高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第9章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第4節(jié) 相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 文 北師大版

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第四節(jié)相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例考綱傳真1.會(huì)做兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.4.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求22列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第141頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1相關(guān)性(1)通常將變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來(lái)，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖，通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖(2)從散點(diǎn)圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中的大致趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來(lái)近似，這樣近似的過(guò)程稱為曲線擬合(3)若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，則稱變量間是線性相關(guān)的，若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動(dòng)，則稱此相關(guān)是非線性相關(guān)的如果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒(méi)有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的2線性回歸方程(1)最小二乘法 如果有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2來(lái)刻畫這些點(diǎn)與直線yabx的接近程度，使得上式達(dá)到最小值的直線yabx就是所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法(2)線性回歸方程方程ybxa是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)3回歸分析(1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法(2)樣本點(diǎn)的中心對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點(diǎn)的中心(3)相關(guān)系數(shù)r當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量線性不相關(guān)|r|值越接近于1，表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越高|r|值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越低4獨(dú)立性檢驗(yàn)設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2；變量B：B1，B2.22列聯(lián)表：B AB1B2總計(jì)A1ababA2cdcd總計(jì)acbdnabcd構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 2.利用統(tǒng)計(jì)量2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)當(dāng)22.706時(shí)，沒(méi)有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的；當(dāng)2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系()(2)某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x()之間的關(guān)系，得回歸方程2.352x147.767，則氣溫為2時(shí)，一定可賣出143杯熱飲()(3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)()(4)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的2的觀測(cè)值越小()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A0.4x2.3B2x2.4C2x9.5D0.3x4.4A因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，排除選項(xiàng)C，D又樣本中心(3,3.5)在回歸直線上，排除B，選項(xiàng)A滿足3(20xx全國(guó)卷)根據(jù)下面給出的2004年至我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()圖941A逐年比較，減少二氧化硫排放量的效果最顯著B我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從到二氧化硫排放量下降得最多，故A正確對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由到矩形高度明顯下降，因此B正確對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從以后除稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確由圖知以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D4為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過(guò)計(jì)算20.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說(shuō)法正確的是 ()A有99%的人認(rèn)為該電視欄目?jī)?yōu)秀B有99%的人認(rèn)為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系C有99%的把握認(rèn)為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系D沒(méi)有理由認(rèn)為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系D只有26.635才能有99%的把握認(rèn)為“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”，而即使26.635也只是對(duì)“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個(gè)論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無(wú)關(guān)，故只有D正確5(20xx西安模擬)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程0.67x54.9.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_68由30，得0.673054.975.設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a，則62a758189755，a68.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第142頁(yè))相關(guān)關(guān)系的判斷(1)(20xx湖北高考)已知變量x和y滿足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090333】Ax與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)Cx與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Dx與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)(2)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖942所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()圖942Ar2r40r3r1Br4r20r1r3Cr4r20r3r1Dr2r40r1r3(1)C(2)A(1)因?yàn)閥0.1x1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)zy，>0，則zy0.1x，故x與z負(fù)相關(guān)(2)由散點(diǎn)圖知，圖與圖是正相關(guān)，故有r10，r30，圖與圖是負(fù)相關(guān)，則r20，r40，且圖與圖中的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，因此有r2r40r3r1.規(guī)律方法1.利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡(jiǎn)便的方法如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān)，若點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域，則負(fù)相關(guān)2利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng)當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)r2越大，相關(guān)性越強(qiáng)變式訓(xùn)練1(1)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：y與x負(fù)相關(guān)且2.347x6.423；y與x負(fù)相關(guān)且3.476x5.648；y與x正相關(guān)且5.437x8.493；y與x正相關(guān)且4.326x4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090334】ABCD(2)變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()Ar2r10B0r2r1Cr20r1Dr2r1(1)D(2)C(1)由線性回歸方程x知當(dāng)0時(shí)，y與x正相關(guān)，當(dāng)0時(shí)，y與x負(fù)相關(guān)，一定錯(cuò)誤(2)對(duì)于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r10；對(duì)于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，即r20，故選C線性回歸方程及應(yīng)用(20xx全國(guó)卷)如圖943是我國(guó)至生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖圖943注：年份代碼17分別對(duì)應(yīng)年份200820xx.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量參考數(shù)據(jù)：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程ab中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，ab.解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得4， (ti)228，0.55，2分 (ti)(yi)tiyiyi40.1749.322.89，所以r0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.5分(2)由1.331及(1)得b0.103.8分ab1.3310.10340.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為y0.920.10t.10分將對(duì)應(yīng)的t9代入回歸方程得y0.920.1091.82. 所以預(yù)測(cè)我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為1.82億噸12分規(guī)律方法1.在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計(jì)算相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值2(1)正確運(yùn)用計(jì)算b，a的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵(2)回歸直線bxa必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)變式訓(xùn)練2(20xx全國(guó)卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值圖944(xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，wwi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為， .解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.2分(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于d68，4分cd 563686.8100.6，5分所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y100.668w，6分因此y關(guān)于x的回歸方程為y100.668.7分(3)由(2)知，當(dāng)x49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y100.668576.6，8分年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值576.60.24966.32.9分根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)0.2(100.668)xx13.620.12.10分所以當(dāng)6.8，即x46.24時(shí)，z取得最大值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分獨(dú)立性檢驗(yàn)(20xx全國(guó)卷)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： 圖945(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較 附：2.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62.2分因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62.4分(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法34665分2的觀測(cè)值15.705.7分由于15.7056.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).8分(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.12分規(guī)律方法1.在22列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足adbc0.|adbc|越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|adbc|越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng)2解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式2計(jì)算2的觀測(cè)值k；(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷變式訓(xùn)練3(20xx濟(jì)南聯(lián)考)某市地鐵即將于6月開始運(yùn)營(yíng)，為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下； 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090335】月收入(單位：百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75贊成定價(jià)者人數(shù)123534認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)4812521(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者贊成定價(jià)者總計(jì)附：2.P(2k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為x150.56.“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為x238.75，“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元).5分(2)根據(jù)條件可得22列聯(lián)表如下：月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者32932贊成定價(jià)者71118總計(jì)10405026.276.635，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”.12分