高考數(shù)學(xué)兵法10招2就地取材無(wú)中生有

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5數(shù)學(xué)高考10招（2） 就地取材 無(wú)中生有計(jì)名釋義這一招是專門對(duì)付開(kāi)放題的.開(kāi)放題有兩種類型：一是開(kāi)放條件；二是開(kāi)放結(jié)論.條件開(kāi)放的試題，結(jié)論明確、解題方向清楚，但條件不足，也就是條件不充分，屬于“必要不充分”的題型，我們的任務(wù)是補(bǔ)充能使結(jié)論成立的充分條件.反之，結(jié)論開(kāi)放的試題，條件充分，但結(jié)論不明確.我們的任務(wù)則是補(bǔ)充必要條件.典例示計(jì)【例1】以下是武漢市某次高中調(diào)考中的一道數(shù)列題：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若（a1+a3）2=9，an0（），則S10等于（ ）這道題從正面解，你會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論走哪條路，都“差條件”，陷入欲進(jìn)不得，欲罷不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把選項(xiàng)作條件來(lái)用呢？【解析】由于時(shí)恒有an0，必S100，排除A、C；設(shè)若S10= -13，即有10a1+×10×9d=-13，那么a1+d=. （1）但由（a1+a3）2=9，an0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2）（1）-（2）：d=，于是d0，這與時(shí)恒有an0矛盾，故排除D，選B.本解使用的，正是“就地取材”的計(jì)策.如果你感到題干中的“條件不夠”，陷入“山窮水復(fù)疑無(wú)路”的困境，不妨在選項(xiàng)中就地發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”.那么，什么又是“無(wú)中生有”呢？請(qǐng)看【例2】06年湖南卷的文科10題：如圖，OMAB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB幾AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）可以是 （ ）【解析】如圖，設(shè)向量OP符合要求.過(guò)P作PA1AB，交OA于A1，OB于B1，令，顯然0k1.再令，點(diǎn)P在A1B1的延長(zhǎng)線上，必1.于是.于是.由（1）知x0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k（0，1），排除B，D，選C.為了解題的需要，我們不僅添加了輔助線，還引入了k，這些參變量，這都是“無(wú)中生有”；又為了免除繁雜的計(jì)算，我們又在選項(xiàng)中“就地取材”. 再請(qǐng)看【例3】06年湖南卷的理科15題：如圖，OMAB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB幾AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則x的取值范圍是當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是【解析】同上題解法，得： 由于k（0，1）且1，x0.即當(dāng)時(shí)，x+y=k，y=k-x=k+（）.【評(píng)注】咋一看湖南這兩道題，的確有“樹(shù)高蔭深，叫樵夫難以下手”之感。因?yàn)閮H憑現(xiàn)有圖形，是無(wú)論如何也難以找到正確答案的。唯一可行之路，就是“無(wú)中生有”了，于是筆者按要求隨意畫一條向量（即解圖中的OP）試試看，又想到關(guān)于向量的問(wèn)題多能用平移解決，在作出平行線PA1后，已是豁然開(kāi)朗，成竹在胸了.這難道不是“無(wú)中生有”的神奇麼？例4題圖【例4】如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只要滿足條件 時(shí)，就有MN平面B1BDD1（請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）.【思考】顯然HNBD，即得HN平面B1BDD1，為使點(diǎn)M在平面EFGH內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)總有B1BDD1MN,只需過(guò)HN作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面面平行的問(wèn)題.【解析】連FH，當(dāng)點(diǎn)M在HF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN平面B1BDD1證明如下：連 NH ，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P.則NH BD，HFBB1，故平面PNHF平面BB1D1D.MN平面PNHF，MN平面B1BDD1【例5】 知F(x)是二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次函數(shù)，且對(duì)于任何xR,f(2x)=f(2+x)總成立，問(wèn)f(12x2)與f(1+2xx2)滿足什么條件時(shí)，才能使2<x<0成立.【思考】 根據(jù)已知條件很容易得到f(x)是開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為x=2的二次函數(shù)，然后可通過(guò)函數(shù)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分類討論.【解答】 由題設(shè)知：函數(shù)f(x)的圖象是開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線.故函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).12x21<2,1+2xx2=(x1)2+22,12x2,1+2xx2.當(dāng)f(12x2)<f(1+2xx2)時(shí)，12x2<1+2xx2,即x2+2x>0,解得x<2或x>0,不能使2<x<0成立.當(dāng)f(12x2)>f(1+2xx2)時(shí)，12x2>1+2xx2,即x2+2x<0,解得2<x<0,符合題意，當(dāng)f(12x2)=f(1+2xx2)時(shí)，可得x=2或0,不能使2<x<0成立.當(dāng)f(12x2)>f(1+2xx2)時(shí)，才能使2<x<0成立.【例1】 能否構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列an，使其同時(shí)滿足三個(gè)條件：a1+a6=11;a3a4=;至少存在一個(gè)自然數(shù)m,使依次成等差數(shù)列.若能，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解答】 先考慮前兩個(gè)條件.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.a3a4=a1a6,由.即滿足條件，的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an=.(1)如an=·2n1，設(shè)存在題設(shè)要求的mN,則2×.化簡(jiǎn)得：22m7·2m8=02m=8,m=3.（2）如設(shè)存在mN,使.化簡(jiǎn)得： 4(26m)211·26m8=0,這里=112+16×8=249不是完全平方數(shù).符合條件的m不存在.綜上所述，能構(gòu)造出滿足條件，的等比數(shù)列，該自然數(shù)m=3,數(shù)列的通項(xiàng)公式為： .【例6】 將二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c對(duì)應(yīng)于一次函數(shù)g(x)=2ax+b.（1）求f(x)=x2+2x+1對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)g(x).（2）觀察后請(qǐng)寫出這個(gè)對(duì)應(yīng)法則.（3）可以用g(x)的某些性質(zhì)來(lái)研究f(x)的性質(zhì)：當(dāng)g(x)>0時(shí)，對(duì)應(yīng)的f(x)的性質(zhì)有哪些？（4）你還能研究另外的某些性質(zhì)嗎？（5）設(shè)g(x)=x，寫出與g(x)對(duì)應(yīng)的f(x)的三個(gè)不同的解析式.【思考】 本例是結(jié)論開(kāi)放型試題，解題時(shí)要求根據(jù)已知條件將結(jié)論（必要條件）補(bǔ)充完整.f(x)與g(x)是什么關(guān)系？我們?nèi)菀子蒮(x)=2ax+b,知f(x)=g(x),可見(jiàn)，只有當(dāng)g(x)=f(x)時(shí)，才有可能用g(x)的性質(zhì)來(lái)研究f(x)的某些性質(zhì).【解答】 (1)a=1,b=2，g(x)=2x+2.（2）g(x)的一次項(xiàng)系數(shù)是f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)與其次數(shù)的積；g(x)的常數(shù)項(xiàng)等于f(x)的一次項(xiàng)系數(shù).(3)g(x)>0，即2ax+b>0,當(dāng)a>0時(shí)，x>,而x=是f(x)的對(duì)稱軸，故這時(shí)f(x)是單調(diào)增函數(shù)；a<0時(shí),x<,f(x)仍為單調(diào)增函數(shù)(前者單調(diào)區(qū)間為.后者單調(diào)區(qū)間為).(4)當(dāng)g(x)<0時(shí)，f(x)是單調(diào)減函數(shù)(請(qǐng)仿照（3）證明之).(5)g(x)=x時(shí)，2ax+b=x,知a=,b=0.只須在f(x)=ax2+bx+c中，命a=,b=0,c取任意值即可，如f(x)= x2+1,f(x)=x2+,f(x)= x2+5.【小結(jié)】 指導(dǎo)開(kāi)放題解法的理論依據(jù)是充分必要條件，即若AB,則稱A為B的充分條件，B為A的必要條件.考前預(yù)演第1題圖1.如圖所示，在四棱錐PABCD中，O為CD上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD滿足條件 時(shí)，VPAOB恒為定值（寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可）.2.對(duì)于xR,試確定y=的所有可能的值. 3.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,當(dāng)k為何值時(shí)，（1）kab與akb垂直？（2）|ka2b|取得最小值?4.已知圓O過(guò)定點(diǎn)A（0,P）(P>0),圓心O在拋物線x2=2Py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O在x軸上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,MAN=.（1）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化，并證明你的結(jié)論；（2）求的最大值,并求取得最大值的的值.