時，x2－2x＋1∈B，且對A中每一個元素x，在B中都有惟一的y與之對應，故(3)是映射． (4)中，任意一個x都有兩個y與之對應，故不是映射． 反思：給定兩集合A、B及對應法則f，判斷是否是從集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定義．用通俗的語言講：A→B的對應有“多對一”“一對一”及“一對多”，前兩種對應是A→B的映射，而后一種不是A→B的映射． 題型二 映射的個數(shù)問題 【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且從M到N的映射滿足f(a)＞f(b)≥f(c)，試

6、確定這樣的映射f的個數(shù)為__________． 解析：因為從M到N的映射滿足f(a)＞f(b)≥f(c)，所以，(1)當f(a)＝2時，有 或或 (2)當f(a)＝0時，有 綜上，從M到N滿足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射f的個數(shù)是4． 答案：4 反思：對于這類有條件的映射問題，求解時要注意考慮周到，注意分情況討論，切勿遺漏情況． 【例3】已知A＝{1,2,3,4}，B＝{6,7}，則以A為定義域，B為值域的不同函數(shù)的個數(shù)為__________． 解析：當A中有三個元素對應B中元素6時，另一個元素必須對應B中元素7，這樣可組成4個滿足題意的不同函數(shù)； 當A中有三個元素對應

7、B中元素7時，另一個元素必須對應B中元素6，這樣可組成4個滿足題意的不同函數(shù)； 當A中有兩個元素對應B中元素6時，剩下兩個元素必對應7，這樣可組成6個滿足題意的函數(shù)． 所以共可組成4＋4＋6＝14(個)不同函數(shù)． 答案：14 反思：求解此題要特別注意集合B必須為函數(shù)的值域的特別要求，它實際是要求集合B恰好是集合A中的所有元素所對應的元素組成的． 題型三 映射的應用 【例4】為了增加破譯密文的難度，有一種密碼把英文的明文按兩個字母一組分組，如果最后剩一個字母，則任意添一個字母，拼成一組． 例如I am your friend添一個o，分組為：Ia my ou rf ri en d

8、o，得到 ，，，，，，． 其中9表示I在26個英文字母中的序號，1表示a在26個英文字母中的序號，依此類推，然后用一個公式，比如：?來進行變換． 由?＝， 2126＝0余21,21對應字母u,1326＝0余13,13對應字母m，即Ia變成um． 將變成x′＝213＋325＝101除以26得余數(shù)為23，即w； y′＝13＋425＝113除以26得余數(shù)為9，即i． 試按上述方法及變換公式將明文I am your friend寫成密文． 解：因26的倍數(shù)除以26所得的余數(shù)為0，英文字母中沒有與0對應的字母，故令與0對應的字母為z． ?＝，即ou不變； ?＝，即rf變成bp； ?

9、＝，即ri變成kb； ?＝，即en變成zi； ?＝，即do變成al． 故密文為umwioubpkbzial． 反思：密碼學問題涉及到很多的知識，上面的例題只是一種很簡單的形式，也是一類很好的映射應用問題，解決此類問題既要讀懂題意，又要看準對應法則，按照題目的引例進行計算． 1下圖中表示的是從集合X到集合Y的對應，其中能構成映射的是__________． 解析：圖象中必須滿足對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應． 答案：① 2若A＝{(x，y)|x∈Z，|x|＜2，y∈N*，x＋y＜3}，B＝{0,1,2}，從A到B的對應關系f：(x，y)→x＋y，說明f是A到B的映

10、射，并畫出對應圖，指出B中的元素2與A中的哪個元素對應． 分析：按照映射的定義，對于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素與它對應，但要注意集合A中的多個元素是可以對應于B中的同一個元素的． 解：集合A的元素共有六個，用列舉法表示為{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．對應圖如下圖所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素與之對應，∴f是A到B的映射． 2與A中對應的元素有三個， 即(－1,3)、(0,2)、(1,1)． 3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少個

11、？ (2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少個？ 分析：當所給集合中的元素數(shù)目不大時，可直接用圖示的方法展現(xiàn)所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之． 解：(1)用圖示的方法可以清楚地看到從A到B能建立4個不同的映射(見下圖)． (2)分A中元素對應B中同一元素和A中元素對應B中不同元素兩種情況考慮．A中2個元素對應B中相同元素的對應有3個，這時有3個不同的映射；A中2個元素同時對應B中2個不同的元素的對應有6個，這時有6個不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9個． 已知集合A＝R，B＝{(x，y

12、)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，規(guī)定為：f：x→(x＋1，x2＋1)，試求在B中的對應元素及在A中的對應元素． 解：由條件知當x＝時，x＋1＝＋1，x2＋1＝3． 所以在B中的對應元素為(＋1,3)； 再由得x＝， 說明點在A中的對應元素為． 5已知集合A到集合B＝的映射是f：x→，那么集合A中的元素最多有幾個？并寫出元素最多時的集合A． 解：∵f是映射， ∴A中的每一個元素在B中都有惟一元素與它對應，但≠0， ∴0在集合A中不存在元素與它對應． 當＝1時，得x＝2； 當＝時，得x＝3； 當＝時，得x＝4． ∴A中元素最多只能有6個， 即A＝{－4，－3，－2,2,3,4}． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375