全國(guó)通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版選修22

32.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法思考類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算，想一想復(fù)數(shù)如何進(jìn)行加減法運(yùn)算？答案兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.梳理(1)運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法運(yùn)算律對(duì)任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？答案如圖，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)abi，cdi對(duì)應(yīng)，則(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得(ac，bd)，所以與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量？答案z1z2可以看作z1(z2)因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖)圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1z2.梳理復(fù)數(shù)加法的幾何意義復(fù)數(shù)z1z2是以，為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1z2是從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)1兩個(gè)虛數(shù)的和或差可能是實(shí)數(shù)()2在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法時(shí)，實(shí)部與實(shí)部相加得實(shí)部，虛部與虛部相加得虛部()3復(fù)數(shù)的減法不滿足結(jié)合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()類型一復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算例1(1)若z12i，z23ai(aR)，復(fù)數(shù)z1z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a_.(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|iz13i，則z_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用答案(1)1(2)1i解析(1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由題意得a10，則a1.(2)設(shè)zxyi(x，yR)，則|z|，|z|izixyix(y)i13i，解得z1i.反思與感悟(1)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算就是實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減(2)當(dāng)一個(gè)等式中同時(shí)含有|z|與z時(shí)，一般用待定系數(shù)法，設(shè)zxyi(x，yR)跟蹤訓(xùn)練1(1)若復(fù)數(shù)z滿足zi33i，則z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR)(3)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|z13i，則z_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則答案(1)62i(2)a(4b3)i(3)43i解析(1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)設(shè)zxyi(x，yR)，|z|，|z|z(x)yi13i，解得z43i.類型二復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義例2(1)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0，32i，24i.求：表示的復(fù)數(shù)；表示的復(fù)數(shù)；表示的復(fù)數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng)解A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為32i，24i，由復(fù)數(shù)的幾何意義，知與表示的復(fù)數(shù)分別為32i，24i.因?yàn)?，所以表示的?fù)數(shù)為32i.因?yàn)?，所以表示的?fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.，所以表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.(2)已知z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.考點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用題點(diǎn)與加減法幾何意義有關(guān)的模的問(wèn)題解根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，由|z1|z2|知，以，為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形如圖，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2，|，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1z2，|.在AOC中，|1，|，AOC30.同理得BOC30，OAB為等邊三角形，則|1，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1z2，|z1z2|1.引申探究若將本例(2)中的條件“|z1z2|”改為“|z1z2|1”，求|z1z2|.解如例2(2)圖，向量表示的復(fù)數(shù)為z1z2，|1，則AOB為等邊三角形，AOC30，則|，|，表示的復(fù)數(shù)為z1z2，|z1z2|.反思與感悟(1)常用技巧形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理；數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對(duì)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中(2)常見(jiàn)結(jié)論：在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)四邊形OACB為平行四邊形；若|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為正方形跟蹤訓(xùn)練2(1)已知復(fù)平面內(nèi)的平面向量，表示的復(fù)數(shù)分別是2i,32i，則|_.(2)若z12i，z23ai，復(fù)數(shù)z2z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法與向量的對(duì)應(yīng)答案(1)(2)(，1)解析(1)，表示的復(fù)數(shù)為(2i)(32i)13i，|.(2)z2z11(a1)i，由題意知a1<0，即a<1.1設(shè)z134i，z223i，則z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)答案D解析z1z257i，z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限2已知復(fù)數(shù)z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為()A1 B2C2 D2或1考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則答案C解析由z1z2a22a(a23a2)i是純虛數(shù)，得得a2.3在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，表示的復(fù)數(shù)分別為2i，32i,15i，則表示的復(fù)數(shù)為()A28i B44iC66i D42i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng)答案B解析()44i.4設(shè)f(z)|z|，z134i，z22i，則f(z1z2)等于()A. B5C. D5考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用答案D解析因?yàn)閦1z255i，所以f(z1z2)f(55i)|55i|5.5設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi)，A為原點(diǎn)，B，D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是32i和24i，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用題點(diǎn)與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用答案52i解析設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為E，則E點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，y)，則x5，y2，故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為52i.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算2復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則.一、選擇題1若復(fù)數(shù)z滿足z(34i)1，則z的虛部是()A2 B4C3 D4考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則答案B解析z(34i)1，z24i，故z的虛部是4.2實(shí)數(shù)x，y滿足z1yxi，z2yix，且z1z22，則xy的值是()A1 B2C2 D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用答案A解析z1z2(yx)(xy)i2，即xy1，則xy1.3若z12i，z23ai(aR)，且z1z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a的值為()A3 B2C1 D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)答案D解析z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.z1z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，1a0，a1.4設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z|z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則答案D解析設(shè)zabi(a，bR)，則z|z|(a)bi2i，則解得zi.5已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z1所對(duì)應(yīng)的向量正確的是()考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng)答案A解析由圖知z2i，則z11i，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，A是正確的6復(fù)數(shù)z1a4i，z23bi，若它們的和z1z2為實(shí)數(shù)，差z1z2為純虛數(shù)，則a，b的值為()Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用答案A解析因?yàn)閦1z2(a3)(4b)i為實(shí)數(shù)，所以4b0，b4.因?yàn)閦1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i為純虛數(shù)，所以a3且b4.故a3，b4.7在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為13i，i，2i，若，則點(diǎn)D表示的復(fù)數(shù)是()A13i B3iC35i D53i考點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用題點(diǎn)與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用答案C解析點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為13i，i,2i，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為22i.設(shè)D(x，y)，(x1，y3)(2,2)，解得點(diǎn)D表示的復(fù)數(shù)為35i.二、填空題8已知z1(3xy)(y4x)i(x，yR)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)設(shè)zz1z2，且z132i，則z1_，z2_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用答案59i87i解析zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i，解得z159i，z287i.9設(shè)z34i，則復(fù)數(shù)z|z|(1i)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第_象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)答案三解析因?yàn)閦34i，所以|z|5，所以z|z|(1i)34i5(1i)15i.復(fù)數(shù)z15i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(1，5)位于第三象限10已知|z|4，且z2i是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用答案22i解析因?yàn)閦2i是實(shí)數(shù)，可設(shè)za2i(aR)，由|z|4得a2416，所以a212，所以a2，所以z22i.11.如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)O，A，B，C恰好構(gòu)成平行四邊形，其中O為原點(diǎn)，A，B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是zA4ai，zB68i，zCabi(a，bR)，則zAzC_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng)答案24i解析因?yàn)椋?ai(abi)68i.因?yàn)閍，bR，所以所以所以zA42i，zC26i，所以zAzC(42i)(26i)24i.三、解答題12設(shè)mR，復(fù)數(shù)z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虛數(shù)，求m的取值范圍考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則解因?yàn)閦1(m15)i，z22m(m3)i，所以z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.因?yàn)閦1z2是虛數(shù)，所以m22m150且m2，所以m5且m3且m2，所以m的取值范圍是(，3)(3，2)(2,5)(5，)13(1)若f(z)z1i，z134i，z22i，求f(z1z2)；(2)若z12cos i，z22isin (02)，且z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍考點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用題點(diǎn)與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用解(1)z1z2(34i)(2i)53i，f(z1z2)f(53i)(53i)1i62i.(2)z1z2(2cos )(2sin 1)i，由題意得即又0,2，所以.四、探究與拓展14復(fù)數(shù)z11icos ，z2sin i，則|z1z2|的最大值為()A32 B.1C32 D.1考點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用題點(diǎn)與加減法幾何意義有關(guān)的模的問(wèn)題答案D解析|z1z2|(1sin )(cos 1)i| .max1，|z1z2|max1.15已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，求：(1)點(diǎn)C，D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)平行四邊形ABCD的面積考點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用題點(diǎn)與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用解(1)因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3i)(12i)23i.又，所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2i)(23i)42i. 因?yàn)?，所以向量?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，即(3，1)設(shè)D(x，y)，則(x2，y1)(3，1)，所以解得所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.(2)因?yàn)閨cos B，所以cos B.所以sin B.所以S|sin B7，所以平行四邊形ABCD的面積為7.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375