高考數(shù)學考點分類自測 雙曲線 理

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 高考理科數(shù)學考點分類自測：雙曲線 一、選擇題 1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線”的 (　　) A．必要但不充分條件　　　　 B．充分但不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為 (　　

2、) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 (　　) A. B. C． 2 D．3 4．已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則 · 的最小值為 (　　) A．－2 B．－C．1 D．0 5．設橢圓＋＝1和雙曲線－x2＝1的公

3、共焦點分別為F1、F2，P為這兩條曲線的一個交點，則cos∠F1PF2的值為 (　　) A. B. C. D．－ 6．已知雙曲線mx2－y2＝1(m>0)的右頂點為A，若該雙曲線右支上存在兩點B、C使得△ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)m的值可能為 (　　) A. B．1 C．2 D． 3 二、填空題 7．已知點(2,3)在雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________． 8．已

4、知雙曲線kx2－y2＝1(k>0)的一條漸近線與直線2x＋y＋1＝0垂直，那么雙曲線的離心率為________；漸近線方程為____________． 9．P為雙曲線x2－＝1右支上一點，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為________． 三、解答題 10．已知雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點P(3，－1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程． 11．雙曲線－＝1(a＞1，b＞0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到

5、直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍． 12．P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足 ＝λ ＋ ，求λ的值． 詳解答案 一、選擇題1．解析：若ax2＋by2＝c表示雙曲線，即＋＝1表示雙曲線，則<0，這就是說“ab<0”是必要條件

6、，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分條件． 答案：A 2．解析：不妨設頂點(a,0)到直線x－3y＝0的距離為1，即＝1，解得a＝2.又＝，所以b＝，所以雙曲線的方程為－＝1. 答案：A 3．解析：設雙曲線C的方程為－＝1，焦點F(－c,0)，將x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2.∴e＝＝. 答案：B 4．解析：設點P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)、F2(2,0)，則有＝x2－1，y2＝3(x2－1)， · ＝(－1－x，－y)·

7、(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，當x＝1時， · 取得最小值－2. 答案：A 5．解析：由題意可知m－2＝3＋1，解得m＝6. 法一：由橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設點P為第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)，聯(lián)立＋＝1與－x2＝1組成方程組，解得P(，)．所以由兩點距離公式計算得|PF1|＝＋，|PF2|＝－. 又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝. 法二：由橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設點P為第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1(0，－2)．F2(0,2)，由

8、題意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝4，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，同上由余弦定理可得cos∠F1PF2＝. 答案：B 6．解析：由題意可得，點A的坐標為(，0)，設直線AB的方程為y＝tan 45°(x－)，即x＝y(tǒng)＋，與雙曲線方程聯(lián)立可得，，則(m－1)y2＋2y＝0，解得y＝0或y＝.由題意知y＝為B點的縱坐標，且滿足>0，即0<m<1，根據(jù)選項知． 答案：A 二、填空題 7．解析：根據(jù)點(2,3)在雙曲線上，可以很容易建立一個關(guān)于a，b的等式，即－＝1，考慮到焦距為4，這也是一個關(guān)于c的等式，2c＝4

9、，即c＝2.再有雙曲線自身的一個等式a2＋b2＝c2，這樣，三個方程，三個未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，離心率e＝2. 答案：2 8．解析：雙曲線kx2－y2＝1的漸近線方程是y＝±x.∵雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＋1＝0垂直，∴＝，k＝，∴雙曲線的離心率為 e＝＝，漸近線方程為x±y＝0. 答案：　x±y＝0 9．解析：雙曲線的兩個焦點為F1(－4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2， |PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|

10、PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5. 答案：5 三、解答題 10．解：切點為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10. ∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，∴兩漸近線方程為3x±y＝0. 設所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的雙曲線方程為－＝1. 11．解：直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 由點到直線的距離公式，且a＞1，得到點(1,0)到直線l的距離d1＝， 同理得到點(－1,0)到直線l的距離d2＝. ∴s＝d1＋d2

11、＝＝. 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2. 于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0. 解不等式，得≤e2≤5. 由于e＞1，∴e的取值范圍是[，]． 12．解：(1)點P(x0，y0)(x≠±a)在雙曲線－＝1上， 有－＝1. 由題意又有·＝， 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2， 則e＝＝. (2)聯(lián)立，得4x2－10cx＋35b2＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則① 設 ＝(x3，y3)， ＝λ＋ ，即 又C為雙曲線上一點，即x－5y＝5b2， 有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. 化簡得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2， 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x－5y＝5b2， x－5y＝5b2. 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝ －4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.