《數(shù)學(xué)理一輪對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練：1011 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)理一輪對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練：1011 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 Word版含解析（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
1.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 ∵＋＝1(a>b>0)的離心率為，
∴＝.又∵過(guò)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△AF1B的周長(zhǎng)為4，
∴4a＝4，∴a＝.∴b＝，
∴橢圓方程為＋＝1，選A.
2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0
2、1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為_(kāi)_______．
答案 x2＋y2＝1
解析 不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)，又|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，得B將其代入橢圓方程化簡(jiǎn)得＋＝1，又c2＝1－b2，得b2＝，故橢圓E的方程為x2＋y2＝1.
3．已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝________.
答案 12
解析 如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則由F1是AM的中點(diǎn)，可知|AN|＝2|PF1|.
同理可得可知|BN
3、|＝2|PF2|.
∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)．
根據(jù)橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12.
4.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝截得的線段的長(zhǎng)為c，|FM|＝.
(1)求直線FM的斜率；
(2)求橢圓的方程；
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點(diǎn))的斜率的取值范圍．
解 (1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
設(shè)直線FM的斜率為k(k>0)，則直線FM的方程為y＝k(x＋c
4、)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得橢圓方程為＋＝1，直線FM的方程為y＝(x＋c)，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，可得M的坐標(biāo)為.
由|FM|＝＝，解得c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1.
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，與橢圓方程聯(lián)立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝ >，解得－
5、(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝，得m∈.
②當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈.
綜上，直線OP的斜率的取值范圍是∪.
5．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求△ABQ面積的最大值．
解 (1)由題意知2a＝4，則a＝2.
又＝
6、，a2－c2＝b2，可得b＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1.
(ⅰ)設(shè)P(x0，y0)，＝λ，
由題意知Q(－λx0，－λy0)．
因?yàn)椋珁＝1，
又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
(ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
由Δ>0，可得m2<4＋16k2.①
則有x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因?yàn)橹本€y＝kx＋m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)，
所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|
＝＝
7、＝2 .
設(shè)＝t.將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0b>0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC＝2AB，求直線AB的方程．
解
8、 (1)由題意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，則b＝1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB＝，又CP＝3，不合題意．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將AB的方程代入橢圓方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，則x1,2＝，C的坐標(biāo)為，
且AB＝＝＝.
若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意．
從而k≠0，故直線PC的方程為y＋＝－，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
從而PC＝.
因?yàn)镻C＝2AB，所以＝，
解得k＝1.此時(shí)直線AB方程為y＝x－1或y＝－x＋1.
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