高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第4章 拓展資料：微積分基本定理運用的幾點注意

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1、 微積分基本定理運用的幾點注意 用微積分基本定理求定積分，關鍵是找到滿足F’(x)=f(x)的函數(shù)F(x)，即找到被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導運算與求原函數(shù)運算是互為逆運算的關系，運用基本初等函數(shù)求導公式和導數(shù)的四則運算法則，從反方向上求出F(x)。但在求原函數(shù)時會遇到困難或計算復雜，下面介紹幾種簡化求解的方法，供參考。 一、先化簡，再積分。 例1 計算dx 解析：==(+2x－lnx)|=－ln2 點評：若被積函數(shù)f（x）比較復雜時，應先進行化簡，以方便找到被積函數(shù)的原函數(shù)，再用基本定理求積分。 二、先分段，再積分。 例2 計算(|x+1|+|1－x|)dx 解析：由

2、于y=|x+1|+|1－x|= ∴原式=++=(－x2)|+(2x)|+(x2)|=20 點評：這類積分不能直接求解，需要變換被積函數(shù)，去掉被積函數(shù)的絕對值，應用定積分的可加性，對積分區(qū)間分類討論。 三、抓住幾何意義 例3 計算dx 分析：若直接求被積函數(shù)y=的原函數(shù)比較困難，但由定積分的幾何意義知，本題中即求半個單位的面積，故而dx=π 點評：充分挖掘被積函數(shù)的幾何事實，正確理解定積分的幾何意義，也是解決定積分問題的重要手段之一。 四、換元轉化 - 1 - / 2 例4 計算 解析：由于d(sinx)=cosxdx，故而令sinx=t，當x：0→時，t：0→1，則

3、=(t+1)dt=(t2+t)|=。 點評：通過換元轉化，可將復雜的定積分問題轉化簡單熟悉的問題，達到簡化、優(yōu)化解題的目的。 五、改變積分變量 例5 求拋物線y2=2x與直線y=x－4圍成的平面圖形的面積。 解析：解由y2=2x及y=x－4聯(lián)立所得的方程組得兩曲線的交點為(2,－2)、(8,4)，若取橫坐標x為積分變量，則應對圖中陰影部分進行分割，變?yōu)閮刹糠置娣e之和，S=2+=……=18.若以y為積分變量，則圖中陰影部分的面積可根據(jù)積分公式求得，即S==(+4y－y3)|=18 點評：由此可見，在求平面圖形面積時，要注意選擇適當?shù)姆e分變量，使計算簡便。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！