高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.5第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用A組 基礎(chǔ)題組1.(20xx安徽合肥第一次質(zhì)檢)“x≥1”是“x+1x≥2”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.當x>0時,f(x)=2xx2+1的最大值為( )A.12 B.1 C.2 D.43.已知x,y>0且x+4y=1,則1x+1y的最小值為( )A.8 B.9 C.10 D.114.設(shè)a>0,若關(guān)于x的不等式x+ax-1≥5在(1,+∞)上恒成立,則a的最小值為( )A.16 B.9 C.4 D.25.已知x,y∈R+,且滿足x+2y=2xy,那么x+4y的最小值為( )A.3-2 B.3+22 C.3+2 D.426.已知函數(shù)f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a= .7.已知實數(shù)x,y均大于零,且x+2y=4,則log2x+log2y的最大值為 .8.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1,則x+y的最大值為 .9.(1)當x<32時,求函數(shù)y=x+82x-3的最大值;(2)設(shè)00,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.B組 提升題組11.已知正數(shù)a,b滿足a+b=ab,a+b+c=abc,則c的取值范圍是( ) A.0,43 B.12,43 C.13,43 D.1,4312.設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當xyz取得最大值時,2x+1y-2z的最大值為( ) A.0 B.1 C.94 D.313.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|30,所以“x≥1”是“x+1x≥2”的充分不必要條件,故選A.2.B ∵x>0,∴f(x)=2xx2+1=2x+1x≤22=1,當且僅當x=1x,即x=1時取等號.3.B ∵x+4y=1(x,y>0),∴1x+1y=x+4yx+x+4yy=5+4yx+xy≥5+24yx路xy=5+4=9當且僅當x=2y=13時,取等號.4.C 在(1,+∞)上,x+ax-1=(x-1)+ax-1+1≥2(x-1)脳a(x-1)+1=2a+1(當且僅當x=1+a時取等),由題意知2a+1≥5.所以2a≥4,a≥2,a≥4.5.B 由x>0,y>0,x+2y=2xy,得12y+1x=1,則x+4y=(x+4y)12y+1x=x2y+1+2+4yx≥3+2x2y路4yx=3+22,當且僅當x2y=4yx時等號成立.6.答案 36解析 ∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+ax≥2=4a,當且僅當4x=ax時等號成立,此時a=4x2,由x=3時函數(shù)取得最小值,得a=49=36.故填36.7.答案 1解析 因為log2x+log2y=log2(2xy)-1≤log2x+2y22-1=2-1=1,當且僅當x=2y=2,即x=2,y=1時等號成立,所以log2x+log2y的最大值為1.8.答案 2解析 因為x2+y2-xy=1,所以(x+y)2=1+3xy≤1+3x+y22,當且僅當x=y時取等號,所以(x+y)2≤4,則-2≤x+y≤2,所以x+y的最大值為2.9.解析 (1)y=12(2x-3)+82x-3+32=-3-2x2+83-2x+32.當x<32時,3-2x>0,此時3-2x2+83-2x≥2=4,當且僅當3-2x2=83-2x,即x=-12時取等號.于是y≤-4+32=-52,故函數(shù)的最大值為-52.(2)∵00,∴y=x(4-2x)=2x(2-x)≤2x+2-x2=2,當且僅當x=2-x,即x=1時取等號,∴函數(shù)y=x(4-2x)的最大值為2.10.解析 (1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,又因為x>0,y>0,所以1=8x+2y≥28x路2y=8xy,所以xy≥64,當且僅當x=16,y=4時,等號成立,所以xy的最小值為64.(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,則x+y=8x+2y(x+y)=10+2xy+8yx≥10+22xy路8yx=18,當且僅當x=12,y=6時,等號成立,所以x+y的最小值為18.B組 提升題組11.D ∵正數(shù)a,b滿足a+b=ab,∴ab≥2ab?(ab)2-2ab≥0?ab≥2?ab≥4,當且僅當a=b=2時取等號,由a+b=ab,a+b+c=abc,得c=abab-1=ab-1+1ab-1=1+1ab-1,∵ab≥4,∴ab-1≥3,∴0<1ab-1≤13,∴1<1+1ab-1≤43,故選D.12.B 由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,又x,y,z為正實數(shù),∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14-3=1.當且僅當x=2y時取等號,此時z=2y2.∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y2+2y=-1y-12+1,當1y=1,即y=1時,上式有最大值1,故選B.13.答案 32解析 因為x2-2x-3>0,所以x<-1或x>3,因為A∩B={x|30,所以-1+4=-ba,(-1)4=ca,所以b=-3a,c=-4a,所以b2a+ac2≥2b2c2=-2b-c=6a4a=32,當且僅當b2a=ac2時取等號.14.解析 當x∈1,2]時,f(x)=x2+2x=x2+1x+1x≥3=3,當且僅當x2=1x,即x=1時取等號,所以f(x)min=3.因為g(x)=12x-m在-1,1]上單調(diào)遞減,所以當x∈-1,1]時,g(x)min=g(1)=12-m.因為?x1∈1,2],?x2∈-1,1],使得f(x1)≥g(x2),所以3≥12-m,解得m≥-52.15.解析 (1)設(shè)污水處理池的寬為x米,則長為162x米.總造價f(x)=400+2482x+80162=1296x++12960=1296x+100x+12960≥12962+12960=38880,當且僅當x=100x(x>0),即x=10時取等號.∴當污水處理池的長為16.2米,寬為10米時總造價最低,最低總造價為38880元.(2)由限制條件知∴818≤x≤16.設(shè)g(x)=x+,則g(x)=1-100x2,因為g(x)=1-100x2在818,16上恒大于零,故g(x)在818,16上是增函數(shù),所以當x=818時,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,為1296818+80081+12960=38882.所以當污水處理池的長為16米,寬為818米時總造價最低,最低總造價為38882元.。
