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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測：曲線與方程
一、選擇題
1．已知| |＝3，A、B分別在y軸和x軸上運(yùn)動，O為原點(diǎn)， ＝ ＋ ，則動點(diǎn)P的軌跡方程是 ( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
2．已知兩個定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積等于
2、 ( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
3．平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C滿足 ＝λ1 ＋λ2 (O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點(diǎn)C的軌跡是 ( )
A．直線 B．橢圓
C．圓 D．雙曲線
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點(diǎn)作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程是 (
3、)
A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1)
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
5．給出以下方程：
①2x＋y2＝0；②3x2＋5y2＝1；③3x2－5y2＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，則其對應(yīng)的曲線可以放進(jìn)一個足夠大的圓內(nèi)的方程的個數(shù)是 ( )A． 1 B．2
C．3 D．4
6．圓O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)為兩個定點(diǎn)．直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)所在的軌跡是
4、 ( )
A．雙曲線 B．橢圓
C．拋物線 D．圓
二、填空題
7．直線＋＝1與x、y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程是____________．
8．△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________．
9．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF
5、2的面積不大于a2.
其中，所有正確結(jié)論的序號是____．
三、解答題
10．已知A、B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個動點(diǎn)，線段AB的長為2，P是AB的中點(diǎn)．
求動點(diǎn)P的軌跡C的方程．
11．已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x＝－2交x軸于點(diǎn)A，設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線
6、上一點(diǎn)，且滿足∠MPO＝∠AOP.
當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡E的方程．
詳解答案
一、選擇題
1．解析：設(shè)A(0，y0)，B(x0,0)，P(x，y)，則由| |＝3得x＋y＝9，又因?yàn)?＝ (x，y)， ＝(0，y0)， ＝(x0,0)，由 ＝ ＋ 得x＝，y＝，因此x0＝，y0＝3y，將其代入x＋y＝9得＋y2＝1.
答案：A
2．解析：設(shè)P(x，y)，則|PA|2＝(x＋2)2＋y2，|PB|2＝(x－1)2＋y2，又|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
∴(x－2)2＋y2＝4，表示圓，∴S＝πr2＝
7、4π.
答案：B
3．解析：設(shè)C(x，y)，則 ＝(x，y)， ＝(3,1)，
＝(－1,3)，
∵＝λ1 ＋λ2 ，∴，又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一條直線．
答案：A
4．解析：由題意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，
又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，
∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，
故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的下支，又c＝7，a＝1，b2＝
48，∴點(diǎn)F的軌跡方程為y2－＝1(y≤－1)．
答案：A
5．解析：所給出的方程中，①2x＋y2＝0是拋物線，②3x2＋5y2＝1是橢圓，③3
8、x2－5y2＝1是雙曲線，④|x|＋|y|＝2是一個正方形，⑤|x－y|＝2是兩條平行直線，只有②④兩個方程對應(yīng)的曲線是封閉曲線，可以放進(jìn)一個足夠大的圓內(nèi)．
答案：B
6．解析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)锳、B在拋物線上，所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN，于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
過O作OP⊥l，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OP是中位線，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|.
根據(jù)橢圓的定義知，焦點(diǎn)F的軌跡是一個橢圓．
答案：B
二、填空題
9、7．解析：(參數(shù)法)設(shè)直線＋＝1與x、y軸交點(diǎn)為A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中點(diǎn)為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
8．解析：如圖，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，
方程為－＝1(x＞3)．
答案：－＝1(x＞3)．
9．解析：因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a＞1，所以曲線C不過原點(diǎn)，即①錯誤；因
10、為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以|PF1||PF2|＝a2對應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱，即②正確；因?yàn)镾△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面積不大于a2，所以③正確．
答案：②③
三、解答題
10．解：設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴
∵A、B分別是直線y＝x和y＝－x上的點(diǎn)，
∴y1＝x1，y2＝－x2.
∴
又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.
∴12y2＋x2＝12.
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為＋y2＝1.
11．解：(1)設(shè)橢圓長半軸長
11、及半焦距分別為a、c，
由已知得解得a＝4，c＝3.
b2＝a2－c2＝16－9＝7.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]．
由已知＝λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得
＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．
①λ＝時，化簡得9y2＝112，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y＝±(－4 ≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．
②λ≠時，方程變形為＋＝1，
其中x∈[－4,4]；
當(dāng)0＜λ＜時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分；
當(dāng)＜λ＜1時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、
12、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；
當(dāng)λ≥1時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓．
12．解：如圖，可得直線l：x＝－2與x軸交于點(diǎn)A(－2,0)，設(shè)P(－2，m)，
(1)當(dāng)m＝0時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，這時OP的垂直平分線為x＝－1，由∠AOP＝∠MPO＝0°，得M(－1,0)；
(2)當(dāng)m≠0時，設(shè)M(x0，y0)，
①若x0>－1，由∠MPO＝∠AOP得MP∥OA，有y0＝m，
又kOP＝－，OP的中點(diǎn)為(－1，)，
∴OP的垂直平分線為y－＝(x＋1)，而點(diǎn)M在OP的垂直平分線上，
∴y0－＝(x0＋1)，又m＝y(tǒng)0，
于是y0－＝(x0＋1)，即y＝4(x0＋1)(x0>－1)．
②若x0<－1，如圖，由∠MPO＝∠AOP得點(diǎn)M為OP的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，在y－＝(x＋1)中，令y＝0，有x＝－－1<－1，即M(－ －1,0)，
∴點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2＝4(x＋1)(x≥－1)和y＝0(x<－1)．
高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測 曲線與方程 理
